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上海市杨浦区2014年高考三模数学文试题


2014 年杨浦区高考模拟(三模) 数学文试卷
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 设 U ? R , M ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 CU M = 2.(文科)从 8 人中选 3 人站成一排,其中甲不站在首位,有 3. 二项展开式 ( x ? ) 中的常数项为
6

种排法.

1 x

.(用数字作答)

4. (文科)课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数 分别为 4 、 12 、 8 .若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 .
2 5.(文科)已知抛物线 y = ax 过点 A( ,1) ,那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为

1 4

.

? m ? ni ? 6.(文科)已知 i 是虚数单位, m 、 n ? R ,且 m(1 ? i) ? 1 ? n i ,则 ? ? ? ? m ? ni ?

2

.

7. (文科)已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为_______.

? x 描述,那么音叉声波的频率 8. (文科)如果音叉发出的声波可以用函数 f ( x) ? 0.001sin 420
是 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9.(文科)若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 则 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?
?

.

10. (文科) 把地球看作半径为 R 的球,地球上的 A、B 两地都在北纬 45 上,A、 两地的球面距离为 东经

O1 A B O

B

?R ? ,A 在东经 20 ,则 B 点的位置 位于北纬 3

的位置.
*

11.(文科)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若点 (n, Sn ) ( n ? N )在函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数的 图像上,则 an =________.
n ? 2 12. (文科)对任意一个非零复数 z ,定义集合 Az ? ? ? ? z , n ? N ,设 ? 是方程 x ? 1 ? 0 的

?

?

一个根,若在 A? 中任取两个数,则其和为零的概率为

.
2

13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 6 ,则 x ? 0 时, 不等式 f ( x) ? x 的解集为 .

14.(文科)在△ ABC 中,

sin A 3 cos B .如果 b ? 2 ,则△ ABC 面积的最大值 ? a b



二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答案代号 必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15.(文科)某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 最长的一条侧棱长度为( (A) 2 (B) 3 ) (C) 5 (D) 6 1 1
主视图

1 1
左视图

x? 16 . 为 了 得 到 函 数 y ? s i n ( 2

? ) 的图象,只需把函数 3 ? 3

y ? si n 2 x 的图象 (
(A)向左平移

) (B)向右平移 个单位长度
俯视图

? 个单位长度 3

? (C)向左平移 个单位长度 6

? (D)向右平移 个 6

单位长度

17.等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? (A). ? 4 (B). ? 6 (C). ? 8





(D). ? 10

?1, x ? 0, ? 2 18.(文科)已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为( B ) ? ?1, x ? 0, ?
(A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

三、解答题 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 6 分. (文科)如图,弧 AEC 是半径为 r 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点,线段 ED 与弧 EC 交于点 G ,且 cos ?CBG ? 面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FC ? 2r 。 ⑴ 求异面直线 ED 与 FC 所成角的大小; ⑵ 将 ?FCG (及其内部)绕 FC 所在直线旋转一周形成一几何体,求该几 何体的体积。

4 ,平 5

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文科)如图,围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求 矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙需维修) ,其它三面围墙 要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的一扇 门,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m, 一扇门的造价为 600 元,设利用的旧墙的长度为 x m,总造 价为 y 元. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . x2 y2 (文科) 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? , 设 P 是双曲线 C 上任意一点, O 为坐标原点, 设F a b 为双曲线右焦点. (1)若双曲线 C 满足:无论点 P 在右支的何处,总有 PO ? PF ,求双曲线 C 在第一、三象限的 那条渐近线的倾斜角的取值范围; (2)过右焦点 F 的动直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点,是否存在这样的 a , b 的值,使得△ OAB 为 等边三角形.若存在,求出所有满足条件的 a , b 的值;若不存在,说明理由.

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题①满分 4 分,②满分 6 分;第 2 小题满分 6 分.
an n?1 (文科)等比数列 ....?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 , n ? N ,数列 ?an ? 满足 cn ? 2

*

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值; 若不存在,请说明理由.

