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2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训:第6章 不等式、推理与证明第4讲 Word版含解析



第六章

第4讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1 1. [2013· 常州质检]已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有( x A. 最大值为 0 C. 最大值为-4 答案:C 解析:∵x<0,∴-x>0, 1 1 ∴x+ -2=-(-x+ )-2≤-2 x -x 1 ?-x?· -2

=-4, -x B. 最小值为 0 D. 最小值为-4 )

1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时,等号成立. -x 2. [2013· 长沙质检]若 0<x<1,则当 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为( A. C. 1 3 3 4 B. D. 1 2 2 3 )

答案:D 解析:∵0<x<1, 1 ∴f(x)=x(4-3x)= · 3x(4-3x) 3 1 3x+4-3x 2 4 ≤ ×( )= , 3 2 3 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取得“=”,故选 D. 3 x2+2x+2 3. 函数 y= (x>-1)的图象最低点的坐标为( x+1 A. (1,2) C. (1,1) 答案:D ?x+1?2+1 1 解析:y= =x+1+ ≥2, x+1 x+1 1 当 x+1= ,即 x=0 时,y 最小值为 2,故选 D 项. x+1 B. (1,-2) D. (0,2) )

1 1 4. 已知 m=a+ (a>2),n=( )x2-2(x<0),则 m,n 之间的大小关系是( 2 a-2 A. m>n C. m=n 答案:A 解析:∵a>2,x<0, 1 ∴m=(a-2)+ +2 a-2 ≥2 1 ?a-2?· +2=4, a-2 B. m<n D. m≤n

)

n=22-x2<22=4,∴m>n,故选 A. 5. [2013· 商丘模拟]若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则 9x+3y 的最小值为( A. 12 C. 3 2 答案:D 解析: 依题意得 4(x-1)+2y=0, 2x+y=2,9x+3y=32x+3y≥2 32x×3y=2 32x y=2 32 即 =6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9x+3y 的最小值是 6,选 D. a b 6. 已知 a,b 为正实数且 ab=1,若不等式(x+y)( + )>m 对任意正实数 x,y 恒成立,则 x y 实数 m 的取值范围是( A. [4,+∞) C. (-∞,4] 答案:D a b ay bx ay bx 解析:因为(x+y)( + )=a+b+ + ≥a+b+2≥2 ab+2=4,当且仅当 a=b, = x y x y x y 时等号成立,即 a=b,x=y 时等号成立,故只要 m<4 即可,正确选项为 D. 二、填空题 7. [2013· 金版原创]规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a,b 为正实数).若 k?x 1?k=3,则 k 的值为________,此时函数 f(x)= 的最小值为________. x 答案:1 3 ) B. (-∞,1] D. (-∞,4)


)

B. 2 3 D. 6

解析:1?k= k+1+k=3, 即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍), ∴k=1.

f(x)=

1?x x+x+1 1 = =1+ x+ x x x

≥1+2=3, 当且仅当 x= 1 即 x=1 时等号成立. x

8. [2013· 西安质检]函数 f(x)=1+logax(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx 1 1 +ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 答案:2 解析:由题知,函数图象恒过点 A(1,1),且点 A 在直线 mx+ny-2=0 上,所以 m+n=2, 1 1 1 1 1 1 n m 1 其中 mn>0,所以 + = ( + )(m+n)= (2+ + )≥ ×(2+2)=2,当且仅当 m=n=1 时 m n 2m n 2 m n 2 取得最小值,故所求的最小值为 2. 9. [2013· 鹤岗模拟]若 a, c>0, a2+ab+ac+bc=4, 2a+b+c 的最小值为________. b, 且 则 答案:4 解析:由已知得 a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4, 则 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 ?a+b??a+c?=4, ∴2a+b+c 的最小值为 4. 三、解答题 10. [2013· 梅州质检]已知 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解:由 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1)

?x>0 ? 得?y>0 ?3xy=x+y+1 ?
(1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2 xy+1, ∴3xy-2 xy-1≥0, 即 3( xy)2-2 xy-1≥0, ∴(3 xy+1)( xy-1)≥0, ∴ xy≥1,∴xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0,

x+y 2 ∴x+y+1=3xy≤3· ( ), 2 ∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0, ∴x+y≥2, 当且仅当 x=y=1 时取等号, ∴x+y 的最小值为 2. 11. [2013· 房山区模拟]已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1) + + ≥8; a b ab 1 1 (2)(1+ )(1+ )≥9. a b 1 1 1 1 1 a+b 1 1 证明:(1) + + = + + =2( + ), a b ab a b ab a b ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴ + = + =2+ + ≥2+2=4, a b a b b a 1 1 1 1 ∴ + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 (2)方法一 ∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b ∴1+ =1+ =2+ , a a a 1 a 同理,1+ =2+ , b b 1 1 ∴(1+ )(1+ ) a b b a =(2+ )(2+ ) a b b a =5+2( + )≥5+4=9. a b 1 1 1 ∴(1+ )(1+ )≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 1 1 1 1 1 1 1 1 方法二 (1+ )(1+ )=1+ + + .由(1)知, + + ≥8, a b a b ab a b ab 1 1 1 1 1 故(1+ )(1+ )=1+ + + ≥9. a b a b ab 12. [2013· 三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、 舒适的生活环境, 计划建一个正八边形的休闲小区, 它的主体 造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面

积为 200 m2 的十字型区域.现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛,造价为 4200 元/m2,在四个 相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为 210 元/m2,再在四个空角上铺草坪,造 价为 80 元/m2. (1)设总造价为 S 元,AD 的长为 x m,试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)计划至少投入多少元,才能建造这个休闲小区. 解:(1)设 DQ=y, 200-x2 则 x +4xy=200,y= . 4x
2

1 S=4200x2+210×4xy+80×4× y2 2 400000 =38000+4000x2+ (0<x<10 2). x2 400000 (2)S=38000+4000x2+ x2 ≥38000+2 16×108=118000, 400000 当且仅当 4000x2= ,即 x= 10时,Smin=118000(元), x2 即计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区.



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