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重庆市巴蜀中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



2015-2016 学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( A.8π B.6π C.4π D.π )

2.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线



=1 与曲线

/>


=1 的(



A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等

3.椭圆 离心率为( A. B. ) C. D.

的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等,则该椭圆的

4.若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面



5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为



) B.24﹣ C.24﹣π D.24﹣

A.24﹣

6.已知过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF|=( A.1 B.2 C.4 D.4

2



7.如图,已知六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB 则下列结论正确 的是( )

A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°

8.已知直线 l,m,n,平面 α ,m? α ,n? α ,则“l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的( 条件. A.充分不必要 B.必要不充分



C.充要条件 D.既不充分也不必要

9.a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合平面,现给出四个命题 ① 其中正确的命题是( A.??①② B.?③④ ② ) C.?③ D.??③② ③ ④

10.P 是椭圆 的切线的斜率是( A. B.

上的一点,F1、F2 分别是左右焦点,若|PF1|=3|PF2|,则过点 P 的椭圆 ) C. D.

11.已知 + =1(m>0,n>0) ,当 mn 取得最小值时,直线 y=﹣ 的交点的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

+2 与曲线

+

=1

12.已知函数 f(x)= A.e+ B.e +
2

﹣x﹣ +2e 有且只有一个零点,则 k 的值为(
2



C.e +

D.e+

二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值 为 .

14.设双曲线 C 经过点(1,3) ,且与

﹣x =1 具有相同渐近线,则 C 的方程为

2



15.圆锥的轴截面是正三角,则它的侧面展开扇形圆心角为

弧度.

16.抛物线 y =4x,直线 l 过焦点 F,与其交于 A,B 两点,且 点)面积为 .

2

,则△AOB(O 为坐标原

三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.设定函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0) ,且方程 f′(x)﹣9x=0 的两个根分别为 1,4. (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点,求 a 的取值范围.
3 2

18.已知正方形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,且 (1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求点 E 到平面 PAC 的距离.

,E 是 AB 中点.

19.已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,其中左焦点(﹣2,0) .

(2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,求线段 AB 的最大值.

20.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,P 是 AD1 中点,Q 是 BD 中点,E 是 DD1 中点. (1)求证:PQ∥ 平面 D1DCC1; (2)求异面直线 CE 和 DP 所成角的余弦值.

21.已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0) ,过 点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,当|FD|=2 时,∠AFD=60°. (1)求证:FD 垂直平分 AQ,并求出抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P,AB 交 y 轴于点(0,m) ,若∠APB 为锐角,求 m 的取值范围.

2

22.已知函数 f(x)= x ﹣lnx+x+1,g(x)=ae + +ax﹣2a﹣1,其中 a∈R. (Ⅰ)若 a=2,求 f(x)的极值点; (Ⅱ)试讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若 a>0,? x∈(0,+∞) ,恒有 g(x)≥f′(x) (f′(x)为 f(x)的导函数) ,求 a 的最小值.

2

x

2015-2016 学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( A.8π B.6π C.4π D.π )

【考点】棱柱的结构特征;球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】求出正方体的棱长,然后求出内切球的半径,即可求出内切球的表面积. 【解答】解:正方体的体积为 8,故边长为 2,内切球的半径为 1,则表面积 S=4π R =4π , 故选 C 【点评】本题是基础题,考查正方体体积的应用,正方体的内切球的表面积的求法,考查计 算能力.
2

2.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线



=1 与曲线



=1 的(



A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据 k 的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及 a,b,c 的大小关系即可得到 结论. 【解答】解:当 0<k<9,则 0<9﹣k<9,16<25﹣k<25, 即曲线 ﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =25,b =9﹣k,c =34﹣k,
2 2 2

曲线



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =25﹣k,b =9,c =34﹣k,

2

2

2

即两个双曲线的焦距相等, 故选:A.

【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断 a,b,c 是解决本题的 关键.

3.椭圆 离心率为( A. B. ) C. D.

的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等,则该椭圆的

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可. 【解答】解:椭圆 的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等,

可得 c= 故选:D.

