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数学必修五复习提纲——解三角形


数学必修五复习资料
第一章
一、知识点总结 a b c ? ? ? 2R 1.正弦定理: sin A sin B sin C
变形:

解三角形

①a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ? ? ? 边角互化 a b c ② sin A= , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R ? ? ③a : b : c ? sin A : sin B : sin C (大角对大边:A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C) a +b+c a b c ④ = ? ? ? 2R sin A+ sin B + sin C sin A sin B sin C

? b2 ? c2 ? a 2 ?cos A ? 2bc ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 ? 2 a ? c2 ? b2 ? b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? ?cos B ? 2.余弦定理: ? 2ac ? ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C 2 ? ? b ? a2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?
3.三角形面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 1 1 1 abc aha ? bhb ? chc 或 S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B = 2 2 2 2 2 2 4R

4.射影定理(了解) :

a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA
5.三角形中的常用结论:

(1)a ? b ? c, a ? b ? c(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ? cos A ? cos B

(3)在锐角三角形中,A和B是任意两个角,则 sin A ? cos B. (文字说明:锐角三角形中,任一角的正弦值大于其他角的余弦值)

? ? ? ? ? 0 ? ? B ? A ? ? sin( ? B) ? sin A ? cos B ? sin A 2 2 2 2 ? (4)在钝角三角形中,若C > , 则 sin A ? cos B. 2 ? ? ? ? 理由:A ? B ? ? 0 ? A ? ? B ? ? sin A ? sin( ? B) ? sin A ? cos B 2 2 2 2 (5)在一般三角形中, A ? cos B ? 0 cos 理由:A ? B ? ? ? 0 ? A ? ? ? B ? ? ? cos A ? cos(? ? B) ? cos A ? ? cos B ? cos A ? cos B ? 0
理由:A ? B ?
(6)三角形中的诱导公式: A? B ? C ? ? 2 2 2 sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C, A ? B ) ? ? tan C , tan( A? B ?C ?? ? A? B ?? ?C ? A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin , 2 2 2 2

1

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二、常见题型
1、解三角形 利用正弦定理:①已知两角和任意一边(AAS、ASA),求其他的两边及一角(只有一解) ②已知两边和其中一边的对角(SSA),求其他边角(无解,一解,两解) 利用余弦定理:①已知三边(SSS)求三角(只有一解) ②已知两边及夹角(SAS),求第三边和其他两角(只有一解) ③已知两边和其中一边的对角(SSA),求其他边角(无解,一解,两解) 已知“SSA”利用正弦定理与余弦定理求解的区别: 已知条件 定理应用 一般解法 1.A 为钝角或直角,a>b,一解,再求 sinB a≤b,无解 正弦定理 两边和其中一边的对角 (SSA) (如:a,b,A) (先求角 B) 2.A 为锐角,先求 sinB,若 sinB>1,无解; 若 sinB=1,一解; 若 sinB<1,a≥b,一解(B 是锐角) a<b, 两解 (B 是锐角或钝角) 余弦定理 (先求 c 边) 2、判断三角形形状或求值 方法一:确定最大角(只要知道三边的关系,就可以利用余弦定理的推论求出角) 方法二:边化角(统一化成角)
①常用公式:a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 2sin B ? sin C cos A
②常见结论: sin A=sin B ? A ? B(等腰三角形) ? ? sin ? (原理: ? ? sin ? ? ? ? ? +2k? 或? ? ? ? ? ? 2k? ) ? sin 2 A=sin 2 B ? A ? B(等腰三角形)或A ? B ? (直角三角形) ? 2 ?

先利用余弦定理写出关于 c 的方程,再求 c,最后根据方程根的情 况确定三角形解的个数。

方法三:角化边(统一化成边)
①常用公式: A ? sin a b c ,sin B ? ,sin C ? , 2R 2R 2R b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos A ? ,cos B ? ,cos C ? , 2bc 2ac 2ab

②常见结论: a 2 ? b 2 ? c 2 ? A ? 90?(钝角三角形) a 2 ? b 2 ? c 2 ? A ? 90?(直角三角形) ?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 2 2 ? b ? a ? c ? 锐角三角形 ? 2 2 2 ?c ? a ? b
2

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? 常见的形式:

①a cos A ? b cos B(等腰三角形或直角三角形) a b c ② ? ? (等边三角形) cos A cos B cos C ③b ? a cos C (直角三角形) ④ sin A ? 2sin B cos C (等腰三角形) ⑤(a ? b ? c )(b ? c ? a ) ? 3bc , 且 sin A ? 2sin B cos C (等边三角形)
3、构成三角形三边的问题

【例1】设2a ? 1, a, 2a ? 1为钝角三角形的三边,求实数a的取值范围.(考虑最大角为钝角和两边之和大于第三边) ?? 2a ? 1?2 ? a 2 ? ? 2a ? 1?2 ? 解:依题意, ,? 2 ? a ? 8,即a的取值范围为(2,8) ? ? a ? 2a ? 1 ? 2a ? 1 ?
【例2】已知锐角三角形边长分别为2,3, x,求 x 的取值范围.(考虑三个角都是锐角) ? x 2 ? 22 ? 32 ? 解:依题意, 2 ,? 5 ? x ? 13, 即x 的取值范围是( 5, 13 ) ? 2 2 ?3 ? 2 ? x ?

4、周长面积问题(记得同时利用两个公式:余弦定理和完全平方公式)

a 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 = ? b ? c ? ? 2bc
2

【例3】在?ABC的周长等于20,面积是10 3,?A ? 60?,BC 边的长。 解:由S ? 1 3 bc sin A,即10 3= bc ,? bc ? 40 2 4 又a ? b ? c =20,? b ? c ? 20 ? a ,
2 2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 2bc ? bc ? a 2 ? ? 20 ? a ? ? 120,? a ? 7,BC 长为7.
5、正、余弦定理的综合应用

【例 4】在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan
2 s iB n c C? os s,求 A, B 及 b, c Ai n

A? B C ? tan ? 4, 2 2

A? B C ? tan ? 4 得 【解析】由 tan 2 2

cos

又 C ? (0, ? ) ∴ C ?

?
6

,或C ?

5? 由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C) ,即 sin( B ? C ) ? 0 6
3

C C sin 1 1 2 ? 2 ?4∴ ? 4 ∴ sin C ? , C C C C 2 sin cos sin cos 2 2 2 2

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∴B ?C,B ?C ?

?
6

, A ? ? ? (B ? C) ?

2? 3

1 a b c sin B ? ? 由正弦定理 得b ? c ? a ? 2 3? 2 ? 2 sin A sin B sin C sin A 3 2

4


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