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高中数学-指数函数与对数函数-12页



高一必修 1-指数函数对数函数基础练习-2012.11.15

指数函数和对数函数 高考要求 1 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质 2 掌握指数函数的概念、图像和性质 3 理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 4 掌握对数函数的概念、图像和性质 能够运用函数的性质、指数函数和 对数函数的性质解决某些简单的实际问题 知识点归纳 1 根式的运算性质:


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①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a

n

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②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

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⑶根式的基本性质:
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(a a mp ? n a m , ? 0)

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2 分数指数幂的运算性质:
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a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
3 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
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x

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a>1

0<a<1

y
图 象

y 1

1 o
(1)定义域:R

x

o

x

性 质

(2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
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4 指数式与对数式的互化: a ? N ? loga N ? b
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b

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5 重要公式: loga 1 ? 0 , loga a ? 1
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对数恒等式 a
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loga N

?N

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6 对数的运算法则
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如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0 有

loga (MN ) ? loga M ? loga N
M ? log a M ? log a N N m log an M m ? log a M n log a
7 对数换底公式:
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loga N ?
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logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

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8 两个常用的推论:
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① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n
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loga b ? logb c ? logc a ? 1
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n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m
a>1

9 对数函数的性质:
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0<a<1

y
图 象

y
x

o

1

o

1

x

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 性 质

x ? (0,1) 时 y ? 0

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x ? (0,1) 时
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y?0
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奎屯 新疆

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x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y ? 0
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在(0,+∞)上是增函数
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在(0,+∞)上是减函数
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10 同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数
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11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0 (转化法) (3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
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题型讲解

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例 1 计算: (1) (124 ? 22 3) 2 ? 27 6 ? 16 4 ? 2(8 3 ) ; (2) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (3) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) 解: (1)原式 ? (11 ? 3)
2? 1 2
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1

1

3

?

2

?1

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?3
3

3?

1 6

?2

4?

3 4
2 3

? 2?8

2 ? ?( ?1) 3

? 11 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2
2

1 2

3?

? 11 ? 3 ? 3 ? 8 ? 8 ? 11
2

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(2)原式 ? (lg 2) ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg5 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2
(3)原式 ? (

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lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2

?

3lg 2 5lg 3 5 ? ? 2lg 3 6lg 2 4

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例 2 已知 x 2 ? x
1 1 2

1

?

1 2

? 3 ,求
1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值

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?3

解: x 2 ? x ∵

?

? 3 , ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 , x ? 2 ? x ?1 ? 9 , x ? x ?1 ? 7 , ∴ ∴ ∴
2 ?2

?

1

?1 2 ∴ ( x ? x ) ? 49 ,∴ x ? x

? 47 ,

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又∵ x 2 ? x ∴

3

?

3 2

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ?1 ? x ?1) ? 3 ? (7 ?1) ?18 ,
? 47 ? 2 ?3 18 ? 3
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1

?

1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 3 ? 2

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?3
b

例 3 已知 3 ? 5 ? c ,且
a

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值 a b

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解:由 3 ? c 得: logc 3a ? 1 ,即 a log c 3 ? 1,∴ log c 3 ?
a

1 ; a

同理可得

1 1 1 ? log c 5 ,∴由 ? ? 2 得 logc 3 ? logc 5 ? 2 , b a b
2
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∴ log c 15 ? 2 ,∴ c ? 15 ,∵ c ? 0 ,∴ c ? 15

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例 4 设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ?2log y x ?3 ?0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最 小值
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解:令 t ? log x y ,∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ?

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2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t
1 1 1 ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ?
2 2 2 2

∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4x ? ( x ? 2) ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 例5
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设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ? b ? c
2 2

2

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b?c a?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1 a b b?c 2 ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值 (2)若 log 4 (1 ? a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c ? log 2 ? log 2 ( ? ) 证明: 1) ( 左边 ? log 2 a b a b
(1)求证: log 2 (1 ?
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? log 2

( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab
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解: (2)由 log 4 (1 ?

b?c b?c ) ? 1 得1 ? ? 4, a a
2 2 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ………… ……………② 3

∴ ?3a ? b ? c ? 0 ……………① 由 log8 (a ? b ? c) ?

由① ? ②得 b ? a ? 2 ……………………………………③ 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a ? b ? c 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,
2 2 2

∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ………………………………④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10
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b a 例 6(1) a ? ? ? 若
2
x y

l 1, o 则g
z

b

b , b a , a b 从小到大依次为 log log a



(2)若 2 ? 3 ? 5 ,且 x , y , z 都是正数,则 2x , 3y , 5z 从小 到大依次为 ;

x x (3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系

是( ) A b ? a ?1
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B a ? b ?1
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C1? b ? a
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D1? a ? b
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解: (1)由 a ? b ? a ? 1 得
2

b b ? a ,故 log b ? logb a ? 1 ? loga b a a

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x y z (2)令 2 ? 3 ? 5 ? t ,则 t ? 1 , x ?

lg t lg t lg t ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5

∴ 2x ? 3 y ?

2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3
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同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z (3)取 x ? 1 ,知选 B
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例 8 已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根
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高一必修 1-指数函数对数函数基础练习-2012.11.15

证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 ?
x

x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

? a x1 ? a x2 ?

x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴

3( x1 ? x2 ) ?0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x x x x ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a 1 ? a 2 ,∴ a 1 ? a 2 ? 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; 另法:∵ a ? 1 , x ? (?1, ??) ∴ f ?( x) ? (a ?
x

x?2 3 )? ? a x ln a ? ?0 x ?1 ( x ? 1)2

∴函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a 0 ?
x

x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

即a

x0

?

2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ?1 , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ 而由 a ? 1 知 a

3 3 ? 3 ,∴ ?1 ? 2 , x0 ? 1 x0 ? 1

x0

?1

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∴①式不成立;

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当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴①式不成立
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3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

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综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根 例9

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已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) ( a ? 0 且 a ? 1 )

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求证: (1)函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 证明: (1)由 a ? 1 ? 0 得: a ? 1 ,
x x
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∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x ) 的 图象在 y 轴的右侧; 当 0 ? a ? 1 时,x ? 0 , 即函数 f ( x ) 的定义域为 (??, 0) , 此时函数 f ( x ) 的 图象在 y 轴的左侧
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∴函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x ) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 , 则直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 , x1 ? x2
2

y1 ? y2 ? log a (a x ? 1) ? log a (a x ? 1) ? log a
1

ax ?1
1

ax ?1
2



x x x x 当 a ? 1 时, 由(1) 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a 1 ? a 2 ,∴ 0 ? a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 , 知

∴0 ?

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a x2 ? 1
x x2

当 0 ? a ? 1 时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a 1 ? a

? 1,

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高一必修 1-指数函数对数函数基础练习-2012.11.15

∴ a 1 ?1 ? a 2 ?1 ? 0 ,
x x



a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 a x2 ? 1
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∴函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0

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