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五年高考三年模拟数学---平面向量(2010版)


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第五章

平面向量、解三角形 平面向量 五年高考荟萃

第一节 第一部分

2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= , 则向量 a ? b ( (x,1 ) ,b= (-x, x 2) A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线 )

a ? b ? (0,1 ? x2 ) ,由 1 ? x2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确.

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态. 已知 F1 ,F2 成 60 角, 且 F1 ,F2 的大小分别为 2 和 4, 则 F3 的大小为( 6 答案 解析 D B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0

)

A.

F32 ? F12 ? F22 ? 2F1 F2 cos(1800 ? 600 ) ? 28,所以 F3 ? 2 7 ,选 D.

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模 为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能 实现. 4. (2009 浙江卷文) 已知向量 a ? (1, 2) ,b ? (2, ?3) . 若向量 c 满足 (c ? a ) / / b ,c ? (a ? b) , 则c ? A. ( , ) 答案 D 解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ?c ? ?1 ? m ,2? n ? ,a ?b ? (3, ?1 ) ( B. ( ? ) B.4 C. 5 D. 6 ( ) w

7 7 9 3

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

??

? ?

? ?

,对于 c ? a // b ,则

?

? ?

?

?

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有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ?

?

?

? ?

?

7 9

7 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考 查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 5.(2009 北京卷文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d 那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 D B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ( )

.w 解析 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 6.(2009 北京卷文)设 D 是正 ?PP 1 2P 3 及其内部的点构成的集合,点 P 0 是 ?PP 1 2P 3 的中心,若 集合 S ? {P | P ? D,| PP 0 |?| PP i |, i ? 1, 2,3} ,则集合 S 表示的平面区域是 ( A. 三角形区域 C. 五边形区域 答案 D B.四边形区域 D.六边形区域 )

解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要 考查阅读与理解、 信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生 分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图,A、B、 C、 D、 E、 F 为各边三等分点, 答案是集合 S 为六边形 ABCDEF, 其中, P 0A ? P 2 A ? PA i ? i ? 1,3? 即点 P 可以是点 A. 7. (2009 北京卷理) 已知向量 a、 b 不共线, c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d, 那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 D
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)

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

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解析 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 答案 B 解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 9.(2009 全国卷Ⅱ文)已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= A. 5 答案 C 解析 本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a ? b ? 5 2 知(a+b) =a +b +2ab=50,
2 2 2

??? ? ??? ? ?

??? ?



??? ? ??? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ?

B. 10

C.5

D.25

得|b|=5 选 C. 10.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 小值为 A. ?2 答案 解析 D B. 2 ? 2 C. ?1 D. 1 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最
( )

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? ?? b ? (a ? b)? c?c ? a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a? ? ? ? ? ?? ? 1? | a ? b |? | c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 .

?

??

?

11.(2009 湖北卷理)已知

P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ? {b | b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向量集合,则
PI Q ?
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(

)

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A. { 〔1,1〕 } 答案 A

B. { 〔-1,1〕 }

C. { 〔1,0〕 }

D. { 〔0,1〕 }

解析 因为 a ? (1, m)

?

? b ? (1? n,1? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.
( )

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10

C. 5

D. 25

答案 C 解析 ?50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a? b? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ? | b |? 5 ,故选 C. 13.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

? ?

?

??

?

?

?

( )

A. 3 答案 B

B. 2 3

C. 4

D.2

解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 14.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且

2

2

2

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且P A? P B ? P B P ? C P ? C P A ?
P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 ( )

, 则点 O, N,

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心

? PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
15.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= A.3a+b 答案 B B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b ( )

?

?

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解析

由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B )

?

? ?

16.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A. AD ? BE ? CF ? 0 B. BD ? CF ? DF ? 0

???? ??? ? ??? ?

?

A D B F C
图1

??? ? ??? ? ????

?

???? ??? ? ??? ? ? C. AD ? CE ? CF ? 0
D. BD ? BE ? FC ? 0 答案 A

??? ? ??? ? ??? ?

?

E

解析 ? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC, 得 AD ? BE ? CF ? 0 . 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 . 17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等 于 A. 3 答案 B
2 2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ??? ? ??? ?

???? ???? ??? ?

??? ? ??? ?
0

?

( B.2 3 C.4 D.12



解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 18. (2009 全国卷Ⅰ文) 设非零向量 a 、b 、c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c , 则 ? a, b ?? ( A.150° 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解 由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点 B.120° C.60° D.30° )

处的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 19.(2009 陕西卷文)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA ? 2PM , 则科网 PA ? ( PB ? PC) 等于

??? ?