,解得 e=



【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,基本知识的考查.

4.若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.



【分析】选项 A 由反证法得出判断;选项 B 由异面直线的公垂线唯一得出判断;选项 C、D 可 借用图形提供反例. 【解答】解:设过点 P 的直线为 n,若 n 与 l、m 都平行,则 l、m 平行,与 l、m 异面矛盾, 故选项 A 错误; 由于 l、m 只有唯一的公垂线,而过点 P 与公垂线平行的直线只有一条,故 B 正确;

对于选项 C、D 可参考下图的正方体,设 AD 为直线 l,A′B′为直线 m,若点 P 在 P1 点,则显 然无法作出直线与两直线都相交, 故选项 C 错误; 若 P 在 P2 点, 则由图中可知直线 CC′及 D′P2 均与 l、m 异面,故选项 D 错误.

故选 B. 【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况,同时考查空间想象能力.

5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为



) B.24﹣ C.24﹣π D.24﹣

A.24﹣

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可知,该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得. 【解答】解:该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得, 其中长方体的体积为 V1=4×3×2=24; 半个圆柱的体积为 V2= 则 V=24﹣ 故选 A. 【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系. . = ,

6.已知过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF|=( A.1 B.2 C.4 D.4

2



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2,求得 A 的坐标, 即可得到 AB⊥x 轴,可得|BF|=|AF|=2. 【解答】解:抛物线 y =4x 的焦点 F 为(1,0) , 准线为 x=﹣1,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2, 解得 x1=1,y1=±2, 即有 AB⊥x 轴, 可得|BF|=|AF|=2. 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,运用定义法解题是关键,考查运算能力,属 于基础题.
2

7.如图,已知六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面是正六边形 ,PA⊥平面 ABC,PA=2AB 则下列结论正确 的是( )

A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 【分析】利用题中条件,逐一分析答案,通过排除和筛选,得到正确答案.

【解答】解:∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直, 所以 A 不成立,又,平面 PAB⊥平面 PAE, 所以平面 PAB⊥平面 PBC 也不成立;BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立. 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°, 故选 D. 【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质.

8.已知直线 l,m,n,平面 α ,m? α ,n? α ,则“l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的( 条件. A.充分不必要 B.必要不充分



C.充要条件 D.既不充分也不必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义,再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进 行判断,得出结论. 【解答】解:∵l⊥α 由线面垂直的定义知:l⊥m,且 l⊥n.

又∵由线面垂直的判定定理知 l⊥m,且 l⊥n 推不出 l⊥α . ∴“l⊥α ”是“l⊥m,且 l⊥n”的充分不必要条件. 故选:A. 【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解,并能对充分、必要 条件的概念有个更深刻的理解.

9.a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合平面,现给出四个命题 ① 其中正确的命题是( A.??①② B.?③④ ② ) C.?③ D.??③② ③ ④

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】运动思想;空间位置关系与距离;简易逻辑.

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【解答】解:由 α 、β 、γ 为三个不重合的平面,a、b、c 为三条不同直线,知: ① ② ③ ④ 故选:C. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培 养. 、a 与 b 相交或 a 与 b 异面,故①错误 或 α 与 β 相交,故②错误; ,由平面与平面平行的判定定理得③正确; 或 a? α ,故④错误;

10.P 是椭圆 的切线的斜率是( A. B.

上的一点,F1、F2 分别是左右焦点,若|PF1|=3|PF2|,则过点 P 的椭圆 ) C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】分类讨论;转化法;导数的综合应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1,结合椭圆的焦半径公式,求出 P 的横坐标,求出函数 的导数,利用导数 的几何意义即可求出切线斜率. 【解答】解:在 中,a =4,b =2,c =a ﹣b =4﹣2=2,
2 2 2 2 2

则 c=

,a=2,e= =



∵|PF1|=3|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a=4, ∴4|PF2|=4,则|PF2|=1, 设 P(x0,y0) , 则由|PF2|=a﹣ex0=1, 得 2﹣ 即 x0=1, ,则设 P(x0,y0) ,

x0=1,得 x0=

若 P 为第一象限的点, 则 y= ,

则 y′=﹣



当 x=

时,切线斜率 k=f′(

)=﹣

=﹣



若 P 为第四象限的点, 则 y=﹣ ,

则 y′=



当 x=

时,切线斜率 k=f′(

)=

=



故过点 P 的椭圆的切线的斜率是 故选:D.



