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高中文科 数学第二节



◆高考总复习?数学?(文科)◆

第一章

集合与常用逻辑用语

第二节 命题及其关系、充分条件与必 要条件

◆高考总复习?数学?(文科)◆

考 纲 要 求
1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否 命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义. 4.会用反证法证明命题.

◆高考总复习?数学?(文科)◆

课 前 自 修
知识梳理
一、命题 用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句,叫命 题.判断为真的命题是真命题,判断为假的命题是假命题.

二、四种命题的形式
原命题:若p,则q(p为命题的条件,q为命题的结论). 逆命题:若q,则p,即交换原命题的条件和结论. 否命题:若 ?p,则 ?q,即同时否定原命题的条件和结 论. 逆否命题:若 ?q,则 ?p,即交换原命题的条件,结论之 后同时否定它们.

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三、四种命题的关系

四、四种命题的真假性之间的关系 若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性. 若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假性没 有关系.

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五、用推出符号“?”概括充分、必要、充要条件 若p?q,q p,则p是q的充分不必要条件. 必要不充分 若p q,q?p,则p是q的___________________条件. 充要 若p?q,q?p,则p是q的____________________条件. 既不充分也不必要 若p q,q p,则p是q的__________________条件. 六、用反证法证明命题的一般步骤 1.假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. 2.从这个假设出发,经过正确的逻辑推理,得出矛盾. 3.由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题的结论成立. 出现矛盾的几种常见形式有: (1)与定义、定理、公理矛盾;(2)与已知条件矛盾;(3)与 假设矛盾;(4)自相矛盾.

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基础自测
1.(2012· 广东六校联考)“α为锐角”是“sin α>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

(

)

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

解析:若α为锐角,则有sin α>0,反之则不成立.所以 “α为锐角”是“sin α>0”的充分不必要条件.故选A. 答案:A

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2.(2012· 深圳市调研)已知命题p:“存在正实数a,b,使得lg(a+ b)=lg a+lg b”,命题q:“空间两条直线异面的充分必要条件 是它们不同在任何一个平面内”,则它们的真假是 ( ) A.p,q都是真命题 B.p是真命题,q是假命题 C.p,q都是假命题 D.p是假命题,q是真命题 解析:取a=b=2,则有lg(a+b)=lg a+lg b成立,故命题p 是真命题;命题q是异面直线的定义,是真命题.故选A. 答案:A 3.(2012· 佛山一中期中)下面四个条件中,使a>b成立的充分不必 要条件是 ( ) A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 解析:∵a>b+1>b,∴a>b+1是a>b的充分条件.又a>b>b- 1,∴a>b是a>b-1的必要条件.∴a>b+1是a>b的充分不必 要条件.故选A. 答案:A

◆高考总复习?数学?(文科)◆

考 点 探 究
考点一
四种命题及其真假

【例1】 (2011· 长沙市模拟)已知命题“若函数f(x)=ex- mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是 ( ) A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数, 则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞) 上是减函数”, 是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞) 上不是增函数”,是真命题

◆高考总复习?数学?(文科)◆
解析:由题意,f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即 m≤ex在(0,+∞)上恒成立,故m≤1,这说明原命题正确.反之, 若m≤1,则f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对 增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”.故选D. 答案:D 点评:由原命题写出其他三个命题时,应先将命题化为 “若p,则q”的形式,再利用其他三个命题与原命题的关系,直 接写出相应的命题. 当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时,必须保留 大前提且不作改换.另外,在判断命题的真假时,如果不易直 接判断它的真假,可以转化为判断其逆否命题的真假.

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变式探究
1.(1)(2011· 陕西卷)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是 ( D ) A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b (2)(2011· 中山市期末)有下列四个命题: ①命题“若当xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题; ④命题“若A∩B=B,则A?B”的逆否命题. ①②③ 其中是真命题的是______(填上你认为正确的命题的序号). 解析:(1)原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论;原 命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件,即得逆命题“若 |a|=|b|,则a=-b”.故选D.

◆高考总复习?数学?(文科)◆ 考点二
充分、必要、充要条件的判定
(2012· 天津市模拟)设p,q是两个命题:
6

【例2】
1 2

p: (|x|-3)>0,q:x2- 5 x+ 1 >0,则p是q的 log
6

(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

◆高考总复习?数学?(文科)◆

解析:p:0<|x|-3<1?3<|x|<4?-4<x<-3或3<x<4,

件.故选A.