???? ?
)

??? ? ??? ? ??? ?

(

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A.

4 9
A.

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

答案

解析 由 AP ? 2PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法, PB ? PC ? 2PM 则

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

???? ?

? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 2 1 4 AP ? ( PB ? PC) = 2 AP ? PM =2 AP PM cos0? ? 2 ? ? ?1 ? 3 3 9
20. (2009 宁夏海南卷文) 已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? , 向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直, 则实数 ? 的值为 A. ? 答案 ( B. A )

1 7

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

解析 向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) , a ? 2b =(-1,2) ,因为两个向量垂直,故有 (-3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ? 21.(2009 湖南卷理)对于非 0 向时 a,b,“a//b”的正确是 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 由 a ? b ? 0 ,可得 a ? ?b ,即得 a // b ,但 a // b ,不一定有 a ? ?b ,所以 “ a ? b ? 0 ”是“ a // b 的充分不必要条件。 22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足
? ? ? ?

1 ,故选.A. 7
( )

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

a 与 b 不共线, a ? c
? ?

?

?

?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于

?

?

?

?

(

)

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以 b , c 为两边的三角形面积 C. a , b 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积 答案 A 解析 假设 a 与 b 的夹角为 ? ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣ =︱ b ︱·︱ a ︱?∣cos(90 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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行四边形的面积. 23.(2009 重庆卷理)已知 a ? 1, b ? 6, a? (b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

答案 C 解析 因为由条件得 a ? b ? a2 ? 2, 所以a ? b ? 2 ? a 2 ? 3 ? a ? b cos ? ? 1? 6 ? cos ? ,

1 ? 所以 cos ? ? ,所以? ? 2 3
24.(2009 重庆卷文)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是 ( A.-2 答案 D 解法 1 因为 a ? (1,1), b ? (2, x) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2), 由于 a ? b 与 4b ? 2a 平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 解法 2 因为 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则存在常数 ? ,使 a ? b ? ? (4b ? 2a) ,即 B.0 C.1 D.2 )

(2? ? 1)a ? (4? ?1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2
25.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式
( )

为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?
答案

?
6

, ?2)
B

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 6
? / / 26. (2009 湖北卷文) 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F , F 的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于 ( C. (? )

?

? A. ( ,?2) 6
答案 D

? B. ( ,2) 6

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

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解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

26.( 2009 广 东 卷 理 ) 若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) , 则a ? TWT 答案 解析 . (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1) B

a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1)
A P C

或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) .

27.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数
o

?

?

?

?

?

?

量积 a ? b = 答案 3 解析

? ?

.

考查数量积的运算。

? ? 3 a ?b ? 2? 3 ? ?3 2

28.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. 答案 2 解析 设 ?AOC ? ?

??? ?

??? ?

o

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? ???? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? cos ? ? x ? y ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ,即 ? ? ? ???? ??? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

29.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 = + ,其中 , R ,则 + = _________.0.w.w.k.

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答案

4/3

解析 设 BC ? b 、 BA ? a 则 AF ? 代入条件得 ? ? u ?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

? ? 1 ? ??? ? ? ? 1 ? ? ??? b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2

2 4 ?? ? u ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 30.(2009 江西卷文)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 (a ? c) ? b 则
k=
答案 .

0

解析 因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0 . 31.(2009 江西卷理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则

? ?

?

?

?

? ?

?

k=
答案 解析



5

3 ? k ?6 ? ?k ?5 1 3

32. (2009 湖南卷文) 如图 2, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若 AD ? xAB ? yAC , 则 x? ,y? .

??? ?

??? ?

??? ?

图2 答案

x ? 1?

3 3 , y? . 2 2

解析

作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ?

2,

? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2 6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2

由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

33.(2009 辽宁卷文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8) ,C(8,6),则 D 点的坐标为___________.
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答案 (0,-2) 解析 平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC
???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ????

∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 34.(2009 年广东卷文)(已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

解 (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2 ? ? ? 35.(2009 江苏卷)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) ? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; ? ? (2)求 | b ? c | 的最大值; ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .
解析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的 正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

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36.( 2009 广 东 卷 理 )已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2



(1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

37.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。 解 (1) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,

?

?

?

?

?

?

?

?

于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

1 . 4

(2)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?

?

38.(2009 湖南卷理) 在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C
2

??? ? ????

??? ? ????