【点评】本题主要考查椭圆性质的应用,根据条件的定义结合焦半径公式求出 P 点的横坐标, 利用导数的几何意义是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.

11.已知 + =1(m>0,n>0) ,当 mn 取得最小值时,直线 y=﹣ 的交点的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

+2 与曲线

+

=1

【考点】根的存在性及根的个数判断;基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】由基本不等式可得 mn 的值,由分类讨论去掉绝对值可得曲线,作出两个图象可得答 案. 【解答】解:∵1= + ≥2 当且仅当 ,∴ ≤ ,mn≥8,

,即 m=2,n=4 时,mn 取得最小值 8,

故曲线方程为



当 x≥0,y≥0 时,方程化为

当 x<0,y>0 时,方程化为﹣



当 x>0,y<0 时,方程化为 当 x<0,y<0 时,无意义, 由圆锥曲线可作出方程 由图象可知,交点的个数为 2, 故选 B



和直线 y=﹣

+2 与的图象,

【点评】本题考查根的存在性及判断,涉及基本不等式和圆锥曲线的知识,属中档题.

12.已知函数 f(x)= A.e+ B.e +
2

﹣x﹣ +2e 有且只有一个零点,则 k 的值为(
2



C.e +

D.e+

【考点】函数的零点. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】令 f(x)= ﹣x﹣ +2e=0 可得 k= ﹣x +2ex;再设 g(x)=
2

﹣x +2ex,从而

2

求导得 g′(x)=
2

﹣2(x﹣e) ;利用导数判断单调性求出极值,运用函数 g(x)=



x +2ex 与直线 y=k 的图象的交点判断即可.

【解答】解:函数 f(x)= 令 f(x)= 设 g(x)=

﹣x﹣ +2e 的定义域为(0,+∞) , ﹣x +2ex;
2

﹣x﹣ +2e=0 可得 k= ﹣x +2ex,
2

则 g′(x)=

﹣2(x﹣e) ;

故当 g′(x)>0 时,则 0<x<e;当 g′(x)<0 时,则 x>e;当 g′(x)=0 时,则 x=e; ∴g(x)= ﹣x +2ex 在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减;
2 2

故 x=e 时 g(x)最大值为 g(e)=e + , ∵函数 f(x)=)= ﹣x﹣ +2e 有且只有一个零点,

∴函数 y=k 与 g(x)只有一个交点, 故结合图象可知,k=e + , 故选 B.
2

【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值,极值中的应用,函数零点转化为函数交点 问题求解,属于中档题.

二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值 为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;压轴题;数形结合;转化思想. 【分析】根据题意知 AD∥BC,∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角,解三角形即可求得结 果. 【解答】解:连接 DE,设 AD=2 易知 AD∥BC, ∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角,

在△RtADE 中,由于 DE= ∴cos∠DAE= 故答案为: . = ,

,AD=2,可得 AE=3

【点评】此题是个基础题.考查异面直线所成角问题,求解方法一般是平移法,转化为平面 角问题来解决,体现了数形结合和转化的思想.

14. 设双曲线 C 经过点 (1, 3) , 且与

﹣x =1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为

2



【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知设双曲线 C 的方程为 线 C 的方程. 【解答】解: ∵双曲线 C 经过点(1,3) ,且与 ﹣x =1 具有相同渐近线,
2

﹣x =λ , (λ ≠0) ,由此利用待定系数法能求出双曲

2

∴设双曲线 C 的方程为 把点(1,3)代入,得:

﹣x =λ , (λ ≠0) , ,解得 λ =2,

2

∴双曲线 C 的方程为:



故答案为:



【点评】本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意待定系数法的合 理运用.

1 5.圆锥的轴截面是正三角,则它的侧面展开扇形圆心角为 π 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】对应思想;数形结合法;空间位置关系与距离.

