9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试题



江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试

数学试卷
2016.05

数学Ⅰ试题
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题,共 6

题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,只要将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上,并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑,如需改动,请用橡皮 擦干净后,再正确涂写。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的标准差 s ? 1 ? ( xi ? x )2 ,其中 x ? 1 ? xi . n i ?1 n i ?1
n
n

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸 相应位 ... ... 置 上. .
1. 已知集合 A={x|0<x≤3,x∈R },B={x|-1≤x≤2,x∈R }, 则 A∪B= ▲ . 3+i 2. 在复平面内,复数 z= (i 是虚数单位)对应的点在第 ▲ 象限. 1+i 3. 函数 f(x)=log1(2-x)的定义域为 ▲ .
3

开始 S←0

i←1
S←i 2-S

4. 数据 1,3,5,7,9 的标准差 为 ▲ . ... 5. 右图是一个算法流程图,则输出的 T 的值为 ▲ .
S≥10 Y T←S+i 输出 T 结束 (第 5 题)

i←i+1
N

6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上面的点数之和为 4 的概率是 ▲ .

高三数学试卷

第 1 页(共 4 页)

1 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b=(-2,1),则 5 |a-b| 的值为 ▲ . 8. 现用一半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接 部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗) ,则该容器的容积为 ▲ cm3.

x2 9. 已知实数 x , y 满足 3 +y2=1,则 u=|3x+3y-7|的取值范围为 ▲ . 1 1 10.已知 0<?<?<?,且 cos?cos?= ,sin?sin?= ,则 tan(?-?)的值为 ▲ . 6 3 11. 在平面直角坐标 xOy 中,已知 A(1,0),B(4,0),直线 x-y+m=0 上存在唯一的点 P 满足 PA 1 = ,则实数 m 的取值集合是 ▲ . PB 2
9

12.已知{an}为等差数列,{an+1}为等比数列,且 a1=3,则 ∑an 的值为 ▲ .
n=1

1 a 13.已知 8a +9 +c=0,b - b-c=0,其中 a,b,c 均为非零实数,则 的值为 ▲ . 3 b
3 a 3

14.如图,在凸四边形 ABCD 中,AB=1,BC= 3,且 AC⊥CD, AC=CD,则当?ABC 变化时,线段 BD 长的最大值为 ▲ . B

A

D

C
(第 14 题)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸 指定区域内 作答,解答时应写出 ... ..... 文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知 tan?=2,cos?=- (1)求 cos2?的值; (2)求 2?-?的值. 7 2 ,且?,?∈(0,?). 10

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别是 AB,PC 的中点,PA⊥DE. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PDE.
A E B (第 16 题) 高三数学试卷 第 2 页(共 4 页) D P F

C

17.(本小题满分 14 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距 F1F2 的长为 2,经过第二象限内 a b mx ny 一点 P(m,n)的直线 2 + 2 =1 与圆 x2+y2=a2 交于 A,B 两点,且 OA= 2. a b (1)求 PF1+PF2 值; → → 8 (2)若 AB ?F1F2= ,求 m,n 的值. 3 P F1 O y B A

F2

x

(第 17 题)

18.(本小题满分 16 分) 如图,一个角形海湾 AOB,∠AOB=2θ(常数 θ 为锐角) .拟用长度为 l(l 为常数)的围网围成 一个养殖区,有以下两种方案可供选择: ⌒ 方案一 如图 1,围成扇形养殖区 OPQ,其中 PQ =l; 方案二 如图 2,围成三角形养殖区 OCD,其中 CD=l;
B Q B D B

l
O

l 2θ
O 图2


A (第 18 题)


O 图1 P A

C A

(1)求方案一中养殖区的面积 S1 ; l2 (2)求证:方案二中养殖区的最大面积 S2= ; 4tanθ (3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.

高三数学试卷

第 3 页(共 4 页)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1,a∈R (1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程) ; (2)求函数 f(x)的最大值; (3)当 a=1 时,若函数 f(x)在区间(0,k?)(k∈N*)上恰有 2015 个零点,求 k 的值.