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的大小. 解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 6 3 3 3 6 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3 ?? 39. (2009 上海卷文) 已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) ,
? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a? 角形 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

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? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2005—2008 年高考题 一、选择题 1. (2008 全国 I) 在 △ ABC 中,AB ? c ,AC ? b . 若点 D 满足 BD ? 2DC , 则 AD ?( A.

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

答案 A 2. (2008 安徽) 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 BD ? ( A. (-2,-4) 答案 B 3.(2008 湖北)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ? ( ) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4) )

??? ?

??? ?

??? ?

A. (?15,12) 答案 C

B. 0

C. ?3

D. ?11

4.(2008 湖南)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC
A.反向平行 C.互相垂直 答案 A B.同向平行 D.既不平行也不垂直

(

)

5.(2008 广东)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? A.

??? ?

??? ?

??? ?

( D. a ?



1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

1 3

2 b 3

答案 B 6. (2008 浙江) 已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,

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则 c 的最大值是

(

)

A.1 答案 C

B.2

C. 2

D.

2 2

7. (2007 北京) 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 那么 A. AO ? OD C. AO ? 3OD 答案 A ( )

??? ? ??? ? ??? ?

????

????

B. AO ? 2OD D. 2 AO ? OD

????

????

????

????

????

????

,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 8.(2007 海南、宁夏)已知平面向量 a ? (11) ? 1) A. (?2, 1) B. (?2,

1 3 a? b?( 2 2



, 0) C. (?1
答案 D

, 2) D. (1

3) , a 在 b 上的投影为 9.(2007 湖北)设 a ? (4,
则b 为

5 2 , b 在 x 轴上的投影为 2,且 | b |≤14 , 2
( )

14) A. (2,
答案 B

B. ? 2, ?

? ?

2? ? 7?

C. ? ?2, ?

? ?

2? 7?

8) D. (2,

(a ? xb) 的图象是一条直线, 10.(2007 湖南)设 a, b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b)?
则必有 A. a ⊥ b 答案 A 11. (2007 天津) 设两个向量 a ? (? ? 2,? ? cos
2 2

( B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |



,? 其中 ?,m ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,
( )

? ?

m 2

? ?

为实数.若 a ? 2b ,则

? 的取值范围是 m
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A.[-6,1] 答案 A

B. [4, 8]

C. (-6,1] D.[-1,6]

12.(2007 山东)已知向量 a ? (1 ,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( A. 1 答案 C 13.(2006四川)如图,已知正六边形 PP 1 2P 3P 4P 5P 6 ,下列向量的数量积中最大的是( B. 2 C. 2 D.4





???? ? ???? ? PP , PP A. 1 2 1 3

???? ? ???? ? PP , PP B. 1 2 1 4 ???? ? ???? ? PP , PP D. 1 2 1 6


???? ? ???? ? PP , PP C. 1 2 1 5

答案 A 14.(2005 重庆)设向量 a=(-1,2) ,b=(2,-1) ,则(a·b) (a+b)等于 14.( A. (1,1) B. (-4,-4) C.-4 D. (-2,-2) 答案 B 二、填空题 15.(2008 陕西)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:

b = a? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ?
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

其中真命题的序号为 答案 ②

. (写出所有真命题的序号)

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 16.(2008 上海)若向量 a , b 满足 a ? 1,
答案

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b ? 3



7

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线, 17.(2008 全国 II)设向量 a ? (1
则? ? 答案 2

(2a ? b) 的值为 18.(2008 北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b?
?

答案

0

19.(2008 天津)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则

?

?

?

?

? ? ?

? | c |? _____________.
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答案

8 2

20.(2008 江苏) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 答案 7

?

?

?

?

? ?



21. (2007 安徽) 在四面体 O ? ABC 中,OA ? a, OB ? b, OC ? c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(用 a,b,c 表示) .

答案

1 1 1 a? b? c 2 4 4

4? b = ?11 , ? .若向量 b ? (a + ?b) ,则实数 ? 的值是 22.(2007 北京)已知向量 a = ? 2,,
答案 -3 23.(2007 广东)若向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1, a与b 的夹角为 120°,则 a·b ? a·b = 答案 .