弧度.

【分析】画出圆锥的侧面展开图,根据展开图与圆锥的对应东西解出. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,母线为 l,则 l=2r,于是侧面展开图的扇形半径为 l, 弧长为 2π r, ∴圆心角 α = 故答案为:π . 【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图,是一道基础题. =π .

16.抛物线 y =4x,直线 l 过焦点 F,与其交于 A,B 两点,且 点)面积为 .

2

,则△AOB(O 为坐标原

【考点】圆锥曲线与平面向量;直线与圆锥曲线的关系;圆锥曲线的最值问题. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出抛物线的焦点,设直线 l 为 x=my+1,代入抛物线方程,运用韦达定理和向量的 坐标表示,解得 m,再由三角形的面积公式,计算即可得到. 【解答】解:抛物线 y =4x 的焦点为(1,0) , 设直线 l 为 x=my+1,代入抛物线方程可得, y ﹣4my﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y1+y2=4m,y1y2=﹣4, 由 =4 ,可得 y1=﹣3y2,
2 2 2

由代入法,可得 m = , 又△AOB 的面积为 S= |OF|?|y1﹣y2|= 故答案为: = = .

【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用,主要考查韦达定理和向量的共线的 坐标表示,考查运算能力,属于中档题.

三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.设定函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0) ,且方程 f′(x)﹣9x=0 的两个根分别为 1,4. (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】先对函数 f(x)进行求导,然后代入 f′(x)﹣9x=0 中,再由方程有两根 1、4 可 得两等式; (1)将 a 的值代入即可求出 b,c 的值,再由 f(0)= 0 可求 d 的值,进而确定函数解析式. (2)f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点即函数 f(x)是单调函数,且可判断是单调增函数, 再由导函数大于等于 0 在 R 上恒成立可解. 【解答】解:由得 f′(x)=ax +2bx+c 因为 f′(x)﹣9x=ax +2bx+c﹣9x=0 的两个根分别为 1,4,所以
2 2 3 2

(*)

(Ⅰ)当 a=3 时,又由(*)式得 解得 b=﹣3,c=12 又因为曲线 y=f(x)过原点,所以 d=0, 故 f(x)=x ﹣3x +12x.
3 2

(Ⅱ) 由于 a>0, 所以“
2

在 (﹣∞, +∞) 内无极值点”等价于“f′

(x)=ax +2bx+c≥0 在(﹣∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得 2b=9﹣5a,c=4a. 又△=(2b) ﹣4ac=9(a﹣1) (a﹣9) 解 即 a 的取值范围 得 a∈
2

【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系.属基础题.

18.已知正方形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,且 (1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求点 E 到平面 PAC 的距离.

,E 是 AB 中点.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)证明 BC⊥AE.PB⊥AE,即可证明 AE⊥平面 PBC. (2) 利用点 E 到平面 PAC 的距离为点 B 到平面 PAC 的距离的 . 连接 BD, 交 AC 于点 O, 则 AC⊥BO, 求解 BO 即可. 【解答】解: (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD∴PA⊥BC. 又∵正方形 ABCD,∴AB⊥BC.∵PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB∵AE? 平面 PAB,∴BC⊥AE. 又∵PA=AB,E 是 AB 中点,∴PB⊥AE.∵PB∩BC=B,∴AE⊥平面 PBC. (2)∵E 是 AB 中点, ∴点 E 到平面 PAC 的距离为点 B 到平面 PAC 的距离的 . 连接 BD,交 AC 于点 O,则 AC⊥BO, 又∵PA⊥平面 ABCD,BO? 平面 ABCD,∴PA⊥BO. ∵AC∩PA=A,∴BO⊥平面 PAC. ∴BO 为点 B 到平面 PAC 的距离. ∵ ∴ ,∴BO=1. .

【点评】本题考查空间点线面距离的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想 象能力以及距离投篮能力.

19.已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,其中左焦点(﹣2,0) .

