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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试题



江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试

数学试卷
2016.05

数学Ⅰ试题
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题,共 6

题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,只要将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上,并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑,如需改动,请用橡皮 擦干净后,再正确涂写。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的标准差 s ? 1 ? ( xi ? x )2 ,其中 x ? 1 ? xi . n i ?1 n i ?1
n
n

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸 相应位 ... ... 置 上. .
1. 已知集合 A={x|0<x≤3,x∈R },B={x|-1≤x≤2,x∈R }, 则 A∪B= ▲ . 3+i 2. 在复平面内,复数 z= (i 是虚数单位)对应的点在第 ▲ 象限. 1+i 3. 函数 f(x)=log1(2-x)的定义域为 ▲ .
3

开始 S←0

i←1
S←i 2-S

4. 数据 1,3,5,7,9 的标准差 为 ▲ . ... 5. 右图是一个算法流程图,则输出的 T 的值为 ▲ .
S≥10 Y T←S+i 输出 T 结束 (第 5 题)

i←i+1
N

6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上面的点数之和为 4 的概率是 ▲ .

高三数学试卷

第 1 页(共 4 页)

1 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b=(-2,1),则 5 |a-b| 的值为 ▲ . 8. 现用一半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接 部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗) ,则该容器的容积为 ▲ cm3.

x2 9. 已知实数 x , y 满足 3 +y2=1,则 u=|3x+3y-7|的取值范围为 ▲ . 1 1 10.已知 0<?<?<?,且 cos?cos?= ,sin?sin?= ,则 tan(?-?)的值为 ▲ . 6 3 11. 在平面直角坐标 xOy 中,已知 A(1,0),B(4,0),直线 x-y+m=0 上存在唯一的点 P 满足 PA 1 = ,则实数 m 的取值集合是 ▲ . PB 2
9

12.已知{an}为等差数列,{an+1}为等比数列,且 a1=3,则 ∑an 的值为 ▲ .
n=1

1 a 13.已知 8a +9 +c=0,b - b-c=0,其中 a,b,c 均为非零实数,则 的值为 ▲ . 3 b
3 a 3

14.如图,在凸四边形 ABCD 中,AB=1,BC= 3,且 AC⊥CD, AC=CD,则当?ABC 变化时,线段 BD 长的最大值为 ▲ . B

A

D

C
(第 14 题)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸 指定区域内 作答,解答时应写出 ... ..... 文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知 tan?=2,cos?=- (1)求 cos2?的值; (2)求 2?-?的值. 7 2 ,且?,?∈(0,?). 10

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别是 AB,PC 的中点,PA⊥DE. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PDE.
A E B (第 16 题) 高三数学试卷 第 2 页(共 4 页) D P F

C

17.(本小题满分 14 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距 F1F2 的长为 2,经过第二象限内 a b mx ny 一点 P(m,n)的直线 2 + 2 =1 与圆 x2+y2=a2 交于 A,B 两点,且 OA= 2. a b (1)求 PF1+PF2 值; → → 8 (2)若 AB ?F1F2= ,求 m,n 的值. 3 P F1 O y B A

F2

x

(第 17 题)

18.(本小题满分 16 分) 如图,一个角形海湾 AOB,∠AOB=2θ(常数 θ 为锐角) .拟用长度为 l(l 为常数)的围网围成 一个养殖区,有以下两种方案可供选择: ⌒ 方案一 如图 1,围成扇形养殖区 OPQ,其中 PQ =l; 方案二 如图 2,围成三角形养殖区 OCD,其中 CD=l;
B Q B D B

l
O

l 2θ
O 图2


A (第 18 题)


O 图1 P A

C A

(1)求方案一中养殖区的面积 S1 ; l2 (2)求证:方案二中养殖区的最大面积 S2= ; 4tanθ (3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.

高三数学试卷

第 3 页(共 4 页)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1,a∈R (1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程) ; (2)求函数 f(x)的最大值; (3)当 a=1 时,若函数 f(x)在区间(0,k?)(k∈N*)上恰有 2015 个零点,求 k 的值.

20.(本小题满分 16 分) k+anan-1 已知数列{an}满足:a1=a2=a3=k(常数 k>0) ,an+1= (n≥3,n?N*) .数列{bn}满足: an-2 a +a + bn= n n 2(n?N*) . an+1 (1)求 b1,b2,b3,b4 的值; (2)求出数列{bn}的通项公式; (3)问:数列{an}的每一项能否均为整数?若能,求出 k 的所有可能值;若不能,请说明理由.