1 2

24.(2005 上海)直角坐标平面 xoy 中, 若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 , 则点 P 的轨迹方程是__________. 答案 x+2y-4=0 25.(2005 江苏)在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值 是________。 答案 -2 三、解答题 26.(2007 广东)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. 解 (1)
??? ? AB ? (?3, ?4)

,

???? AC ? (c ? 3, ?4)

当c=5时,

???? AC ? (2, ?4)

???? ??? ? ?6 ? 16 1 cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而
2

2 5 5

(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0

25 解得c> 3

25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )

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第二部分

三年联考题汇编

2009 年联考题 一、选择题 1.(山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知平面向量

? ? ? ? a ? (3,1), b ? ( x, ?3), a // b, 则x 等于
A.9 答案 B.1 B C.-1

( ) D.-9

2. (2009 昆明市期末) 在△ABC 中, AR ? 2RB, CP ? 2PR, 若AP ? m AB ? n AC, 则m ? n ? ( )

2 3 8 C. 9
A. 答案 B

B

7 9

D.1

3.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知向量 a ? (m,2),b ? (2,4m),若a与b 反向,则 m= ( A.-1 答案 A B.-2 C.0 D.1 )

4.(2009 上海闸北区)已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ? , | a |? 2 ,且 (2a ? b) ? a ,则 | b |? ( A. 6 答案 C B. 7 C. 8 D. 9 )

5.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)已知 a 、 b 是不共线的

?

??? ? ? ? ??? ? ? ? () AB ? ? a ? b AC ? a ? ?b (? , ? ? R) ,则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是:
A. ? ? ? ? 1 答案 D 6.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)已知向量 B. ? ? ? ? 1 C. ?? ? ?1 D. ?? ? 1

OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC 夹角的取值范围是
( A. [0, )

?
4

]

B. [

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

答案 C

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二、填空题 7. (山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知

2a ? b ? (?1 , 3) , c ? (1 , 3) ,且 a ? c ? 3 , | b |? 4 ,则 b 与 c 的夹角为
答案



60 ?
??? ? ???? ??? ? ????

8.(2009 云南师大附中)设向量 AB ? 2, AC ? 3, AB ? AC ? 19, 则?CAB ? _________ 答案

60 ?

? ? ? ? ? ? ? ? 9.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)若向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ? a ? b ?

?

?

_________. 答案

1 2

10.(2009 上海九校联考)若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹角 等于 答案

? ?

?

?

? ?

?

? 4

11.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ① 非零向量 a 、 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 30°; ② a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x-1|的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为 y=|x|; ④若( AB ? AC ) · ( AB ? AC )=0,则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 答案 ①③④ 12.(2009 扬州大学附中 3 月月考)在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单 位向量,若直角三角形 ABC 中, AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,则实数 m= 答案 -2 或 0 。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

??

??? ? ? ?

??? ?

?

?



13.(2009 丹阳高级中学一模)已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设向量 PC ? 2PA ? PB ,则 PC 的最小值是 答案 2
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??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

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三、解答题 14.(山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知向量 m=( 3 sin

x ,1) , 4

x 2 x , cos )。 4 4 2? ? x) 的值; (1)若 m?n=1,求 cos( 3
n=( cos
(2)记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。



(I)m?n= 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4

=

3 x 1 x 1 sin ? cos ? 2 2 2 2 2
x ? 1 )? 2 6 2

= sin( ? ∵m?n=1 ∴ sin( ?

? x ? cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) 3 2 6 1 = 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 3 3 2
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0

x ? 1 )? 2 6 2

1 ? ,B ? 2 3 2? ∴0 ? A ? 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6
∴ cos B ?

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x ? 1 )? , 2 6 2 A ? 1 ∴f(A)= sin( ? ) ? 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ) 2 ? ? 15.(2009 牟定一中期中)已知: a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,
又∵f(x)=m?n= sin( ?

? ? f ( x) ? 2a ? b ? 2m ? 1 ( x , m ? R ).
(Ⅰ) 求 f ( x ) 关于 x 的表达式,并求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 x ? [0 , 解

?
2

] 时, f ( x) 的最小值为 5,求 m 的值.

(Ⅰ) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 2m ?1 ??2 分

? 3sin 2x ? cos 2x ? 2m
? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 2m .

? f ( x) 的最小正周期是 ? .
(Ⅱ) ∵ x ? [0 ,

, ]. 2 6 6 6 ? 7? ? ∴当 2 x ? ? 即 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值是 2m ? 1 . 6 6 2 ∵ 2m ? 1 ? 5 ,∴ m ? 3 .
16. (2009 玉溪一中期末) 设函数 f ( x) ? a ? b, 其中 a ? (2 cos x,1),b(cosx, 3 sin 2x, )(x ? R) (Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ? 3且x ? ??

?

] ,∴ 2 x ?

?

?[

? 7?

? ? ?? ,求 x; , ? 3 3? ?