1? ?1 ? ? q: ??, ?∪ ? ,?? ? ,结合数轴知p是q的充分不必要条 ? 3? ? 2 ? ?
答案:A

◆高考总复习?数学?(文科)◆

点评:在进行充分条件、必要条件的判断时,首先要明确

哪个论断是条件,哪个论断是结论,而且将条件进行适当的化
简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键.常用 的判断方法有三种:直接法、集合法、等价法.利用集合法进 行判断时,借助数轴能直观显示两个集合的关系,从而使问题 易于求解.对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件

的判断,要善于利用等价命题进行判断.

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2.(2012· 上海卷)对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2

=1的曲线是椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

(

)

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:条件是“mn>0”,结论是“方程mx2+ny2=1的曲 线是椭圆”,由方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,可以得出 mn>0,且m>0,n>0,m≠nm,而由条件“mn>0”推不出 “方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”.所以为必要不充分条 件.故选B.

答案:B

◆高考总复习?数学?(文科)◆ 考点三
充要条件的证明

【例3】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+ b3+ab-a2-b2=0. 思路点拨:利用充分条件和必要条件的定义,通过推证 条件与结论之间的推出关系来证明. 证明:必要性: ∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)

=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

◆高考总复习?数学?(文科)◆
充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又∵ab≠0,∴a≠0且b≠0.
3 2 2-ab+b2=? a - b ? ∴a ? ?+ b ? 2? 4
2

>0.

∴a+b-1=0,即a+b=1. 综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab -a2-b2=0.

◆高考总复习?数学?(文科)◆

点评:有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪 个是结论,由“条件”?“结论”是证明命题的充分性,由

“结论”?“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:
一是充分性,二是必要性.对于充要条件问题,我们不仅要会 利用定义进行证明,而且要掌握充要条件的探求.

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变式探究
3.(2011· 陕西卷)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数
根的充要条件是n=______. 解析:x=
4 ? 16 ? 4n =2± 4 ? n 2
4?n

,因为x是整数,即2±

4?n

为整数,所以

为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=

1,2,3,4验证可知n=3,4符合题意.反之,n=3,4时,可推出
一元二次方程x2-4x+n=0有整数根. 答案:3或4

◆高考总复习?数学?(文科)◆ 考点四
反证法的应用
若p2+q2=2,求证:p+q≤2.

【例4】

思路点拨:用反证法,即证明逆否命题“若p+q>2,则p2 +q2≠2”成立. 证明:假设p+q>2, ∵p+q>2,∴ ? p + q ? >4.∵p2+q2>2pq,
2

∴ 2 ? p ? q ? > ? p ? q ? >4?p2+q2>2?p2+q2≠2.
2 2

2

这与“p2+q2=2”相矛盾,假设不成立,因此原命题成

立.

◆高考总复习?数学?(文科)◆
点评: 使用反证法的基本步骤是: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过正确的逻辑推理,得出矛盾.

(3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题的结论成立.实
际上是通过证明命题“若p,则q”的逆否命题“若 ? 注意对假设的利用. q,则 ? p”

成立从而得到“若p,则q”成立的结论.在证明过程中,一定要

◆高考总复习?数学?(文科)◆
变式探究
4.证明:若a,b,c∈R+,则a+ ,b+ ,c+ 中至少有 a 一个不小于2. 证明:(用反证法)假设a+ 1 ,b+ 1 ,c+ 1 三个都小于2.
b c a 1 b 1 c 1

则a+b +b+c +c+ <6.

1

1

1 a

但∵a,b,c∈R+,
∴a+
1 1 1 ≥2,同理b+ b≥2,c+ ≥2, a c 1 1 1 1 1 1 +b+ +c+ = ? a ? ? ? b ? ? ? c ? ? ≥6,产生矛盾.故 +? +? ? ? ? ? b c a a? ? b? ? c? ? 1 ,b+ 1 ,c+ 1 b c a

∴a+ 假设不成立.

∴a,b,c∈R+时,a+

中至少有一个不小于2.