高三数学试卷

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江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试

数学试卷
2016.05

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页,均为解答题(第 21~23 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分 钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它 位置作答一律无效。如有作图需要,用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................ 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. [选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC= 2,CD 切半圆 O 于点 D,DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE:EB=3:1,求 DE 的长.

(第 21—A 题)

B. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 设矩阵A=?

?1 -2? ?3? ?的逆矩阵为 A?1 ,矩阵B满足AB=? ?,求 A?1 ,B. ?1? ?3 -7?

高三数学试卷

第 5 页(共 4 页)

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) x=3+ t, ?x=4cosθ 2 ? 已知点 P 在曲线 C:? (?为参数)上,直线 l: (t 为参数) ,求 P 到直 2 ?y=3sinθ ? 线 l 距离的最小值. 2 ? ? ?y=-3+ 2 t

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 4 1 1 求函数 f(x)= + ,x∈(0, )的最小值. x 1-4x 4

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答.解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分) 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0<p<1).现有 3 次投篮机会,并规定连续两次投篮均 21 不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完 3 次投篮机会的概率是 . 25 (1)求 p 的值; (2)设该运动员投篮命中次数为?,求?的概率分布及数学期望 E(?).

23.(本小题满分 10 分) 1 1 已知数列{an}满足 an+1=(1+ 2 )an+ n( n?N*),且 a1=1. 2 n +n (1)求证:当 n≥2 时,an≥2;
3

(2)利用“?x>0,ln(1+x)<x, ”证明:an <2e4 (其中 e 是自然对数的底数).

高三数学试卷

第 6 页(共 4 页)

数学参考答案及评分标准
说明:

2016.05

1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.[-1,3] 1 6. 12 11. ?2 2 ,2 2 2.四 7. 205
2) 3.( ?? ,

4. 2 2

5.14 10. 3

1 000 8. ? 3 13. ? 1 2

13? 9.?1,
14. 6+1

?

?

12.27

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 2 5 15.解:(1)因为?∈(0,?),且 tan?=2,所以 sin?= , 5 3 且 cos2?=1-2sin2?=- , 5 6分 4 7 2 ? (2)又因为 cos2?<0,所以 2?∈( ,?),sin2?= ,又因为?∈(0,?) ,cos?=- , 2 5 10 2 ? ? ? 所以?∈( ,?),sin?= ,且 2?-?∈(- , ), 2 10 2 2 所以 sin(2?-?)=- 14 分 2 ? ,所以 2?-?=- . 2 4 ??????? ??????????????

16.证明:证明: (1)取 PD 中点 G,连 AG,FG, 1 因为 F?G 分别为 PC?PD 的中点,所以 FG∥CD,且 FG= CD. ???????2 分 2 1 又因为 E 为 AB 中点,所以 AE∥CD,且 AE= CD. ???????4 分 2 所以 AE∥FG,AE=FG.故四边形 AEFG 为平行四边形. / 平面 PAD,AG?平面 PAD, 所以 EF∥AG,又 EF? 故 EF∥平面 PAD. ???????6 分

高三数学试卷

第 7 页(共 4 页)

AH AE 1 (2)设 AC∩DE=H,由△AEH∽△CDH 及 E 为 AB 中点得 = = , CH CD 2 1 3 又因为 AB= 2,BC=1,所以 AC= 3,AH= AC= . 3 3 AH AB 2 所以 = = ,又∠BAD 为公共角,所以△GAE∽△BAC. AE AC 3 所以∠AHE=∠ABC=90?,即 DE⊥AC. 又 DE⊥PA,PA∩AC=A, 所以 DE⊥平面 PAC. 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ???????12 分 ???????14 分 ???????10 分

17.解: (1)由 OA ? 2 ,知 a ? 2 , 又 c ? 1 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所
x2 ? y2 ? 1 . 2















???????2 分
2

n) 在直线 mx ? ny ? 1 上,所以 m ? n2 ? 1 , 因为 P(m , 2 2 n) 在椭圆 x ? y 2 ? 1 上, 从而点 P(m , 2
2

???????

