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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 圆锥曲线的基本问题训练试题 文



常考问题 13

圆锥曲线的基本问题

(建议用时:50 分钟) x y 5 1.(2013· 陕西卷)双曲线 - =1(m>0)的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4 解析 由题意得 c= 16+m,所以 答案 9 x2 y2 2.已知双曲线 C∶ 2- 2=1(a>0,b>0)的实轴长为 2,离心率为 2,则双

曲线 C 的焦点坐 a b 标是________. c 解析 ∵2a=2,∴a=1,又 =2,∴c=2,∴双曲线 C 的焦点坐标是(± 2,0). a 答案 (± 2,0) 16+m 5 = ,解得 m=9. 4 4
2 2

x2 y2 3.(2013· 徐州质检)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点,右焦点分别为 A,F, a b 它的左准线与 x 轴的交点为 B, 若 A 是线段 BF 的中点, 则双曲线 C 的离心率为________. a2 解析 ∵A 是 B,F 的中点,∴2a=- +c. c ∴e2-2e-1=0,∵e>1,∴e= 2+1. 答案 2+ 1

x2 y2 4.(2013· 新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的 a b 直线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为________. 0+1 1 解析 直线 AB 的斜率 k= = , 3-1 2

?a +b =1 设 A(x ,y ),B(x ,y ),所以? x y ?a +b =1,
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1

① ②

y1-y2 b2 x1+x2 b2 2 b2 1 ①-②得 =- 2· .又 x1+x2=2, y1+y2=-2, 所以 k=- 2× , 所以 2= , a y1+y2 a -2 a 2 x1-x2 ③ 又 a2-b2=c2=9, x2 y2 由③④得 a2=18,b2=9.故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 答案 x2 y2 + =1 18 9
1



x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离 a b 心率等于 5,则该双曲线的方程为________. c 5 解析 由于抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),即 c=1,又 e= = 5,可得 a= ,结合 a 5 4 5 条件有 a2+b2=c2=1, 可得 b2= , 又焦点在 x 轴上, 则所求的双曲线的方程为 5x2- y2 5 4 =1. 5 答案 5x2- y2=1 4 x2 y2 6.(2013· 福建卷)椭圆 T: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x+c)与椭圆 T 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 解析 直线 y= 3(x+c)过点 F1,且倾斜角为 60° ,所以∠MF1F2=60° ,从而∠MF2F1 =30° ,所以 MF1⊥MF2,在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的离心 2c 2c 率 e= = = 3-1. 2a c+ 3c 答案 3- 1

x2 y2 7.已知双曲线 C 与椭圆 + =1 有共同的焦点 F1,F2,且离心率互为倒数.若双曲线右 16 12 支上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 4, 则 PF2 的中点 M 到坐标原点 O 的距离等于________. 2 解析 由椭圆的标准方程, 可得椭圆的半焦距 c= 16-12=2, 故椭圆的离心率 e1= = 4 1 1 ,则双曲线的离心率 e2= =2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点,所以双曲线的半焦距 2 e1 x2 y2 c 2 也为 c=2.设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有 a= = =1,b2= c2-a2= a b e2 2 y2 22-12= 3,所以双曲线的标准方程为 x2- =1.因为点 P 在双曲线的右支上,则由 3 双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF2|=4,所以|PF1|=6.因为坐标原点 O 为 F1F2 的中点,M 为 PF2 的中点. 1 所以|MO|= |PF1|=3. 2 答案 3 x2 y2 8.(2012· 南京、盐城模拟)设椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到 a b 准线的距离的最小值________. 1 4 4a2 a2 解析 由题设知 2+ 2=1,∴b2= 2 ,∴椭圆的中心到准线的距离 d= , a b c a -1
2

