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2006年全国高中数学联赛试题(天津初赛)(有答案)



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天津市武清区大良中学

杨凤国

二 OO 六年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
(9 月 17 日上午 9:00~11:00)

一、选择题(本题共 5 个小题,每小题 6 分满分 30 分)
(1)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ?

[?1,??) 时, f ( x) ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) (A)? 2 ? a ? 1 (B)? 2 ? a ? 1 (C)? 3 ? a ? ?2 (D)? 3 ? a ? 1 ) (D)不确定

x x (2)已知 b ? a ? 1 , t ? 0 ,若 a ? a ? t ,则 b 与 b ? t 的大小关系是(

(A) b ? b ? t
x

(B) b ? b ? t
x

(C) b ? b ? t
x

(3)已知一条直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的两支分别相交于 P 、 Q 两点, O 为 a2 b2


原点,当 OP ? OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于(

(A)

ab b2 ? a2

(B)

ab 2 b ? a2

(C)

b2 ? a2 ab

(D)

b2 ? a2 ab

(4)已知 P 为四面体 S ? ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到 底面 ABC 的距离, 那么在侧面 SBC 内, 动点 P 的轨迹是某曲线的一部分, 则该曲线一定是 ( ) (A)圆或椭圆 (B)椭圆或双曲线 (C)双曲线或抛物线 (D)抛物线或椭圆

} (5)已知集合 B 是集合 {1,2,?,100 的子集,且对任意 x ? B ,都有 2 x ? B ,则集合 B 中的元
素最多有( ) (A)67 个 (B)68 个 (C)69 个 (D)70 个

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
(6)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B ,若椭圆上存在点 Q ,使 a2 b2


?AQB ? 120? ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是

(7)在 Rt?ABC 中, c , r , S 分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则
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cr 的取值范围 S

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(8)已知集合 A ? B ? C ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 },且 A ? B ? {a1 , a2 } ,则集合 A 、 B 、 C 所有 可能的情况有 种.

(9)已知 A(2 cos? , 3 sin ? ) , B(2 cos ? , 3 sin ? ) , C (?1,0) 是平面上三个不同的点,且满 足关系式 CA ? ? BC ,则实数 ? 的取值范围是 .

(10)在一个棱长为 5 的正方体封闭的盒内,有一个半径等于 1 的小球,若小球在盒内任意地运 动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 . (11)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d ,d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成等差数列,b, c, d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 .

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分,解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程)
(12)已知数列 {an } 满足 a1 ? p , a2 ? p ? 1 , an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 ,其中 p 是给定的实 数, n 是正整数,试求 n 的值,使得 an 的值最小.

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2

杨凤国

( 13 ) 已 知 ? 、 ? 是 关 于 x 的 二 次 方 程 2 x ? tx ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 且 ? ? ? , 若 函 数

f ( x) ?

4x ? t . x2 ?1

(Ⅰ)求

f (? ) ? f ( ? ) 的值; ???

(Ⅱ)对任意的正数 x1 、 x2 ,求证: | f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . x1 ? x2 x1 ? x2

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(14)将 1 , 2 ,…,16 这 16 个数未填入如图所示的正方形中的小方格内,每个小方格内填一个 数,使每一行,每一列的各数之和各不相等且均能被正整数 n ( n ? 1 )整除. (Ⅰ)求 n 的所有可能的值; (Ⅱ)给出一种符合题意的具体填法(此填法适用于 n 的所有可能值) .

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杨凤国

二 00 四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛) 试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 5 个小题,每小题 6 分满分 30 分)
(1)D (2)A (3)A (4)D (5)A

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
(6)

6 ? e ? 1 (7)[2 2 ? 2,1) 3

(8)500 (9)

1 31? ? ? ? 3 (10) 44 ? 3 3

(11)194

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分)
(12) 【解】令 bn ? an?1 ? an , n ? 1,2,? 由题设 an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 ,有 bn?1 ? bn ? n ? 20 ,且 b1 ? 1 …………5 分 于是

? (b
i ?1

n ?1

i ?1 ? bi ) ? ? (i ? 20) ,即 bn ? b1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 2n(n ? 1) . i ?1

n ?1

∴ bn ?

