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高中数学竞赛讲义二



高中数学竞赛讲义(二)
──二次函数与命题

一、基础知识

1.二次函数:当

0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次 , 另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0), 其中 x0=,

函数, 其对称轴为直线 x=下同。
<

br />2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0] 上随自变量 x 增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数 值增大(简称递增)。当 a<0 时,情况相反。

3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。

1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式 ③的解集分别是{x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两 个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0=

,不等式②和不等式

③的解集分别是{x|x

}和空集

,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 图象与 x 轴无公共点。

.f(x)

当 a<0 时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=

,若

a<0,则当 x=x0=

时,f(x)取最大值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上

的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n] 上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是 命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命 题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; “p 且 q”复合命题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。

定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否 命题:若非 p 则 q;逆否命题:若非 q 则非 p。

注2

原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3 题。

反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命

定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p q 否则记作 p q.在命题 “若 p 则 q”中,如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q p,则称 p 是 q 的必要条件; 如果 p q 但 q 不 p, 则称 p 是 q 的充分非必要条件; 如果 p 不 q 但 p q,则 p 称为 q 的必要非充分条件;若 p q 且 q p,则 p 是 q 的充要 条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α , β , 求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x).

【解】

设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),

则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0,

因为方程 x2-x+1=0 中△ 0,

所以α

β ,所以(α +β )a+b+1=0.

又α +β =1,所以 a+b+1=0.

又因为 f(1)=a+b+c=1,

所以 c-1=1,所以 c=2.

又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.

再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β ,

所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0.

即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0,

所以 a=1,

所以 f(x)=x2-2x+2.

2.方程的思想。

例2 围。

已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范

【解】

因为-4≤f(1)=a-c≤-1,

所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)- f(1),

所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4,

所以-1≤f(3)≤20.

3.利用二次函数的性质。

例3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0),若方程 f(x)=x 无实 根,求证:方程 f(f(x))=x 也无实根。

【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。

所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。

注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

例4 0<x1<x2< ,

设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足

(Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<

【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),

即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.

(Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x.

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

]<0,所以 f(x)<x1.

综上,x<f(x)<x1.

(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以



所以

5.构造二次函数解题。

例5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小, 负根比-1 大。

【证明】

方程化为 2a x +2ax+1-a =0.

2

2

2

构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0,

所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6

当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u≤1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x= 3 时,ymin=

.

例7 的值。

设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是

,求 b

【解】

由 x2+bx≤-x(b<-1),得 0≤x≤-(b+1).

ⅰ)所以

≤-(b+1), 即 b≤-2 时, x2+bx 的最小值为(舍去)。

, 所以 b2=2,

ⅱ) -

>-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数,

所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-

,b=-

.

综上,b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例8

已知不等式组

①②的整数解恰好有两个,求 a

的取值范围。

【解】

因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,

若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a.

因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。

若 a>0,ⅰ)当 0<a<

时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

ⅱ)当 a=

时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当 a>

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a.

又不等式组的整数解恰有 2 个,

所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3,

所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。

综上,a 的取值范围是 1<a≤2.

8.充分性与必要性。

例9

设定数 A,B,C 使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0



对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分 必要条件,而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)

【解】

充要条件为 A,B,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).

先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0



若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A 0,则因为②恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0 恒成立,所以 (B-A-C)2-4AC≤0,即 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)

同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。

再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA),

1)若 A=0,则由 B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立, ①成立。

2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。

综上,充分性得证。

9.常用结论。

定理 1

若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 |a|+|b|,

因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤

所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m).

又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,

即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。

定理 2

若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥

(证略)



定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。

三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为 相反数”的逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q≤1, 则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否 命题。

2.由上列各组命题构成“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题中, p 或 q 为真,p 且 q 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数; ②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.

3. 当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________.

4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________.

5. x 1 且 x 2 是 x-1

的__________条件,而-2<m<0 且 0<n<1 是关

于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.

7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集,A={x|3-x≥4}, B=

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a) +3b≤6y},点(2,1)∈A,但点 (1,0) A,(3,2) A 则 a,b 的值是_________.

2

10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________.

11. 求使不等式 ax2+4x-1≥-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12.对任意 x∈[0,1],有

①②成立,求 k 的取值范围。

四、高考水平训练题

1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________.

2. 使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________.

3.若不等式-x2+kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________.

4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围 是_________.

5. 设 a1、 a2, b1、 b2, c1、 c2 均为非零实数, 不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0

解集分别为 M 和 N,那么“

”是“M=N”的_________条件。

6.若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有 一个方程有实根,则实数 a 的取值范围是_________.

7.已知 p, q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件, 则 r 是 q 的_________条件。

8.已知 p: |1-

|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不

充分条件,则实数 m 的取值范围是_________.

9.已知 a>0,f(x)=ax2+bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求 x 的取值范围。

10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1 时,|f(x)| ≤1,

(1)求证:|c|≤1;

(2)求证:当|x|≤1 时,|g(x)|≤2;

(3)当 a>0 且|x|≤1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

11.设实数 a,b,c,m 满足条件: 方程 ax2+bx+c=0 有一根 x0 满足 0<x0<1.

=0,且 a≥0,m>0,求证:

五、联赛一试水平训练题

1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________.

2.如果实数 x, y 满足:

,那么|x|-|y|的最小值是_________.

3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0, 当函数的最小值取最大值时,a+b2+c3=_________.

4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))= 根。

x 有_________个实

5.若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1,1]上至少有一个实根,则 m 取值范围 是_________.

6.若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 x∈R 都有 f(x)≥x 且 f(1)=1,则 p+q2=_________.

7. 对一切 x∈R, f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数, 则 值为_________.

的最小

8.函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图,且

=b-2ac. 那么

b -4ac_________4. (填>、=、<)

2

9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t -1, 关于 x 的方程 (x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两个不等的实根。

10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实 根,他就给出下一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数 等于较小的根,二次项系数都是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并 求最多能延续的次数。

11. 已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0, 1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大 值。

六、联赛二试水平训练题

1.设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最 多有几个?

2. 设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0), 对于给定的负数 a, 有一个最大的正数 l(a), 使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5 都成立。求 l(a)的最大值及相 应 a 的值。

3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x= 大值。

, y=

, 求 f=y-x2 的最

4.F(x)=ax2+bx+c, a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于 |x|≤1,求|F(x)|的最大值。

5.已知 f(x)=x2+ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|≤ =a2-4b 的最大值和最小值。

,|f(m+1)|≤

,求△

6.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件:

1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x;

2)当 x∈(0, 2)时,f(x)≤

;

3)f(x)在 R 上最小值为 0。

求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)≤x.

7.求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。

8.设 a,b,A,B∈R+, a<A, b<B,若 n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间,n 个正数 b1, b2,?,bn 位于 b 与 B 之间,求证:

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值:

(ⅰ)

=381;

(ⅱ)g(x)max=444;

(ⅲ)g(x)min=364.



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