4分 根据椭圆定义知, PF1 ? PF2 ? 2 2 . 6分 (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,
??? ? ???? ? 由 AB ? F1F2 ? 8 得, x2 ? x1 ? 4 , 3 3

???????

???????

8分
? mx ? ny ? 1 , ? 2 ? 由 ? x 2 ? y 2 ? 2, 得, ?4 ? m2 ? x2 ? 4mx ? 4?m2 ? 1? ? 0 , ? 2 ? m ? n2 ? 1 ? 2

???????

10 分 解得 x1 ? 12 分

2(m ? 1) 2(m ? 1) , x2 ? , m? 2 2?m

???????

高三数学试卷

第 8 页(共 4 页)

从而

2(m ? 1) 2( m ? 1) 4 ? , ? 3 m? 2 2?m

解得 m ? ?1 , n ? 2 . 2 14 分

???????

l 18.解: (1)设 OP=r,则 l=r· 2θ,即 r= , 2θ 1 l2 π 所以 S1= lr= ,θ∈(0, ). 2 4θ 2 ???????????4 分

(2)设 OC=a,OD=b.由余弦定理,得 l2=a2+b2-2abcos2θ,所以 l2≥2ab-2abcos2θ. ??????????????6 分 l2 所以 ab≤ ,当且仅当 a=b 时“=”成立. 2(1-cos2θ) 1 l2sin2θ l2 l2 所以 S△ OCD= absin2θ≤ = ,即 S2= . ??????8 分 2 4tanθ 4(1-cos2θ) 4tanθ 1 1 4 π (3) - = 2(tanθ-θ),θ∈(0, ), . ????????????10 分 S2 S1 l 2 sinθ sin2θ 令 f(θ)=tanθ-θ,则 f ?(θ)=( )?-1= 2 . ?????12 分 cosθ cos θ π π π 当 θ∈(0, )时,f ?(θ)>0,所以 f(θ)在[0, )上单调增,所以,当 θ∈(0, ), 2 2 2 1 1 总有 f(θ)>f(0)=0.所以 - >0,得 S1>S2. S2 S1 答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有作答扣一分) ????14 分 19.解: (1) T ? ? ; (2)只需考虑 f ( x) 在 [0 ,? ] 上的最大值即可.
? ?? ①当 x ? ?0 , ? 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , ? 2?

???????2 分

f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? at ,t ?[1,2] ;
a 2 a2 f(x)=u(t)=-t +at=-(t- ) + ,t∈[1, 2] 2 4
2

(i) (ii) (iii)

a 当 <1 时,即 a<2,u(x)max=u(1)=a-1; 2 a a2 当 1≤ ≤ 2时,即 2≤a≤2 2,u(x)max= ; 2 4 a 当 > 2时,即 a>2 2,u(x)max=u( 2)= 2a-2, 2 ???????4 分

②当 x ? ( ,? ] 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , 2

?

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第 9 页(共 4 页)

f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? at ? 2 , t ?[1, 2] ;
(i) (ii) a 1+ 2 当- > 时,即 a<-1- 2,v(x)max=v(1)=a-1; 2 2 a 1+ 2 当- ≤ 时,即 a≥-1- 2,v(x)max=v( 2)= 2a, 2 2

???????6 分

由①②可知, f ( x)max ? max{u(t ) ,v(t )} , t ?[1,2] . (i) (ii) (iii) (iv) 当 a<-1- 2时,f(x)max=a-1; 当-1- 2≤a<2 时,因为 2a-(a-1)=( 2-1)a+1≥0,所以 f(x)max= 2a; a2 a 当 2≤a<2 2时,因为 2a- =a( 2- )>0,所以 f(x)max= 2a; 4 4 当 a≥2 2时,因为 2a> 2a-2,所以 f(x)max= 2a, ???????8 分

所以当 a ≤ ? 2 ? 1 时,的最大值为 a ? 1 ;当 a ? ? 2 ? 1 时,最大值为 2a . ???????10 分 (3)因为 a ? 1 ,探究 f ( x ) 在 (0 , ? ) 上的零点个数. 当 x ? (0 ,

?
2

] 时,令 f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? t ? 0 ,解得 t=0 或 1.

则t?

2 sin( x ?

?
4

) ? 0 在 (0 ,

?
2

] 上 无 解 , t ? 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 在 (0 ,

?
2

] 上仅有一解

x?