(n ? 1)( n ? 40) ?1. 2

(※)

…………………………………10 分

又 a1 ? p , a2 ? p ? 1 ,则 a3 ? 2a2 ? a1 ? 1 ? 20 ? p ? 17 ? a1 ? a2 . ∴当 an 的值最小时,应有 n ? 3 , an ? an ?1 ,且 an ? an ?1 . 即 bn ? an?1 ? an ? 0 , bn?1 ? an ? an?1 ? 0 . 由(※)式,得 ? ……………………………………… 15 分

? (n ? 1)(n ? 40) ? 2 ?(n ? 2)(n ? 41) ? ?2 ?n ? 40 , ?n ? 40
…………………………………………… 20 分

* 由于 n ? 3 ,且 n ? N ,解得 ?

∴当 n ? 40 时, a 40 的值最小.

(13) 【解】 (Ⅰ)由书籍,根据韦达容不得有 ? ? ? ?

t , ? ? ? ? ?1 2

f (? ) ?

4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 ? ? ? ?2 ? , ? ? 2 ?1 ? 2 ? ??

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f (? ) ?

4 ? ? t 4 ? ? 2(? ? ? ) 2 ? ? ? ?2? , ? ? 2 ?1 ? 2 ? ??
………………………………………5 分



f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ? ? 2? ? ?2 ??? ???

4x ? t ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) (Ⅱ)已知函数 f ( x ) ? 2 ,∴ f ?( x) ? x ?1 ( x 2 ? 1) 2
而且对 x ? [? , ? ] , 2 x 2 ? tx ? 2 ? 2( x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,于是 f ?( x) ? 0 , ∴函数 f ( x ) ?

4x ? t 在 [? , ? ] 上是增函数 x2 ?1

……………………………………………10 分

注意到对于任意的正数 x1 、 x2

x1? ? x2 ? x (? ? ? ) x ? ? x2 ? x (? ? ? ) ?? ? 2 ? 0, 1 ?? ? 1 ?0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
即? ?

x1? ? x2 ? x ? ? x2? ? ? ,同理 ? ? 1 ??. x1 ? x2 x1 ? x2

………………………15 分

∴ f (? ) ? f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? ) ? f ( ? ) , f (? ) ? f ( 1 ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? ? x2? ) ? ? f (? ) . x1 ? x2
x1? ? x2 ? x ? ? x2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2

? f (? ) ? ? f (

于是 ? [ f ( ? ) ? f (? )] ? f (

∴| f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )? f( 1 ) |? f ( ? ) ? f (? ) . x1 ? x2 x1 ? x2

而 f ( ? ) ? f (? ) ? 2? ? 2? ? 2 | ? ? ? | ,

∴| f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . x1 ? x2 x1 ? x2

……………………………………20 分

(14) 【解】 (Ⅰ)设 s i , t i ( i ? 1,2,3,4 )分别是第 i 行,第 i 列各数的和,

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由题意得 si ? ai n , ti ? bi n ,其中 a i , bi ,是 8 个彼此不同的正整数, 因为 1 ? 2 ? ? ? 16 ? 136 ,所以 2 ? 136 ? 得n ? 7. 由 s i 是 n 的倍数得

? (si ? ti ) ? n? (ai ? bi ) ? n(1 ? 2 ? ? ? 8) ? 36n
i ?1 i ?1

4

4

……………………………………………10 分

?s
i ?1

4

i

是 n 的倍数,即 136 是 n 的倍数.

3 即 136 ? 2 ? 17 ,又 n ? 1 , n ? 7 ,因此 n 的可能值为 2 或 4 .

……………………15 分

(Ⅱ)符合题意的一种具体填法如图所示.

…………………………………………20 分

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