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均值不等式题型精彩解析



均值不等式
一、 基本知识梳理
叫做这两个正数的算术平均值. 叫做这两个正数的几何平均值 (当且仅当 a=b 时,取“=”) (当且仅当 a=b 时,取“=”) 1.算术平均值:如果 a﹑b∈R+,那么 2.几何平均值:如果 a﹑b∈R+,那么 2 2 3.重要不等式:如果 a﹑b∈R,那么 a +b ≥ 均值定理:如果 a﹑b∈R+,那么 均值定理可叙述为:

4.变式变形:

a?b ≥ 2

?1? ab ? ? 2? ? 3?

a 2 ? b2 ; 2 ?a?b? ?? ? ; ? 2 ?
2

b a ? ? a b
2

? ab ? 0 ? ;
; ? 2 ? a 2 ? b2 ?.

a?b? ? 4? ? ? ? ? ? 2 ?

? 5?

5.利用均值不等式求最值, “和定,积最大;积定,和最小” ,即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件: “一正,二定,三相等”即: (1)各项或各因式非负; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段, 创设一个应用均值不等式的情景。

二、

常见题型:
A ? B 的形式,且 g ( x) 在定 g ( x)

1、分式函数求最值,如果 y ? f ( x) 可表示为 y ? m g( x) ?

义域内恒正或恒负, A ? 0, m ? 0, 则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数 y ?

ax2 ? x ? 1 ( x ? ?1且a ? 0) 的最小值。 x ?1

解: y ?

ax2 ? x ? 1 1 ? ax ? x a ? ax ? ? ax ? (1 ? a) ? x ?1 x ?1 x ?1
a ? 1 ? 2a ? 2a ? 1 ? 2a ? 1 x ?1

? a( x ? 1) ?
当 a ( x ? 1) ?

a 即 x=0 时等号成立,? y min ? 1 x ?1

2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进 行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。

1 9 ? ? 1 ,求 a ? b 的最小值。 a b b 9a ? 10 ? 2 9 ? 16 解法一: a ? b ? 1 ? 9 ? ? a b 1 9 思路二:由 ? ? 1 变形可得 (a ? 1)(b ? 9) ? 9,? a ? 1, b ? 9, 然后将 a ? b 变形。 a b
例:已知 a ? 0, b ? 0, 且 解法二: a ? b ? (a ? 1) ? (b ? 9) ? 10 ? 2 (a ? 1)(b ? 9) ? 10 ? 2 9 ? 10 ? 16 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为 a ? 4, b ? 12。 此类题型可扩展为: 设 a1、a2、a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? m ,求 S ?

1 1 1 ? ? 的最小值。 a1 a 2 a3

S?

1 1 1 1 (a1 ? a 2 ? a3 )( ? ? ) m a1 a 2 a3

?
?

a a a a a a 1 [3 ? ( 2 ? 1 ) ? ( 3 ? 1 ) ? ( 3 ? 2 )] m a1 a2 a1 a3 a 2 a3
1 9 (3 ? 2 ? 2 ? 2) ? ,等号成立的条件是 a1 ? a2 ? a3 。 m m

3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来 求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来 x 的取值范围,根据取值范围来进 行逆向转换。 例:求函数 y ?

7x ? 3 1 , x ? [ ,3] 的最小值。 x 2
1 2

思路:由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间 x ? [ ,3] 入手,可得 一个不等式 ( x ? )( x ? 3) ? 0 (当且仅当 x ?

1 1 或 x ? 3 时取等号) ,展开此式讨论即可。 2 2 1 2 2 解:? ( x ? )( x ? 3) ? 0, 即 2x ? 7 x ? 3 ? 0,? 2x ? 7 x ? 3, 2

? x ? 0,? 2 ?

7x ? 3 , 得 ymin ? 2 x

2 2 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当 ab ? 0 时,a ? b ? 2ab

同时除以 ab 得

b a b a ? ? 2或 ?1 ? 1? 。 a b a b

例:已知 a,b,c 均为,求证:

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c。 b c a

证明:? a, b, c 均为正数,?

a2 b2 c2 ? 2a ? b, ? 2b ? c, ? 2c ? a , b c a

?

a2 b2 c2 ? ? ? (2a ? b) ? (2b ? c) ? (2c ? a) ? a ? b ? c b c a

总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域 的常用方法。在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】 1、若 a ? 0, b ? 0, 求函数 y ? 2、求函数 y ?

x ab ab 最值。 答案: y min ? ? , y max ? ax ? b 2ab 2ab
2

3x ( x ? 0) 的值域。 x ? x ?1
2

答案:[-3,0]

3、已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1, 求

1 1 ? 的最小值。答案: 3 ? 2 2 x y
9 1 1 1 ? ? 的最小值。答案: 2 x y 2

4、已知 x, y , z 为正数,且 x ? y ? z ? 2 ,求 S ?

5、若 x ? [ , b]( a ? 0) ,求 y ?

1 a

(1 ? ab) x ? b 的最小值。答案: a x

6、设 a, b, c 为整数,求证:

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? 。 b?c c?a a?b 2

三、利用不等式解题的典型例题解析:
题型一:利用均值不等式求最值(值域)

12 ? 3 x 的最小值 x 4 ? x 的最大值 (2)已知 x ? 3 ,求 f ( x) ? x?3 4 ? x 的值域 变式 1: 1、若 x ? R ,求 f ( x) ? x?3
例 1、 (1)已知 x ? 0 ,求 f ( x) ? 2、函数 y ? x 2 ? x 2 ?x ? 0? 的最大值为 变式 2:1、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y

2、 x ? R ,求 f ( x) ? sin x ? 1 ?
2

5 的最小值 sin x ? 1
2

3、当 0 ? x ? 1, a, b 为正常数时,求 y ?

a2 b2 ? 的最小值 x 1? x

变 式 3 : 1 、 函 数 y ? lo g a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则
2、求 y ?

1 2 ? 的最小值为 m n

2( x 2 ? 3) x2 ? 2

的最小值为

3、已知 0 ? x ?

?
2

, f ( x) ?

1 2009 ? 的最小值为 sin x 1 ? sin x

变式 4:1、已知 x, y 都是正实数,且 x ? y ? 3xy ? 5 ? 0 (1)求 xy 的最小值 (2)求 x ? y 的最小值 题型二:利用均值不等式证明不等式 例 2、已知 a, b, c ? R ,求证: (1) a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

(2) a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ?
4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 ?a ? b ? c ?

(3) a ? b ? c ? a b ? b c ? c a ? abc?a ? b ? c? 变式 5:1、已知 a, b, c ? R , 且 a, b, c, 不全相等,求证:

bc ac ab ? ? ? a?b?c a b c 1 2 2 2 2、已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 3
?

3、已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,求证: ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 9 a ?? b ?

题型三:利用基本不等式解应用题 例 3、某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元, 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元,每次购买面粉需支付运费 900 元。 (1) 该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2) 若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享 受 9 折优惠(即原价的 90 % ) ,该厂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由。



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