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第二学期期末质量抽测高一数学试卷附答案(洋泾中学)



洋泾中学第二学期期末质量抽测高一数学试卷
一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.计算: 10
2 lg 2

?

. . . . . . .

2.函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的反函数 f ?1 ( x) ?

3.若函数

y ? log( a?1) x 在 (0,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是 4.若点 P(5,?12) 是角 ? 终边上的一点,则 sin ? ? 5.在半径为 2 的圆中,弧长为 1 的圆弧所对的圆心角的弧度数为 6.已知 ? ? [? ,2? ] ,化简: 2 ? 2 cos? ?

2 2 2 7.在 ?ABC 中,设 a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 所对的边,且 b ? c ? a ? bc , A ?

8.函数 y ? arcsin x , x ? [? ,

1 3 ] 的值域是 2 2

.

9.在 ?ABC 中,设 a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 所对的边, b ? 2, c ? 1,面积 S ?ABC ? 则内角 A 的大小为 10.方程 x ? sin x ? 1, x ? sin x ? 2 及 x ? .

1 , 2

1 ? sin x ? 2 在区间 [0, ] 的根分别为 a, b, c ,则 2 2

a, b, c 的大小关系为

.

二、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 11.方程 2 lg( x ? 4) ? lg x ? lg 2 的解是……………………………………………………( A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 8或 )

1 2

12.在 ?ABC 中,“ A ? 45 ”是“ cos A ?
?

2 ”的……………………………………( 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



A. 充分不必要条件 C. 充要条件 13.函数 y ? ? sin

x 的单调递减区间是……………………………………………………( 2
1



A. [k? ?

?
4

, k? ?

?
4

]( k ? Z )

B. [k? ?

?
4

, k? ?

3? ]( k ? Z ) 4

C. [4k? ? ? ,4k? ? ? ](k ? Z ) 14.今有一组实验数据如下:

D. [4k? ? ? ,4k? ? 3? ](k ? Z )

x

1.95 0.97

3.00 1.59

3.94 1.98

5.10 2.35

6.12 2.61

y

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最合适的一个是………( A. y ? 2
x



B. y ? log2 x

C. y ?

1 2 ( x ? 1) 2

D. y ? 2.61cos x

15.函数 f ?x ? 的图像无论经过平移或沿直线翻折后仍不能与 y ? log 1 x 的图像重合,则 f ?x ? 可以是…(
2



?1? A. y ? ? ? ? 2?

x

B. y ? log2 (2 x)

C. y ? log2 ?x ? 1?

D. y ? 22 x ?1

16.已知函数 f ( x) ? x ? sin x 的图像是下列两个图像中的一个,请你选择后再根据图像作出下面的判断:若

x1 , x2 ? ( ?

? ?

, ) 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则……………………………………………………………………( 2 2
B. x1 ? x2 ? 0 C. x1 ? x2 D. x1 ? x2
2 2



A. x1 ? x2

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分) 17. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x
2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的最大值和最小值.

18. (本小题满分 8 分) 已知 sin( A ? B) ?

4 3 ? , sin A ? , A, B ? [0, ] . 5 5 2
2

(1)求 cos( A ? B) 的值; (2)求 cos B 的值.

19. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2x ? p , ( p 为常数且 p ? R ) (1)若 f (3) ? 5 ,求 f ( x) 的解析式; (2)在(1)的条件下,解方程: f ?1 ( x) ? 2 ? log2 x2 .

20. (本小题满分 12 分) 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营 救.甲船立即前往,同时把消息告知在 A 处的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船,试 北 ? 问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 )?
?

A 10 ?C 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x) x ? ? ?? ,

20

B ?

? ?

? 2? ? ? ? 2? ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,当 x ? ? ? , 时, ? 6 3 ? ? 6 3 ? ?

函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0,?

?
2

?? ?

?
2

)的图像如图所示;

3

(1)求常数 ? 、 ? 的值; y (2)求函数 y ? f ( x) 在 ? ?? ,

? ?