(Ⅱ)若函数 y ? 2 sin x的图象按向量 c ? (m, n)(| m |? 图像,求实数 m,n 的值。 解 (1) f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ?

?
2

) 平移后得到函数 y ? f ( x) 的

3 sin 2 x ? cos2 x ? 1

? 2 sin[2 x ? ? sin(2 x ?

?
6

] 3 2

?
6

)??

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又 x ? [?

? ?
??

? 2x ?

?
6

? ? 5? , ] ? 2 x ? ? [? , ] 2 3 6 2 6
?
3 ?x ? ?

?

4

(2)? y ? 2 sin 2x按c ? (m, n) 平移后 为 y ? 2 sin(2 x ? 2m) ? n 而 y ? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

?m ? ?

?
12

,n ?1 ? 3 ? 2

17.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值;
2

? ?

(2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ? 解(1)? a || b
2

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

? ?

,∴

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2
(5 分)

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 2 cos x ? sin 2 x ? ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan2 x 13 ? ? 1 (2)? a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2

? ? ? 2 ? f ( x ) ? ( a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2
∴函数 f ( x)的值域为 ??

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

? ?

2 1? , ? 2 2?

(10 分)

18.(青岛市 2009 年高三教学统一质量检测)已知向量

? ? ? ? a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数 f (? ) ? a ? b .
(Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值;

C 的对边分别为 a 、 b 、c ,f ( A) ? 6 , 且 ?ABC (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中, 角 A 、B 、
的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值. ? ? 解 (Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )

? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2
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? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 4

?

? f (? ) max ? 4 2 ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 4 2
3? ? ? ? , 2A ? ? , A ? 4 4 4 4

?
2

,所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 2 4
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2

? (2 ? 3 2)2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ?

2 ? 10 ? a ? 10 2

19.(黄山市 2009 届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC 的面积 S 满足

?? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ? S ? 3 3, 且AB ? BC ? 6, AB与BC的夹角为?
(1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? ? cos? ? 3cos2 ? 的最大值 解 (1)由题意知 AB ? BC ?| AB | ? | BC |cos? ? 6 .

??? ? ??? ?

??? ?

???? ?

? ??? ? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? 1 6 | AB | | BC | sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | sin ? ? ? ? 3 tan ? ; 2 2 2 cos ? ?3 ? S ? 3 3,即3 ? 3tan? ? 3 3 , S? ?1 ? tan ? ? 3, 又 ?? ? [0, ? ]?? ? [ ? ] 4 3
(2)

? ?

f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? cos? ? 3cos2 ? ? 1 ? sin 2? ?2cos2 ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2? ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? ? ? 3? 11? ?? ? [ , ],? 2? ? ? [ ? ] 4 3 4 4 12 ? 3? ? ?当2? ? ? ,即? ? 时,f (? )最大,其最大值为3 . 4 4 4 y 20.(2009 广东江门模拟)如图 4,已知点 A(1 , 1) 和 A B 单位圆上半部分上的动点 B .
⑴若 OA ? OB ,求向量 OB ; 图 O 4
- 22 -

x

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⑵求 | OA ? OB | 的最大值. 解 依题意, B(cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? (不含 1 个或 2 个端点也对)

OA ? (1 , 1) , OB ? (cos? , sin ? ) (写出 1 个即可)---------3 分
因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ---------4 分,即 cos ? ? sin ? ? 0 解得 ? ?

3? 2 2 ,所以 OB ? (? , ). 4 2 2
(1 ? cos θ) 2 ? (1 ? sin ? ) 2

⑵ OA ? OB ? (1 ? cos? , 1 ? sin ? ) , | OA ? OB |?

? 3 ? 2(sin? ? cos? ) ------11 分
当? ?

? 3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ------12 分

?
4

时, | OA ? OB | 取得最大值, | OA ? OB | max ?

3 ? 2 2 ? 2 ?1

.

21.(山东省滨州市 2009 年模拟)已知 A 、 B 、C 分别为 △ ABC 的三边 a 、b 、c 所对的角, 向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) ,且 m ? n ? sin 2C . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求边 c 的长. 解 (Ⅰ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B)

在 △ ABC 中,由于 sin(A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

? sin 2C ? sin C,

2sinCcosC ? sin C

又 sin C ? 0 ,所以 cos C ?

1 ? ,而 0 ? C ? ? ,因此 C ? . 2 3

, 得2 sin C ? sin A ? sin B , (Ⅱ)由 sin A, sin C, sin B成等差数列
由正弦定理得 2c ? a ? b.