?
2



???????12 分

当 x ?(

?
2

, ? ) 时,令 f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解得 t=-2 或 1.
?
?

则 t ? 2 sin( x ? ) ? ?2 在 ( , ? ) 上无解, t ? 2 sin( x ? ) ? 1 在 ( , ? ) 上也无解.又因为 x=? 4 2 4 2 时, f (? ) ? 0 . ???????14 分

?

?

? ] 上有且仅有 2 个零点,分别为 x ? 综上, f ( x ) 在 (0 ,

?
2

与 x ?? .

又因为 f ( x ) 是以为周期的函数,所以 f ( x ) 在 (0,k? ) 上恰有 2 n ? 1 个零点,由题意得 2k ? 1 ? 2015 , 则 k ? 1008 . ???????16 分

20.解: (1)经过计算得, a4 ? k ? 1, a5 ? k ? 2, a6 ? 求得 b1 ? b3 ? 2, b2 ? b4 ?

k ? a4 a5 k ? (k ? 1)(k ? 2) 2 ? ? k ?4? . a3 k k
????????????????3 分

2k ? 1 . k

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(2)由条件可知: an?1an?2 ? k ? an an?1 .????① 类似地有: an?2 an?1 ? k ? an?1an .????② ①-②有: an?1an?2 ? an?2 an?1 ? an an?1 ? an?1an . 即: an?1an?2 ? an?1an ? an an?1 ? an?2an?1 . 因此: 即:

an ? an ? 2 an ?2 ? an ? an ?1 an ?1

??????????????7 分

a1 ? a3 ?2 a2 a ? a4 2 k ? 1 ??????????????9 分 b2 n ? b2 n?2 ? ?b2 ? 2 ? a3 k (3)假设存在正整数 k ,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数。 bn ? bn?2 ,?b2 n?1 ? b2 n?3 ? ?b1 ?

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 由(2)知 ? (n ? 1,2,3?) ? ? 2k ? 1 a ? a ? a 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? k ? 2 由 a1 ? k ? z , a6 ? k ? 4 ? ? z 可知 k ? 1,2 ??????????????11 分 k 2k ? 1 ? 3 为整数,利用 a1 , a2 , a3 ? z 结合 ? ,反复递推,可知 a4 , a5 , a6 ? 均为整 当 k ? 1 时, k
数。 ??????????????13 分

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 当 k ? 2 时?变为 ? (n ? 1,2,3?) 5 a2 n ? 2 ? a2 n?1 ? a2 n ? 2 ? 消去 a2n?1 , a2n?1 得: 3a2n ? a2n?2 ? a2n?2 (n ? 2) 由 a2 , a4 ? z,? a6 ? z ?? a2n ? Z
5 ? ?a2 n? 2 ? a2 n?1 ? a2 n (n ? 1,2,3?) 2 ? ? a2n?1 为偶数, a1 ? k =2 ,故数列 ?an ? 是整数列.
综上所述, k 的取值集合是 ?1, 2? . ??????????????16 分

高三数学试卷

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2016 届高三第四次模拟考试 参考答案及评分建议
2016.05

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................ 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C. [选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC= 2,CD 切半圆 O 于点 D,DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE:EB=3:1,求 DE 的长. 解:连结 AD,DO,DB. 由 AE:EB=3:1,得 DO:OE=2:1. 又 DE⊥AB,所以∠DOE=60° .故△ODB 为正三角形. 又 CD 切半圆 O 于点 D,所以∠DAC=∠BDC=30° . 因为∠ABD=60° ,故∠C=30° =∠BDC.所以 DB=BC= 2. 在△OBD 中,DE= 3 6 DB= . 2 2 ?10 分

(第 21—A 题)

D. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 矩阵A=?

?1 -2? ?3? ?的逆矩阵为 A?1 ,矩阵B满足AB=? ?,求 A?1 ,B. ?1? ?3 -7?


解:由逆矩阵公式得,A 1=?

?7 -2? ?, ?5 分 ?3 -1?

则 B=A 1AB=?


?7 -2? ?3? ?19? ? ? ?=? ?.?10 分 ?3 -1? ?1? ? 8?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ?x=4cosθ ?x ? 3 ? 2 t , 已知点 P 在曲线 C:? ( ? 为参数)上,直线 l: ? ( t 为参数) ,求 P 到直 ?y=3sinθ ? 2 ?

