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课 题:2.1.1向量的物理背景与概念




题:2.1.1

向量的物理背景与概念

2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
教学目的: 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示; 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并会辨认图形中的相等向量或 出与某一已知向量相等的向量; 3.了解平行向量的概念. 教学重点:向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点:向量概念的理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: ?向量这一概念是由物理 学和工程技术抽象出来的, 反过来, 向量的理论和方法, 又成为解决物理学和工程技 术的重要工具,向量之所以 有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图 形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空 间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在 向量范围内不都适用 因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了 向量与数量的区别, 然后又重新给出了向量代数的部分运算法则, 包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等 之后, 又将向量与坐标联系起来, 把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标) 的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种 方法——向量法和坐标法 教学过程: 一、复习引入: 在现实生活中, 我们会遇到很多量, 其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出 来,如长度、质量等.还有一些量,如我们在物理中所学习的位移,是一个既有大小又有方 向的量,这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一, 向量和数一样也能进行运算, 而且用向量的有关知识还 能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学习向量的概念、运算及 其简单应用.这一节课,我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课: 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比 较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小
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2?从 19 世纪末到 20 世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性 质 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母 a 、 b 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; 注意:起点一定写在终点的前面 ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 0 的方向是任意的
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注意 0 与 0 的区别

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②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向.

4.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c . 5.相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量 a 与 b 相等,记作 a = b ; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 ....... 点无关. ... 6.共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 探究:1.对向量概念的理解 要深刻理解向量的概念, 就要深刻理解有向线段这一概念.在线段 AB 的两个端点中, 我 们规定了一个顺序,A 为起点,B 为终点,我们就说线段 AB 具有射线 AB 的方向,具有方向 的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向,以 A 为起点,以 B 为

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终点的有向线段记为 AB , 需要学生注意的是:AB 的字母是有顺序的, 起点在前终点在后, 所以我们说有向线段有三个要素:起点、方向、长度. 既有大小又有方向的量,我们叫做向量,有些向量既有大小、方向、作用点(起点),比 如力;有些向量只有大小、方向,比如位移、速度,我们现在所学的向量一般指后者. 2.向量与有向线段的区别: (1)向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不 同的有向线段 三、讲解范例: 例 1 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB = DC ⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 AB 、

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??? ? AC 在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却相同. 评述:本题考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及 相互关系必须把握好. 例 2 下列命题正确的是( )? A. a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点? C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所 以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成四边形, 根本不可能是一个平行 四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同 无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假若 a 与 b 不都是非零向量, a 与 b 至少有一个是零向量, 即 而由零向量与任一向量都共线,

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可有 a 与 b 共线,不符合已知条件,所以有 a 与 b 都是非零向量,所以应选 C. 评述:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以从反面进行考虑,要 启发学生注意这两方面的结合. 例 3 下列命题正确的是( )如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的 B O C F A

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中心,分别写出图中与 OA OB、 相等的向量. 、 OC

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??? ??? ???? ? ? 解: OA=CB= DO

??? ???? ??? ? ? OB ? DC = EO ???? ??? ??? ? ? OC ? AB= FO

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四、课堂练习: 五、小结 :向量及向量的有关概念、表示方法,还知道有两个特殊向量,最后学了向量间 的两种关系,即平行向量(共线向量)和相等向量 六、课后作业:
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七、板书设计(略)


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