20.(本小题满分 16 分) k+anan-1 已知数列{an}满足:a1=a2=a3=k(常数 k>0) ,an+1= (n≥3,n?N*) .数列{bn}满足: an-2 a +a + bn= n n 2(n?N*) . an+1 (1)求 b1,b2,b3,b4 的值; (2)求出数列{bn}的通项公式; (3)问:数列{an}的每一项能否均为整数?若能,求出 k 的所有可能值;若不能,请说明理由.

高三数学试卷

第 4 页(共 4 页)

江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试

数学试卷
2016.05

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页,均为解答题(第 21~23 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分 钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它 位置作答一律无效。如有作图需要,用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................ 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. [选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC= 2,CD 切半圆 O 于点 D,DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE:EB=3:1,求 DE 的长.

(第 21—A 题)

B. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 设矩阵A=?

?1 -2? ?3? ?的逆矩阵为 A?1 ,矩阵B满足AB=? ?,求 A?1 ,B. ?1? ?3 -7?

高三数学试卷

第 5 页(共 4 页)

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) x=3+ t, ?x=4cosθ 2 ? 已知点 P 在曲线 C:? (?为参数)上,直线 l: (t 为参数) ,求 P 到直 2 ?y=3sinθ ? 线 l 距离的最小值. 2 ? ? ?y=-3+ 2 t

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 4 1 1 求函数 f(x)= + ,x∈(0, )的最小值. x 1-4x 4

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答.解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分) 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0<p<1).现有 3 次投篮机会,并规定连续两次投篮均 21 不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完 3 次投篮机会的概率是 . 25 (1)求 p 的值; (2)设该运动员投篮命中次数为?,求?的概率分布及数学期望 E(?).

23.(本小题满分 10 分) 1 1 已知数列{an}满足 an+1=(1+ 2 )an+ n( n?N*),且 a1=1. 2 n +n (1)求证:当 n≥2 时,an≥2;
3

(2)利用“?x>0,ln(1+x)<x, ”证明:an <2e4 (其中 e 是自然对数的底数).

高三数学试卷

第 6 页(共 4 页)

数学参考答案及评分标准
说明:

2016.05

1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.[-1,3] 1 6. 12 11. ?2 2 ,2 2 2.四 7. 205
2) 3.( ?? ,

4. 2 2

5.14 10. 3

1 000 8. ? 3 13. ? 1 2

13? 9.?1,
14. 6+1

?

?

12.27

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 2 5 15.解:(1)因为?∈(0,?),且 tan?=2,所以 sin?= , 5 3 且 cos2?=1-2sin2?=- , 5 6分 4 7 2 ? (2)又因为 cos2?<0,所以 2?∈( ,?),sin2?= ,又因为?∈(0,?) ,cos?=- , 2 5 10 2 ? ? ? 所以?∈( ,?),sin?= ,且 2?-?∈(- , ), 2 10 2 2 所以 sin(2?-?)=- 14 分 2 ? ,所以 2?-?=- . 2 4 ??????? ??????????????

16.证明:证明: (1)取 PD 中点 G,连 AG,FG, 1 因为 F?G 分别为 PC?PD 的中点,所以 FG∥CD,且 FG= CD. ???????2 分 2 1 又因为 E 为 AB 中点,所以 AE∥CD,且 AE= CD. ???????4 分 2 所以 AE∥FG,AE=FG.故四边形 AEFG 为平行四边形. / 平面 PAD,AG?平面 PAD, 所以 EF∥AG,又 EF? 故 EF∥平面 PAD. ???????6 分

高三数学试卷

第 7 页(共 4 页)