a4 a4 由 d2= 2 = 2 = c a -b2

a2?a2-1? a4 , 2 = 4a a2-5 a2- 2 a -1

?t+5??t+4? 20 令 a2-5=t(t>0)得 d2= =t+ +9≥9+4 5(当且仅当 t=2 5时取等号) t t ∴d≥2+ 5即椭圆的中心到准线的距离的最小值 2+ 5. 答案 2+ 5 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知对于任意实数 k,直线( 3k+1)x+(k- 3)y-(3k+ 3) =0 恒过定点 F.设椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距 离为 2+ 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设(m, n)是椭圆 C 上的任意一点, 圆 O: x2+y2=r2(r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共点, 试分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 解 (1)由( 3k+1)x+(k- 3)y-(3k+ 3)=0 整理

得( 3x+y-3)k+(x- 3y- 3)=0, 解方程组?

? 3x+y-3=0, 得 F( 3,0). ?x- 3y- 3=0

?c= 3, 设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c,则由题设知? 于是 a ?a+c=2+ 3.
=2,b=1. x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)因为圆 O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共点,所以 b<r<a,即 1<r<2. x2 m2 因为点(m,n)是椭圆 +y2=1 上的点,所以 +n2=1, 4 4 且-2≤m≤2. 所以 m2+n2= 3 2 m +1∈[1,2]. 4 1 ≤1<r, m +n2
2

于是圆心 O 到直线 l1 的距离 d1= 圆心 O 到直线 l2 的距离 d2=

4 ≥2>r. m2+n2

故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离. 10.已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两 个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程;
3

OP (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, =λ,求点 M OM 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 解
? ? ?a-c=1, ?a=4, (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c,由已知得? 解得? 又∵ ?a+c=7, ?c=3. ? ?

b2=a2-c2,∴b= 7, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 7 9x2+112 OP2 2 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4],由已知 =λ2, 2=λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 OM 16?x2+y2? 整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中 x∈[-4,4]. 3 4 7 ①当 λ= 时,化简得 9y2=112,所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4).轨迹是 4 3 两条平行于 x 轴的线段. 3 x2 y2 3 ②当 λ≠ 时,方程变形为 + =1,其中 x∈[-4,4].当 0<λ< 时,点 M 的轨 4 112 112 4 2 16λ2-9 16λ 3 迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分;当 <λ<1 时,点 M 的 4 轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分;当 λ≥1 时,点 M 的 轨迹为中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆. x2 y2 11.(2013· 南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(-2,-1)椭圆 C∶ 2+ 2= a b → → 1(a>b>0)的左焦点为 F,短轴端点为 B1、B2,FB1· FB2=2b2. (1)求 a、b 的值; (2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q,与 y 轴的交点为 R.过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P.若 AQ· AR=3OP2,求直线 l 的方程. 解 → → (1)因为 F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以FB1=(c,-b),FB2=(c,b).

→ → 因为FB1· FB2=2b2, 所以 c2-b2=2b2. 4 1 因为椭圆 C 过 A(-2,-1),代入得, 2+ 2=1. a b 由①②解得 a2=8,b2=2. 所以 a=2 2,b= 2. (2)由题意,设直线 l 的方程为 y+1=k(x+2). ① ②

4

y+1=k?x+2?, ? ?2 2 由?x y 得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0. ? ? 8 + 2 =1 因为 x+2≠0,所以 x+2= 8k+4 8k+4 ,即 xQ+2= 2 . 4k2+1 4k +1

由题意,直线 OP 的方程为 y=kx. y=kx, ? ?2 2 由?x y 得(1+4k2)x2=8. + = 1 , ? ?8 2 则 x2 P= 8 , 1+4k2

因为 AQ· AR=3OP2. 所以|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3x2 P. 即?

? 8k+4 ?×2=3× 8 . ? 1+4k2 ?4k2+1?

解得 k=1,或 k=-2. 当 k=1 时,直线 l 的方程为 x-y+1=0, 当 k=-2 时,直线 l 的方程为 2x+y+5=0. 备课札记:

5



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