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cos C ? 18 ,由(Ⅰ)知 cos C ?
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1 ,所以 ab ? 36 . 2
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由余弦弦定理得 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab ,
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36,
? c ? 6.

? c 2 ? 36 ,

22.(山东临沂 2009 年模拟)如图,已知△ABC 中,|AC|=1, ∠ABC=

??? ? ??? ? 2? ,∠BAC=θ ,记 f (? ) ? AB? BC 。 3

(1) 求 f (? ) 关于θ 的表达式; (2) 求 f (? ) 的值域。

解: (1)由正弦定理,得

| BC | 1 | AB | ? ? sin ? sin 2? sin( 2? ? ? ) 3 3 2? sin( ? ? ) sin ? 2 3 2 3 ? 3 ?| BC |? ? sin ? ,| AB |? ? sin( ? ? ) 2? 2? 3 3 3 sin sin 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 4 ? 1 ? f (? ) ? AB?BC ?| AB |? | BC | cos ? sin ? ? sin( ? ? )? 3 3 3 2
2 3 1 3 1 1 ? ( cos ? ? sin ? )sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? 3 2 2 6 6 6
1 ? 1 ? ? sin(2? ? ) ? .(0 ? ? ? ) 3 6 6 3 ? ? ? 5? , (2)由 0 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? 3 6 6 6 1 ? ? ? sin(2? ? ) ? 1, 2 6
∴0 ?

1 ? 1 1 1 sin(2? ? ) ? ? ,即 f (? ) 的值域为 (0 , ] 3 6 6 6 6 .

23.(山东日照 2009 年模拟)已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,1), n ? (?1,1) ,求 m ? n 的最小值。

解 (I)由于弦定理

a c b ? ? ? 2R , sin A sin C sin B 有 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
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代入 (2a ? c) cos B ? b cos C, 得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 。 即 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) .

? A ? B ? C ? ? ,? 2sin A cos B ? sin A ? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0 1 ? cos B ? 2
3 (Ⅱ) m ? n ? ? sin A ? 1 , ? 2? )。 由 B ? ,得 A ? (0, 3 3
所以,当 A

? 0 ? B ? ? ,? B ?

?

?

2

时, m ? n 取得最小值为 0,

24.(2009 年宁波市高三“十校”联考)已知向量 a ? ? sin x, cos x ? , b ?

?

?

?

3 cos x, cos x 且

?

? ? ? b ? 0 ,函数 f ? x ? ? 2a ? b ? 1
(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (II)若 a ? b ,分别求 tan x 及 (I)解;

? ?

cos 2 x 的值。 f ? x? ?1
cosx 2? 1 x3 ? s ?i n 2 2? 2

f ? x ? ? 2 3 s ix n

cxo ?s

2 2 x c? o s?

1

1

?? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
?T ? ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ?Z

得到的单调递增区间为 ? k? ? (II)

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

k ?Z

? ? a ? b, 则 s i x n?

3 cxo s x ,c ?o ? s
2 2

0 x? tan
2

3 1

cosx 2 c oxs ? s xi n ? 1x tan ? 1 3 ? ? ? ?? 2 f ? x ? ? 1 2 3 sin x cos x ? 2 cos x 2 3 tan x ? 2 2 3 ? 3 ? 2 4
25.(安徽省江南十校 2009 年高三高考冲刺)在 ?ABC 中,

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB ? 1, AC ? 2, BC ? [ 3, 5] ,记 AB与AC 的夹角为 ? .

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(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2sin (
2

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的最大值和最小值.

解 (1)由余弦定理知: cos ? ? 所以 0 ? cos ? ?

12 ? 22 ? a 2 5 ? a 2 ? ,又 a ? [ 3, 5] , 2 ?1? 2 4

1 ? ? (0,?) ? ? ? [ , ] 即为 ? 的取值范围; ,又 ? ? 2 3 2
2

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin (

?

? ? ) ? 3 cos 2? ? 2sin(2? ? ) ? 1 ,因为 4 3
3

?

? ? ? 2? ? ? [ , ] ? ? 2? ? , 所 以
3 2 3

3 ? ?2 s i n ?? ( 2 ? 2 3

, ) 因 1 此 f (? m )

a x

?

, 3

f (? )min ? 3 ? 1.

9 月份更新
一、选择题 1. ( 2009 滨 州 一 模 ) 已 知 直 线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交 于 A 、 B 两 点 , 且

| OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O 为原点,则实数 a 的值为
A.2 答案 C 2.(2009 聊城一模) 在 ?ABC中 ,已知向量AB ? (cos18?, cos72?), BC ? (2 cos63?,2 cos27?),则?ABC 的 面 积 等于 A. ( B. ) B.-2 C.2 或-2 D. 6 或 ? 6

2 2

2 4

C.