AH AE 1 (2)设 AC∩DE=H,由△AEH∽△CDH 及 E 为 AB 中点得 = = , CH CD 2 1 3 又因为 AB= 2,BC=1,所以 AC= 3,AH= AC= . 3 3 AH AB 2 所以 = = ,又∠BAD 为公共角,所以△GAE∽△BAC. AE AC 3 所以∠AHE=∠ABC=90?,即 DE⊥AC. 又 DE⊥PA,PA∩AC=A, 所以 DE⊥平面 PAC. 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ???????12 分 ???????14 分 ???????10 分

17.解: (1)由 OA ? 2 ,知 a ? 2 , 又 c ? 1 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所
x2 ? y2 ? 1 . 2















???????2 分
2

n) 在直线 mx ? ny ? 1 上,所以 m ? n2 ? 1 , 因为 P(m , 2 2 n) 在椭圆 x ? y 2 ? 1 上, 从而点 P(m , 2
2

???????

4分 根据椭圆定义知, PF1 ? PF2 ? 2 2 . 6分 (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,
??? ? ???? ? 由 AB ? F1F2 ? 8 得, x2 ? x1 ? 4 , 3 3

???????

???????

8分
? mx ? ny ? 1 , ? 2 ? 由 ? x 2 ? y 2 ? 2, 得, ?4 ? m2 ? x2 ? 4mx ? 4?m2 ? 1? ? 0 , ? 2 ? m ? n2 ? 1 ? 2

???????

10 分 解得 x1 ? 12 分

2(m ? 1) 2(m ? 1) , x2 ? , m? 2 2?m

???????

高三数学试卷

第 8 页(共 4 页)

从而

2(m ? 1) 2( m ? 1) 4 ? , ? 3 m? 2 2?m

解得 m ? ?1 , n ? 2 . 2 14 分

???????

l 18.解: (1)设 OP=r,则 l=r· 2θ,即 r= , 2θ 1 l2 π 所以 S1= lr= ,θ∈(0, ). 2 4θ 2 ???????????4 分

(2)设 OC=a,OD=b.由余弦定理,得 l2=a2+b2-2abcos2θ,所以 l2≥2ab-2abcos2θ. ??????????????6 分 l2 所以 ab≤ ,当且仅当 a=b 时“=”成立. 2(1-cos2θ) 1 l2sin2θ l2 l2 所以 S△ OCD= absin2θ≤ = ,即 S2= . ??????8 分 2 4tanθ 4(1-cos2θ) 4tanθ 1 1 4 π (3) - = 2(tanθ-θ),θ∈(0, ), . ????????????10 分 S2 S1 l 2 sinθ sin2θ 令 f(θ)=tanθ-θ,则 f ?(θ)=( )?-1= 2 . ?????12 分 cosθ cos θ π π π 当 θ∈(0, )时,f ?(θ)>0,所以 f(θ)在[0, )上单调增,所以,当 θ∈(0, ), 2 2 2 1 1 总有 f(θ)>f(0)=0.所以 - >0,得 S1>S2. S2 S1 答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有作答扣一分) ????14 分 19.解: (1) T ? ? ; (2)只需考虑 f ( x) 在 [0 ,? ] 上的最大值即可.
? ?? ①当 x ? ?0 , ? 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , ? 2?

???????2 分

f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? at ,t ?[1,2] ;
a 2 a2 f(x)=u(t)=-t +at=-(t- ) + ,t∈[1, 2] 2 4
2

(i) (ii) (iii)

a 当 <1 时,即 a<2,u(x)max=u(1)=a-1; 2 a a2 当 1≤ ≤ 2时,即 2≤a≤2 2,u(x)max= ; 2 4 a 当 > 2时,即 a>2 2,u(x)max=u( 2)= 2a-2, 2 ???????4 分

②当 x ? ( ,? ] 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , 2

?