(2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,求线段 AB 的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)路椭圆的离心率以及焦点坐标,求出 a,b,即可求解椭圆的标准方程. (2)设出 A,B 坐标,联立方程组,利用韦达定理以及表达式,求解弦长,通过二次函数的 性质求解最值. 【解答】解: (1)椭圆 C: 的离心率为 ,其中左焦点(﹣2,0) .

可得:

;解得 b=2,

椭圆的方程为:



(2)设 A(x1y1) ,B(x2y2) ,



∴ ∴ ∴当 .



【点评】本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力.

20.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,P 是 AD1 中点,Q 是 BD 中点,E 是 DD1 中点. (1)求证:PQ∥ 平面 D1DCC1; (2)求异面直线 CE 和 DP 所成角的余弦值.

【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)连接 AC,CD1,推导出 PQ∥CD1,由此能证明 PQ∥平面 D1DCC1. (2)取 A1D1 中点 F,连接 FP,FE,FC,推导出四边形 FPDE 是平行四边形,从而∠FEC 或其补 角中的锐角或直角为异面直线 CE 和 DP 所成角,由此能求出异面直线 CE 和 DP 所成角的余弦 值. 【解答】证明: (1)连接 AC,CD1, ∵底面 ABCD 为正方形,Q 是 BD 中点, ∴Q 是 AC 中点,又 P 是 AD1 中点,∴PQ∥CD1, ∵CD1? 平面 D1DCC1,PQ?平面 D1DCC1, ∴PQ∥平面 D1DCC1. 解: (2)取 A1D1 中点 F,连接 FP,FE,FC, 设正方体棱长为 a.

∴FP

,∴

,∴



故四边形 FPDE 是平行四边形,∴FE∥DP ∴∠FEC 或其补角中的锐角或直角为异面直线 CE 和 DP 所成角. 在 .

∴异面直线 CE 和 DP 所成角的余弦值为



【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意空间思维能力的培养.

21.已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0) ,过 点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,当|FD|=2 时,∠AFD=60°. (1)求证:FD 垂直平分 AQ,并求出抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P,AB 交 y 轴于点(0,m) ,若∠APB 为锐角,求 m 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设 A(x1,y1) ,求出切线 AD 的方程,推出|PQ|,通过|FD|=2 时,∠AFD=60°求 出 p=2,抛物线方程.

2

(2)设 B(x2,y2) (x2<0)则 B 处的切线方 程为 P 的坐标;

,联立直线椭圆方程组,求出

法一:利用∠APB 为锐角,数量积大于 0,直线 AB 过(0,m) ,推出 m 的取值范围. 法二:令 y=kx+m,联立 借助韦达定理,数量积的关系,推出

【解答】解: (1)设 A(x1,y1) ,则切线 AD 的方程为:y=



所以 D(

) ,Q(0,﹣y1) ;|PQ|=





所以|FQ|=|FA|, 且 D 为 AQ 中点,所以 DF⊥AQ, ∵|DF|=2,∠AFD=60°, ∴ 抛物线方程为 x =4y
2

,得 p=2,

(2)设 B(x2,y2) (x2<0)则 B 处的切线方程为





法一:



∵∠APB 为锐角,∴

直线 AB:

将(0,m)代入的

,∴m 的取值范围为(1,+∞) .
2

法二:令 y=kx+m,由

得 x ﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k,x1x2=﹣4m

∴ ∴ 2k) (x1+x2)+4k +4m =4(m﹣1)k +4m ﹣4m>0 对任意 k 恒成立. ∴ 【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法,直线与抛物线的位置关系的综合应用,斜率的 数量积的应用,考查转化思想与分析问题解决问题的能力.
2 2 2 2

+(2km﹣

22.已知函数 f(x)= x ﹣lnx+x+1,g(x)=ae + +ax﹣2a﹣1,其中 a∈R. (Ⅰ)若 a=2,求 f(x)的极值点; (Ⅱ)试讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若 a>0,? x∈(0,+∞) ,恒有 g(x)≥f′(x) (f′(x)为 f(x)的导函数) ,求 a 的最小值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导 f′(x)=ax﹣ +1,x∈(0,+∞) ,从而令导数为 0 求极值点;