3 2

D. 2

答案 A 3.(2009 聊城一模)已知在平面直角坐标系

? ?? 2 ? OM ? OA ? 2, xOy中, O(0,0), A(1,?2), B(1,1),C(2,?1),动点M ( x, y) 满足条件 ? ? ?1 ? OM ? OB ? 2,



OM ? OC 的最大值为
A.-1 答案 D 二、填空题 B.0 C.3

( D.4



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1.(2009 上海普陀区)设 e1 、 e2 是平面内一组基向量,且 a ? e1 ? 2e2 、 b ? ?e1 ? e2 ,则向 量 e1 ? e2 可以表示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合,即 e1 ? e2 ? 答案

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? a?

? b.

2 1 ,? ; 3 3
?

2.(2009 上海十校联考)已知平面上直线 l 的方向向量 d ? ? 3, ?4 ? ,点 O ? 0,0 ? 和 A ? 4, ?2? 在

????? l 上的射影分别是 O1 和 A1 ,则 O1 A1 ? ________________
答案 4 3.(2009 上海九校联考)若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹角 等于 答案

? ?

?

?

? ?

?

? 4
? ?

三、解答题 1.(2009 滨州一模)已知向量 a ? (?1,cos ? x ? 3sin ? x), b ? ( f ( x),cos ? x) ,其中 ? >0, 且 a ? b ,又 f ( x ) 的图像两相邻对称轴间距为 (Ⅰ)求 ? 的值;

?

?

3 ?. 2

(Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在[- 2? , 2? ]上的单调减区间. (Ⅰ) 由题意 a ? b ? 0

? ?

? f ( x) ? c o ? s x (c ? os x?
?
?

3 ?s x in

)

1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? 2 2
1 ? ? sin(2? x ? ) 2 6 1 ; 3

由题意,函数周期为 3 ? ,又 ? >0,? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 2x ? ? sin( ? ) 2 3 6 ? 2x ? 3? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ? z 2 3 6 2 ? 3k? ?

?

2

? x ? 3k? ? 2? , k ? z

又 x ?? ?2? , 2? ? ,? f ( x ) 的减区间是 ? ?2? , ?? ? ? ?

?? ? , 2? ? . ?2 ?
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2007——2008 年联考题 一、选择题 1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在 ?OAB 中, OA =a, OB =b,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON,AM 交于点 P,则 AP = A. ( ) C.

2 1 a- b 3 3

B.-

2 1 a+ b 3 3

1 2 a- b 3 3
?

D.-

1 2 a+ b 3 3
? ?

答案 B

b ? (?1,2) , 2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知向量 a ? ( 2,3) , 若 m a? n b 与
?

?

a ? 2 b 共线,则

?

m 等于( n
B.

)

A. ?

1 ; 2

1 ; 2

C. ? 2 ;

D. 2 ;

答案 A 3.(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知向量 a ≠ e , | e |=1, 对任意 t∈R, 恒有| a -t e | ≥| a - e |,则 A. a ⊥ e

?

?

?

?

?

?

? ?

( B. e ⊥( a - e )

)

?

?

?

?

C. a ⊥( a - e )

?

?

?

D.( a + e )⊥( a - e )

?

?

?

?

答案:B 4.(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知向量 a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若 a//b, 则 x= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C

? ? ? ? ? ? a b 5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量 p ? ? ? ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 |a| |b|

? ? | p | 的取值范围是
A. [0, 2] 答案 B B. [0,1] C. (0, 2] D. [0, 2]

(

)

6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足
? ? ? ? 1? ? OP ? ?(1 ? ? ) OA? (1 ? ? ) OB ? (1 ? 2? ) OC ? (? ? R且? ? 0) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 3? ?

A.内心
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B. 垂心

C.重心
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D.AB 边的中点
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答案 C 7.(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)下列式子中(其中的 a、b、c 为平面向量) ,正 确的是 ( ) A. AB ? AC ? BC C. ? (? a) ? (?? )a(?, ? ? R) 答案 C 8.(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知单位向量 a,b 的夹角为 B.a(b·c)= (a·b)c D. 0 ? AB ? 0

? ,那么 a ? 2b ? 3
( )

A. 2 3 答案 B

B. 7

C.2 7

D. 4 3

9.(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 a ? (1, n),b ? (?1, n),若a与b 垂直, 则 a 等于 ( A.1 ) C.2 D.4

?