高三数学试卷

第 9 页(共 4 页)

f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? at ? 2 , t ?[1, 2] ;
(i) (ii) a 1+ 2 当- > 时,即 a<-1- 2,v(x)max=v(1)=a-1; 2 2 a 1+ 2 当- ≤ 时,即 a≥-1- 2,v(x)max=v( 2)= 2a, 2 2

???????6 分

由①②可知, f ( x)max ? max{u(t ) ,v(t )} , t ?[1,2] . (i) (ii) (iii) (iv) 当 a<-1- 2时,f(x)max=a-1; 当-1- 2≤a<2 时,因为 2a-(a-1)=( 2-1)a+1≥0,所以 f(x)max= 2a; a2 a 当 2≤a<2 2时,因为 2a- =a( 2- )>0,所以 f(x)max= 2a; 4 4 当 a≥2 2时,因为 2a> 2a-2,所以 f(x)max= 2a, ???????8 分

所以当 a ≤ ? 2 ? 1 时,的最大值为 a ? 1 ;当 a ? ? 2 ? 1 时,最大值为 2a . ???????10 分 (3)因为 a ? 1 ,探究 f ( x ) 在 (0 , ? ) 上的零点个数. 当 x ? (0 ,

?
2

] 时,令 f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? t ? 0 ,解得 t=0 或 1.

则t?

2 sin( x ?

?
4

) ? 0 在 (0 ,

?
2

] 上 无 解 , t ? 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 在 (0 ,

?
2

] 上仅有一解

x?

?
2



???????12 分

当 x ?(

?
2

, ? ) 时,令 f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解得 t=-2 或 1.
?
?

则 t ? 2 sin( x ? ) ? ?2 在 ( , ? ) 上无解, t ? 2 sin( x ? ) ? 1 在 ( , ? ) 上也无解.又因为 x=? 4 2 4 2 时, f (? ) ? 0 . ???????14 分

?

?

? ] 上有且仅有 2 个零点,分别为 x ? 综上, f ( x ) 在 (0 ,

?
2

与 x ?? .

又因为 f ( x ) 是以为周期的函数,所以 f ( x ) 在 (0,k? ) 上恰有 2 n ? 1 个零点,由题意得 2k ? 1 ? 2015 , 则 k ? 1008 . ???????16 分

20.解: (1)经过计算得, a4 ? k ? 1, a5 ? k ? 2, a6 ? 求得 b1 ? b3 ? 2, b2 ? b4 ?

k ? a4 a5 k ? (k ? 1)(k ? 2) 2 ? ? k ?4? . a3 k k
????????????????3 分

2k ? 1 . k

高三数学试卷

第 10 页(共 4 页)

(2)由条件可知: an?1an?2 ? k ? an an?1 .????① 类似地有: an?2 an?1 ? k ? an?1an .????② ①-②有: an?1an?2 ? an?2 an?1 ? an an?1 ? an?1an . 即: an?1an?2 ? an?1an ? an an?1 ? an?2an?1 . 因此: 即:

an ? an ? 2 an ?2 ? an ? an ?1 an ?1

??????????????7 分

a1 ? a3 ?2 a2 a ? a4 2 k ? 1 ??????????????9 分 b2 n ? b2 n?2 ? ?b2 ? 2 ? a3 k (3)假设存在正整数 k ,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数。 bn ? bn?2 ,?b2 n?1 ? b2 n?3 ? ?b1 ?

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 由(2)知 ? (n ? 1,2,3?) ? ? 2k ? 1 a ? a ? a 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? k ? 2 由 a1 ? k ? z , a6 ? k ? 4 ? ? z 可知 k ? 1,2 ??????????????11 分 k 2k ? 1 ? 3 为整数,利用 a1 , a2 , a3 ? z 结合 ? ,反复递推,可知 a4 , a5 , a6 ? 均为整 当 k ? 1 时, k
数。 ??????????????13 分

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 当 k ? 2 时?变为 ? (n ? 1,2,3?) 5 a2 n ? 2 ? a2 n?1 ? a2 n ? 2 ? 消去 a2n?1 , a2n?1 得: 3a2n ? a2n?2 ? a2n?2 (n ? 2) 由 a2 , a4 ? z,? a6 ? z ?? a2n ? Z
5 ? ?a2 n? 2 ? a2 n?1 ? a2 n (n ? 1,2,3?) 2 ? ? a2n?1 为偶数, a1 ? k =2 ,故数列 ?an ? 是整数列.
综上所述, k 的取值集合是 ?1, 2? . ??????????????16 分