2

x

(Ⅱ)求导 f′(x)=ax﹣ +1= 数的单调性; (Ⅲ)令 h(x)=g(x)﹣f′(x)=ae +
x

,讨论 a 的取值以确定导数的正负,从而确定函

﹣2(a+1) ,x>0,从而求导 h′(x)=ae ﹣

x

=

,再令 p(x)=ae ?x ﹣(a+1) ,再求导 p′(x)=ae ?x(x+2)
x0

x

2

x

>0,从而由导数的正负确定函数的单调性,从而求得 hmin(x)=h(x0)=ae +

﹣2(a+1) ,

从而化恒成立问题为最值问题,再转化为

+

﹣2(a+1)≥0,从而可得 0<

≤e,从

而求解.

【解答】解: (Ⅰ)∵f′(x)=ax﹣ +1,x∈(0,+∞) ,

∴a=2 时,f′(x)=2x﹣ +1= ∴解得 x= ,x=﹣1(舍) ; 即 f(x)的极值点为 x0= .

=

=0,

(Ⅱ) f′(x)=ax﹣ +1=



(1)a=0 时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; a≠0 时,对二次方程 ax +x﹣1=0,△=1+4a, (2)若 1+4a≤0,即 a≤﹣ 时, ax +x﹣1<0,而 x>0,故 f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)若 1+4a>0,即 a>﹣ 时,ax +x﹣1=0 的根为 x1= ①若﹣ <a<0,则 ∴当 x∈( 函数; 当 x∈(0, (x)是减函数. ②若 a>0, ∴当 x∈(0, 当 x∈( <0<
2 2 2 2

,x2=



> ,

>0, )时,ax +x﹣1>0,即 f′(x)>0,得 f(x)是增
2

) , (

,+∞)时,ax +x﹣1<0,即 f′(x)<0,得 f

2



)时,ax +x﹣1<0,即 f′ (x)<0,得 f(x)是减函数; ,+∞)时,ax +x﹣1>0,即 f′(x)>0 得 f(x)是增函数.
2

∴综上所述,a=0 时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; 当 a≤﹣ 时,f(x)在(0,+∞)上是减函数;

当﹣ <a<0 时, f (x) 在 ( ( ,+∞)上是减函数;



) 上是增函数, 在 (0,

) ,

当 a>0 时,f(x)在(

,+∞)上是增函数,在(0,

)上是减函数.

(Ⅲ)令 h(x)=g(x)﹣f′(x)=ae +

x

﹣2(a+1) ,x>0,

于是 h′(x)=ae ﹣
x 2

x

=
x



令 p(x)=ae ?x ﹣(a+1) ,则 p′(x)=ae ?x(x+2)>0, 即 p(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵p(x)=﹣(a+1)<0,而当 x→+∞时,p(x)→+∞, ∴? x0∈(0,+∞) ,使得 p(x0)=0. ∴当 x∈ (0,x0)时,p(x)<0,即 h′(x)<0,此时,h(x)单调递减; 当 x∈(x0,+∞)时,p(x)>0,即 h′(x)>0,此时,h(x)单调递增, ∴hmin(x)=h(x0)=ae +
x0 x0

﹣2(a+1) ,①
x0

由 p(x0)=0 可得 ae ?

﹣(a+1)=0,整理得 ae =

,②

代入①中,得 h(x0)=

+

﹣2(a+1) ,

由? x∈(0,+∞) ,恒有 g(x)≥f′(x) , 转化为 + ﹣2(a+1)≥0,③

因为 a>0,③式可化为

+

﹣2≥0,整理得

﹣x0﹣1≤0,

解得﹣ ≤x0≤1; 再由 x0>0,于是 0<x0≤1; 由②可得 e ? 令 m(x0)=e ?
x0 x0

=

; ,则根据 p(x)的单调性易得 m(x0)在(0,1]是增函数,

∴m(0)<m(x0)≤m(1) , 即 0< 解得 a≥ ≤e, ,即 a 的最小值为 .

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用,同时考查了分类讨论的思想应用, 属于难题.



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