?

?

?

B. 2

答案 B 10.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知平面上三点 A、B、C 满足

| AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于 (
A 25 答案 C 11.(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)如图, 平面内的两条相交 直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) , 设 OP ? mOP1 ? nOP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足( A.m>0, n>0 C.m<0, n>0 答案 B 12.(湖北省荆门市 2008 届上期末)如图,在△ABC 中, B.m>0, n<0 D.m<0, n<0
??? ? ??? ? ??? ?



B 24

C.-25

D -24



??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? BD ? DC , AE ? 3ED , 若AB ? a , AC ? b , 则BE = 2 ? 1 1? 1? 1? A. a ? b B. ? a ? b 3 3 2 4 ? ? ? 1 1 1 1? C. a ? b D. ? a ? b 2 4 3 3
二、填空题





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13.(江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研) O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状是

.

答案 等腰三角形 14.( 江苏省滨海县 2008 高三第三次联考数学试卷)不共线的向量 m1 , m2 的模都为 2,若

? ? ? ? ? ? a ? 3m1 ? 2m2 , b ? 2m1 ? 3m2 ,则两向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为
答案 90°
? 15.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)已知向量 a ? (cos15? ,sin15? ) , ? ? ? b ? (? sin15? , ? cos15? ) ,则 ? a ? b ? 的值为

.

答案 1

| |=| b 2= 16.(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知 OA = a, OB = b , 且| a
则 | a + b | =____; a + b 与 b 的夹角为_____. π 6 17.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5,则 答案 2 3,

uur

uu u r

, ∠AOB=60°,

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于
答案 -25 三、解答题

.

18.(四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)设向量

1 ? a ? (1, cos2? ),b ? (2,1), c ? (4 sin ? ,1), d ? ( sin ? ,1) ,其中 ? ? (0, ) . 2 4
(1)求 a ? b ? c ? d 的取值范围; (2)若函数 f ( x) ?| x ? 1 |,比较f (a ? b)与f (c ? d ) 的大小 解 (1)∵ a ? b ? 2 ? cos 2?,c ? d ? 2sin

? ?

? ? ?

2

? ? 1 ? 2 ? cos 2? ,

∴ a ? b ? c ? d ? 2cos 2? , ∵0 ?? ? ,∴ 0 ? 2 cos 2? ? 2 , 4 2 ? ? ? ? ? ∴ a ? b ? c ? d的取值范围是(0, 2) 。 ,∴ 0 ? 2? ?

? ? ? ? ?

?

?

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(2)∵ f (a ? b) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2cos2 ? ,

? ?

? ? ? f (c ? d ) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2sin 2 ? ,
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 2cos 2? , ∵0 ?? ?

? ?

? ? ?

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 2 cos 2? ? 0 ,∴ f (a ? b) ? f (c ? d )

? ?

? ? ?

?? ? ?? ? 1 19.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)已知 m ? R , a ? (?1, x2 ? m) , b ? (m ? 1, ) , x ?? x . c ? (? m, ) x?m ?? ? ?? (Ⅰ)当 m ? ?1 时,求使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围; ?? ? ?? ? (Ⅱ)求使不等式 a ? b ? 0 成立的 x 的取值范围. ?? ? ?? 解 (Ⅰ)当 m ? ?1 时, a ? (?1, x2 ?1) , c ? (1, x ) . x ?1 ?? ? ?? x( x 2 ? 1) ? x2 ? x ? 1 . a ? c ? ?1 ? x ?1 ?? ? ?? ∵ a ? c ? x2 ? x ?1 ? 1 ,
? x 2 ? x ? 1 ? ?1, ∴ ? 解得 ?2 ? x ? ?1 或 0 ? x ? 1 . ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? 1. ?? ? ?? ∴ 当 m ? ?1 时,使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围是

? x ?2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1? .
2 2 ?? ? ?? ? (Ⅱ)∵ a ? b ? ?(m ? 1) ? x ? m ? x ? (m ? 1) x ? m ? ( x ? 1)( x ? m) ? 0 , x x x ∴ 当 m<0 时, x ? (m, 0) ? (1, ? ?) ;

当 m=0 时, x ? (1, ? ?) ; 当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, m ) ? (1, ? ?) ; 当 m=1 时, x ? (0, 1 ) ? (1, ? ?) ; 当 m>1 时, x ? (0, 1 ) ? (m, ? ?) .

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