?

2

?

y ? ?3 ?

2

t

线 l 距离的最小值. 解:将直线 l 化为普通方程为:x-y-6=0.

高三数学试卷

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|4cosθ-3sinθ-6| |5cos(θ+φ)-6| 3 则 P(4cosθ,3sinθ) 到直线 l 的距离 d= = ,其中 tanφ= . 4 2 2 所以当 cos(θ+φ)=1 时,dmin= 2 , 2 2 .?10 分 2

即点 P 到直线 l 的距离的最小值为

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 求函数 f ( x ) ? 4 ? 1 , x ? 0 ,1 的最小值. x 1 ? 4x 4
2 2 42 12 解:函数 f ( x ) ? 4 ? 1 = + = 4 ? 1 ?4x ? 1 ? 4x ? ≥(4+1)2=25 x 1 ? 4 x 4x 1-4x 4x 1 ? 4x

? ?

?

?

1 (当且仅当 x= 时, “=”成立) .?10 分 5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答.解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分) 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0< p <1).现有 3 次投篮机会,并规定连续两次投篮均 不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完 3 次投篮机会的概率是 21 . 25 (1)求 p 的值; (2)设该运动员投篮命中次数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望 E( ? ). 解: (1)设事件 A : “恰用完 3 次投篮机会” , 则其对立事件 A : “前两次投篮均不中” ,
2 依题意, P( A) ? 1 ? P A ? 1 ? ?1 ? p ? ? 21 , 25

? ?

解得 p ? 3 ; 5 (2)依题意, ? 的所有可能值为 0,1,2,3,
2 且 P(? ? 0) ? ?1 ? p ? ? 4 , 25 2 P(? ? 1) ? p ?1 ? p ? ? ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? 24 , 125

?? 4 分

P(? ? 3) ? p3 ? 27 , 125

故 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 54 , 125

?? 8 分

高三数学试卷

第 13 页(共 4 页)

? 的概率分布表为: ?
0
4 25

1
24 125

2
54 125

3
27 125

P

E( ? ) ? 24 ? 2 ? 54 ? 3 ? 27 ? 213 (次) . 125 125 125 125

?? 10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知数列{an}满足 an?1 ? 1 ?

?

1 a ? 1 (n ? N* ) ,且 a ? 1 . 1 n ? n n 2n
2

?

(1)求证:当 n≥2 时, an≥2 ; (2)利用“ ?x ? 0 , ln ?1 ? x ? ? x ”证明: an ? 2e 4 (其中 e 是自然对数的底数). 证明:(1)①当 n ? 2 时, a2 ? 2 ,不等式成立. ②假设当 n ? k ? k ? 2? 时不等式成立,即 ak ? 2 ? k ? 2? , 则 ak ?1 ? ? 1 ?
3

? ?

? 1 1 ? ak ? k ? 2 . k ? k ? 1? ? 2

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 根据①,②, an ? 2 对所有 n ? 2 成立. (2)当 n ? 2 时,由递推公式及(1)的结论有 ?? 4 分

1 ? 1 ? 1 1 ? ? an?1 ? ? 1 ? 2 ? n?1 ? an ? n ? 2 ? , ? an ? n ? ? 1 ? 2 n ?n? 2 n ?n 2 ? ? ?
两边取对数并利用已知不等式 ln ?1 ? x ? ? x 得

1 1 ? 1 1 ? ln an?1 ? ln ? 1 ? 2 ? n +1 ? ? ln an ? ln an ? 2 ? n +1 , n ?n 2 ? n ?n 2 ?
故 ln an ?1 ? ln an ?

1 1 ? n +1 ? n ? 2 ? , n ?n 2
2

1 1 1 1 1 1 求和可得 lnan-lna2< + +. . .+ + 3+ 4+. . .+ n 2 2?3 3?4 (n-1)n 2 2

1? 1 1 1 1 1 3 ? 1 1? ?1 1? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 3 ? ? ? ? 2? n ? . 1 2 n 2 4 2 ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 1? 2
n? 2

1?

1

高三数学试卷

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an 3 4 由(1)知, a2 ? 2 ,故有 ln < ,an<2 e (n≥2), 2 4
3

3

而 a1=1 小于 2 e 4 , 故对任意正整数 n ,有 an ? 2e
3 4.

?? 10 分

高三数学试卷

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