高三数学试卷

第 11 页(共 4 页)

2016 届高三第四次模拟考试 参考答案及评分建议
2016.05

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................ 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C. [选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC= 2,CD 切半圆 O 于点 D,DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE:EB=3:1,求 DE 的长. 解:连结 AD,DO,DB. 由 AE:EB=3:1,得 DO:OE=2:1. 又 DE⊥AB,所以∠DOE=60° .故△ODB 为正三角形. 又 CD 切半圆 O 于点 D,所以∠DAC=∠BDC=30° . 因为∠ABD=60° ,故∠C=30° =∠BDC.所以 DB=BC= 2. 在△OBD 中,DE= 3 6 DB= . 2 2 ?10 分

(第 21—A 题)

D. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 矩阵A=?

?1 -2? ?3? ?的逆矩阵为 A?1 ,矩阵B满足AB=? ?,求 A?1 ,B. ?1? ?3 -7?


解:由逆矩阵公式得,A 1=?

?7 -2? ?, ?5 分 ?3 -1?

则 B=A 1AB=?


?7 -2? ?3? ?19? ? ? ?=? ?.?10 分 ?3 -1? ?1? ? 8?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ?x=4cosθ ?x ? 3 ? 2 t , 已知点 P 在曲线 C:? ( ? 为参数)上,直线 l: ? ( t 为参数) ,求 P 到直 ?y=3sinθ ? 2 ?

?

2

?

y ? ?3 ?

2

t

线 l 距离的最小值. 解:将直线 l 化为普通方程为:x-y-6=0.

高三数学试卷

第 12 页(共 4 页)

|4cosθ-3sinθ-6| |5cos(θ+φ)-6| 3 则 P(4cosθ,3sinθ) 到直线 l 的距离 d= = ,其中 tanφ= . 4 2 2 所以当 cos(θ+φ)=1 时,dmin= 2 , 2 2 .?10 分 2

即点 P 到直线 l 的距离的最小值为

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 求函数 f ( x ) ? 4 ? 1 , x ? 0 ,1 的最小值. x 1 ? 4x 4
2 2 42 12 解:函数 f ( x ) ? 4 ? 1 = + = 4 ? 1 ?4x ? 1 ? 4x ? ≥(4+1)2=25 x 1 ? 4 x 4x 1-4x 4x 1 ? 4x

? ?

?

?

1 (当且仅当 x= 时, “=”成立) .?10 分 5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答.解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分) 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0< p <1).现有 3 次投篮机会,并规定连续两次投篮均 不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完 3 次投篮机会的概率是 21 . 25 (1)求 p 的值; (2)设该运动员投篮命中次数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望 E( ? ). 解: (1)设事件 A : “恰用完 3 次投篮机会” , 则其对立事件 A : “前两次投篮均不中” ,
2 依题意, P( A) ? 1 ? P A ? 1 ? ?1 ? p ? ? 21 , 25

? ?

解得 p ? 3 ; 5 (2)依题意, ? 的所有可能值为 0,1,2,3,
2 且 P(? ? 0) ? ?1 ? p ? ? 4 , 25 2 P(? ? 1) ? p ?1 ? p ? ? ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? 24 , 125

?? 4 分

P(? ? 3) ? p3 ? 27 , 125

故 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 54 , 125

?? 8 分

高三数学试卷

第 13 页(共 4 页)

? 的概率分布表为: ?
0
4 25

1
24 125

2
54 125

3
27 125

P

E( ? ) ? 24 ? 2 ? 54 ? 3 ? 27 ? 213 (次) . 125 125 125 125

?? 10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知数列{an}满足 an?1 ? 1 ?

?

1 a ? 1 (n ? N* ) ,且 a ? 1 . 1 n ? n n 2n
2

?

