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高中数学 3.1 不等关系与不等式(第2课时)学案 新人教A版必修5



3.1 不等关系与不等式(第 2 课时) 学习目标 1.掌握常用不等式的基本性质. 2.会将一些基本性质结合起来应用. 3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来. 问题 2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究. 二、信息交流,揭示规律 问题 3:上面得

到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个 数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢? 问题 4:请大家用作差法证明性质(4). 问题 5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质: 性质 5 如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d; 性质 6 如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd; n n 性质 7 如果 a>b>0,那么 a >b (n∈N,n≥1); 性质 8 如果 a>b>0,那么(n∈N,n≥2). 三、运用规律,解决问题 【例题】已知 a>b>0,c<0,求证. 问题 6:观察条件和结论中的不等式有什么差异 ?用不等式的哪些性质可以将条件向结 论转化? 问题 7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下. 问题 8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤? 1 四、变式训练,深化提高 变式训练 1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”. ①若 b<a<0,则.( ) ②若 a>b,则. ( ) ③若,则 a>b. ( ) ④若 a+c>b+d,则 a>b,c>d.( ) 2 2 ⑤若 a >b >0,则 a>b>0. ( ) ⑥若,则 a>b. ( ) 2 2 2 2 变式训练 2:设 x<y<0,试比较(x +y )(x-y)与(x -y )(x+y)的大小. 变式训练 3:设 α ∈,β ∈,那么 2α -的取值范围是( A. B. C.(0,π ) D. 五、反思小结,观点提炼 ) 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题 1:①对称性:a=b?b=a;②传递性 a=b,b=c?a=c;③加法法则:a=b?a±c=b±c;④ 乘法法则:a=b,c≠0? ac=bc. 问题 2:(1)如果 a>b,那么 b<a;如果 b<a,那么 a>b.即 a>b?b<a. (2)如果 a>b,b>c,那么 a>c.即 a>b,b>c? a>c. (3)如果 a>b,那么 a+c>b+c. (4)如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. 二、信息交流,揭示规律 问题 3:可以用作差法比较. a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 问题 4:证明:因为 a>b,c>0, 所以 ac-bc=c(a-b)>0, 所以 ac>bc. 同理可证如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. 问题 5:证明:(5)因为 a>b, 所以 a+c>b+c. ① 因为 c>d, 所以 b+c>b+d. ② 由①②得,a+c>b+d. (6)? ac>bd; n n (7)因为 a>b>0,由性质(6)可得 a >b ,(n∈N,n≥1); (8)(反证法)假设, 若这都与 a>b 矛盾, 所以. 三、运用规律,解决问题 【例题】证明:因为 a>b>0,所以 ab>0,>0. 2 于是 a×>b×,即. 由 c<0,得. 问题 6:结论中的 a,b 在分母上,且结论中 a,b,c 在同一个不等式中;性质(4). 问题 7:有,用作差法. 证明:


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