◆高考总复习?数学?(文科)◆ 易错警示
案例 充要条件判断不准致误 (2012· 蚌埠市质检)设p:x<-1或x>1,q:x )

<-2或x>1,则 ?p是 ?q的(

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

◆高考总复习?数学?(文科)◆
错解:? p:-1<x<1, ? q:-2<x<1.由-1<x<1可得- 2<x<1,而由-2<x<1得不到-1<x<1,∴? p是 ? q的必要不充 分条件.故选B.
错因分析: 此处解答有两个错误:(1)“>”的否定是“≤”,而不是 ? ? “<”,所以 p和 q求错;(2)充分与必要的推导方向弄反 了. 正解:由已知可得? p:-1≤x≤1, ? q:-2≤x≤1.由- 1≤x≤1可得-2≤x≤1,而由-2≤x≤1得不到-1≤x≤ 1,∴ p是 ? ? q的充分不必要条件.故选A. 答案:A

◆高考总复习?数学?(文科)◆ 课时升华
1.判断命题的充分、必要条件的方法: (1)定义法.判断p是q是什么条件,其本质就是判断p?q 或q?p是否成立,只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头 表示,再利用定义判断即可. (2)等价法.当所给命题的充分、必要性不易判断时,可 以对命题进行等价转化,即用其逆否命题进行判断. (3)集合法.记条件p,q对应的集合分别为A,B,若A?B, 则p是q的充分条件,更进一步,若A?B,则p是q的充分不必要 条件;若B?A,则p是q的必要条件,更进一步,若B?A,则p 是q的必要不充分条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A B且B A,则p是q的既不充分也不必要条件.

◆高考总复习?数学?(文科)◆
2.判断命题的充分、必要关系应注意四点.

一是分清题目的条件和结论.
二是能够将文字语言转化为符号语言进行推理. 三是注意运用转化与化归思想,将正面较难判断的命题转 化为它的等价命题来判断. 四是当判断多个命题之间的关系时,常用图示法,以箭头 表示推导方向,这样能使问题更直观,更易于判断. 3.反证法的理论依据是:原命题为真,它的逆否命题也为 真.在直接证明原命题成立有困难时,就可以转化为证明它的 逆否命题成立.

◆高考总复习?数学?(文科)◆
4.解答有关命题的问题可能出现的几种错误.

(1)对四种命题的结构不明确导致判断错误.
(2)“否命题”与“命题的否定”不是同一个概念,“否命 题”要对“原命题”的条件和结论同时否定,而“命题的否定” 只要否定“原命题”的结论即可.

(3)充分、必要条件的推导方向容易弄错.
(4)证明充要条件时,要注意“充分性”和“必要性”都

要证明,不能遗漏任何一方面.

◆高考总复习?数学?(文科)◆

感 悟 高 考
品味高考
1. (2012· 湖南卷)命题“若? A.若 B.若
?≠ ?≠
? = 4

,则tan ? =1”的逆否命题是 ( )

C.若tan
D.若tan

? ,则tan ? ≠1 4 ? ,则tan ? ≠1 4 ? ? ≠1,则 ? ≠ 4 ? ? ≠1,则 ? = 4

◆高考总复习?数学?(文科)◆

解析:∵“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 ? ?
? ∴“若α=
4 4

p”,

,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则

? α≠ ”.故选C.

答案:C

◆高考总复习?数学?(文科)◆
1 2.(2012· 天津卷)设x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的 2

( A.充分不必要条件 C.充要条件 x> 1 或x<-1.
2 1 ∴“x> ”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件.故选A. 2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:当x> 1 时,2x2+x-1>0成立;当2x2+x-1>0时,

答案:A

◆高考总复习?数学?(文科)◆
高考预测
1.(2012· 江门市调研)已知命题p:“sin α=sin β且cos α=cos β”,命题q:“α=β”,则命题p是命题q的 ( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若“α=β”,则有“sin α=sin β且cos α=cos β”,反 之,若“sin α=sin β且cos α=cos β”,则有“α=2kπ+ β(k∈Z)”, ∴p是q的必要不充分条件.故选A. 答案:A

◆高考总复习?数学?(文科)◆
2.(2012· 济南一中期末)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( ) A.-3<m<1 C.0<m<1 B.-4<m<2 D.m<1

|1? m | 解析:圆心(1,0)到直线x-y+m=0的距离为d= ,圆 2

的半径为R= d<R,即

2 ,直线与圆有两个不同交点的充要条件是 |1? m | < 2 ,得-3<m<1.而{m|0<m<1}?{m|- 2

3<m<1},∴0<m<1是直线与圆有两个不同交点的一个充分 不必要条件.故选C. 答案:C

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