(1)求证:当 n≥2 时, an≥2 ; (2)利用“ ?x ? 0 , ln ?1 ? x ? ? x ”证明: an ? 2e 4 (其中 e 是自然对数的底数). 证明:(1)①当 n ? 2 时, a2 ? 2 ,不等式成立. ②假设当 n ? k ? k ? 2? 时不等式成立,即 ak ? 2 ? k ? 2? , 则 ak ?1 ? ? 1 ?
3

? ?

? 1 1 ? ak ? k ? 2 . k ? k ? 1? ? 2

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 根据①,②, an ? 2 对所有 n ? 2 成立. (2)当 n ? 2 时,由递推公式及(1)的结论有 ?? 4 分

1 ? 1 ? 1 1 ? ? an?1 ? ? 1 ? 2 ? n?1 ? an ? n ? 2 ? , ? an ? n ? ? 1 ? 2 n ?n? 2 n ?n 2 ? ? ?
两边取对数并利用已知不等式 ln ?1 ? x ? ? x 得

1 1 ? 1 1 ? ln an?1 ? ln ? 1 ? 2 ? n +1 ? ? ln an ? ln an ? 2 ? n +1 , n ?n 2 ? n ?n 2 ?
故 ln an ?1 ? ln an ?

1 1 ? n +1 ? n ? 2 ? , n ?n 2
2

1 1 1 1 1 1 求和可得 lnan-lna2< + +. . .+ + 3+ 4+. . .+ n 2 2?3 3?4 (n-1)n 2 2

1? 1 1 1 1 1 3 ? 1 1? ?1 1? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 3 ? ? ? ? 2? n ? . 1 2 n 2 4 2 ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 1? 2
n? 2

1?

1

高三数学试卷

第 14 页(共 4 页)

an 3 4 由(1)知, a2 ? 2 ,故有 ln < ,an<2 e (n≥2), 2 4
3

3

而 a1=1 小于 2 e 4 , 故对任意正整数 n ,有 an ? 2e
3 4.

?? 10 分

高三数学试卷

第 15 页(共 4 页)



相关文档:


更多相关文章:
...金陵中学高三第四次模拟考试数学试题
江苏省海安中学南京外国语学校金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试 数学试卷 2016.05 数学Ⅰ试题注 意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷
江苏省海安中学南京外国语学校金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试 数学试卷 2016.05 数学Ⅰ试题注 意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试题
江苏省海安中学南京外国语学校金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试 数学试卷 2016.05 数学Ⅰ试题注 意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学参考答案(金)...
江苏省海安高级中学南京外国语学校金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学参考答案(金)_数学_高中教育_教育专区。数学参考答案及评分标准说明: 2016.05 1.本...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试Word版含答案.doc...
江苏省海安中学南京外国语学校金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试 数学试卷 2016.05 数学Ⅰ试题 注 意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷
江苏省海安高级中学南京外国语学校金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。江苏省海安高级中学南京外国语学校、金陵中学2016届高三...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试英语试题
江苏省海安高级中学南京外国语学校金陵中学2016届高三第四次模拟考试英语试题_英语_高中教育_教育专区。江苏省海安高级中学南京外国语学校、金陵中学 2016 届...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试英语试卷
江苏省海安高级中学南京外国语学校金陵中学 2016 届高三第四次模拟考试 英语试卷第一部分 听力 (共两节,满分 20 分) 2016.5 做题时,先将答案标在试卷上。...
...金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学试题 扫描版
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档江苏省海安高级中学南京外国语学校金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学试题 扫描版_数学_高中教育_教育专区。 +...
...金陵中学2016届高三第四次模拟考试语文试题
海安高级中学南京外国语学校金陵中学2016届高三第四次模拟考试语文试题_高三语文_语文_高中教育_教育专区。江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2016 届...
更多相关标签:
江苏省海安高级中学    江苏省南通市海安县    江苏省海安县    江苏省海安中学    江苏省海安县天气预报    江苏省海安县人民医院    江苏省海安县地图    江苏省海安    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图