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函数解析式的七种求法(讲解)



函数解析式的常用求法
一、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。 例1 设

代等运算求得函数解析式。 例 8 设

f ( x)

是定义在

N?

上的函数,满足

f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a , b<

br />
都有

f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f ( x)
的表达式容易配成 g ( x ) 解 ?

二、 配凑法: 已知复合函数

f [ g ( x)] 的表达式, 求 f ( x ) 的解析式,f [g (x)]

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? , ? 不 妨 令 a ? x, b ? 1 , 得 :

的运算形式时, 常用配凑法。 但要注意所求函数 值域。 例2

f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的
f ( x) 的解析式。

f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ①
分别令①式中的 x ? 1, 2? n ? 1 得:

1 1 2 已知 f ( x ? ) ? x ? 2 x x

( x ? 0)

,求

f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 3, ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n,
? f ( n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n(n ? 1) 2 ? f ( x) ? 1 2 1 x ? x, x ? N ? 2 2
将上述各式相加得: f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n ,

三、换元法:已知复合函数

f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,

要注意所换元的定义域的变化。 例 3 已知

f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)
? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式。
2

四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例 4 已知:函数 y

1. 若 f(x)= 3x+ 1,g(x)= x2,则 f{f[g(x) ] }= 2.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式.
1 x 3.若 f ( ) ? ,求 f ( x) . x 1? x

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方 程组求得函数解析式。 例5 设

1 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) x

4.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) . 5.设 f ( x) 是一元二次函数, g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,且 g ( x ? 1) ? g ( x) ? 2 x?1 ? x 2 ,求 f ( x) 与 g ( x) . 6.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段 长为 2 2 ,求 f ( x) 的表达式.
1 7.设函数 f ( x) 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x , x

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值, 使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: 立,求

f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成

f ( x)

解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y ? y ? 1
2

求 f ( x) 的解析式.
再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1
2

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭



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