2? ? 上的解析式; 3 ? ?

1

(3)求方程 f ( x) ?

2 的解集。 2

-π



π 6

O

π 6

2 π 3

x

4

高一年级数学试卷参考解答及评分
一.本题共 30 分,每小题正确的给 3 分,否则一律得 0 分。 2. 2 ? 1 ( x ? R ).
x

1. 4.

3. 1 ? a ? 2 .

4. ?

12 . 13

5.

1 . 2

6. ? 2 cos

?
2

.

7.

? . 3

8. [ ?

? ?

, ]. 6 3

9.

? 5? 或 . 6 6

10. a ? b ? c .

二.本题共 18 分,每小题正确的给 3 分,否则一律得 0 分。 11. B . 12. C . 13. C . 14. B . 15. D . 16. D .

三.本题共 52 分。

17. 本题满分 8 分 [解] f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ……………………………………………2 分

(1)由 ? ? 2 ? T ?

2?

?

? ? ,所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ;…………………4 分

(2)当 x ? k? ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) 取得最小值 ? 2 ;…………………………………6 分 8

当 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 。…………………………………………8 分

18. 本题满分 8 分 [解] (1) cos( A ? B) ? ?

3 ;…………………………………………………………………3 分 5

(2)显然 cos A ?

4 ,…………………………………………………………………………4 分 5

所以 cos B ? cos(A ? B ? A)

? cos( A ? B) cos A ? sin( A ? B) sin A ? cos( A ? B) ?

4 4 3 ? ? …………………………6 分 5 5 5

5

当 cos( A ? B ) ?

3 24 时 cos B ? ;……………………………………………………………7 分 5 25 3 时 cos B ? 0 ;……………………………………………………………8 分 5

当 cos( A ? B ) ? ?

19. 本题满分 10 分 [解] (1)由题设得 23 ? p ? 5 ? p ? ?3 ,所以 f ( x) ? 2x ? 3 ;…………………………4 分 (2)由(1)得 f ?1 ( x) ? log2 ( x ? 3) ( x ? ?3 )……………………………………………6 分
2 于是方程 log2 ( x ? 3) ? 2 ? log2 x2 ? 4 x ? x ? 3 ? x ? 1 或 x ? ?

3 ……………………9 分 4

经检验 x ? 1 或 x ? ?

3 都是原方程的根。……………………………………………………10 分 4

20. 本题满分 12 分 [解] 连接 BC ,设 ?ACB ? ? 由题设知 ?CAB ? 120 ……………………………2 分
0



于是 ?ABC ? 60 ? ? ,
0

A 10 ?C

20

B ?

且 | AC |? 10 , | AB |? 20 …………………………4 分 在 ?ABC 中,由正弦定理得

10 20 ? ? sin ? ? 2 sin(600 ? ? ) …7 分 0 sin(60 ? ? ) sin ?

? sin ? ? 3 cos? ? sin ? ? tan? ?

3 ……10 分 2

? ? 410 ,乙船应朝北偏东 710 的方向沿直线前往 B 处救援………………………………12 分

21. 本题满分 14 分 [解] (1) ? ? 1 、 ? ?

?
3

;………………………………4 分

(2)当 x ? ? ?

? ? 2? ? 时, , ? 6 3 ? ?
6

y

1

函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
3

)

当 x ? [?? ,?

?
6

) 时, ?

?
3

? x ? (?

? 2?
6 , 3

],

f ( x) ? f (?

?

? x) ? ? sin x , x ? [?? ,? ) …………8 分 6 3

?

? ? (?? ? x ? ? ) ? ? sin x 6 ………………………………………………10 分 综上 f ( x) ? ? ? ? 2? ?sin(x ? ) (? ? x ? ) 3 6 3 ?
(3) f ( x) ?

3? ? ? 5? 2 ,? ,? , } 。………………………………………14 分 的解集为 {? 4 4 12 12 2

7



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