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 lim Tn ; n ?? an ? an ?1

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文科) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 值域为 B , 如果存在函数 x ? g (t ) , 使得函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 y ? f ( x) 的一个 ? 变换. (1)判断函数 x ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R 是不是 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R ,的一个 ? 变换? 说明你的理由; (2)设 f ( x) ? log 2 x 的值域 B ? [1,3] ,已知 x ? g (t ) ?

mt 2 ? 3t ? n 是 y ? f ( x) 的一个 ? t2 ?1

变换,且函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,求实数 m, n 的值; (3) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 值域为 B , 函数 g (t ) 的定义域为 D1 , 值域为 B1 , 写出 x ? g (t ) 是 y ? f ( x) 的一个 ? 变换的充分非必要条件(不必证明).

2014 年高考数学模拟试卷 ( 文答案仅供参考 )
考生注意: 1. 答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 设 U ? R , M ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 CU M = [0,2] 294 种排法.

2.(文科)从 8 人中选 3 人站成一排,其中甲不站在首位,有
1 2 3 2 解 P 7P 7 ? 294 ; P 8 ?P 7 ? 294

3. 二项展开式 ( x ? ) 中的常数项为
6

1 x

?20

.(用数字作答)

4.(文科)课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数 分别为 4 、 12 、 8 .若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 .2
2 5.(文科)已知抛物线 y = ax 过点 A( ,1) ,那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为

1 4

.

5 4
? m ? ni ? 6.(文科)已知 i 是虚数单位, m 、 n ? R ,且 m(1 ? i) ? 1 ? n i ,则 ? ? ? ? m ? ni ?
2

?1

.

7. (文科)已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为___

12 ____. 5

? x 描述,那么音叉声波的频率是 8. (文科)如果音叉发出的声波可以用函数 f ( x) ? 0.001sin 420
210 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9.(文科)若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 则 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?

4

.

10.. (文科) 把地球看作半径为 R 的球,地球上的 A、B 两地都在北纬 45 上,

?

O1 A

?R ? A、B 两地的球面距离为 ,A 在东经 20 ,则 B 点的位置 位于北纬 3
东经

45?

B O

110?

的位置.

解 如图 47-2 所示,设 ?AOB ? ? ,则

?R
3

? ?R , 得 ? ?

?
3

, ? ?AOB 是等边三角形,在

Rt?OO1 A 中, ?O1 AO ?

?
4

, AO1 ? BO1 ?
?

2 ? R , 故 ?ABO1 是等腰直角三角形,?AO 1B ? 90 , 2
? ? ?

即就是 A、B 两地的经度差为 90 ,因此 B 位于北纬 45 ,东经 110 (或西经 70 )的位置。 11.(文科)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若点 (n, Sn ) ( n ? N )在函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数的
*

图像上,则 an =___ 2

n ?1

_____.

n ? 2 12. (文科)对任意一个非零复数 z ,定义集合 Az ? ? ? ? z , n ? N ,设 ? 是方程 x ? 1 ? 0 的

?

?

一个根,若在 A? 中任取两个数,则其和为零的概率为 P ?

2 1 ? 2 C4 3

13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 6 ,则 x ? 0 时, 不等式 f ( x) ? x 的解集为 . (?2, 0)

(2, ??)


14. (文科)在△ ABC 中,

sin A 3 cos B .如果 b ? 2 ,则△ ABC 面积的最大值 ? a b

解:因为

a b sin A 3 cos B ? , ,所以 sin B ? 3 cos B , tan B ? 3 . ? sin A sin B a b

因为 B ? (0, ?) ,所以 B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ? .因为 b ? 2 ,所以 . 所以 cos B ? 3 2ac 2

a2 ? c2 ? ac ? 4 ? 2ac .所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立).
所以 S
ABC

?

1 ac sin B ? 3 .所以△ ABC 面积最大值为 3 . 2

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答案代号 必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15.(文科)某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 最长的一条侧棱长度为( C ) (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 1 1
主视图

? 16 . 为 了 得 到 函 数 y ? sin(2 x ? ) 的 图 象 , 只 需 把 函 数 3

1

1
左视图

y ? sin 2 x 的图象 (

D )

俯视图

(A)向左平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6

(B)向右平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6
( B ) (D). ? 10

(C)向左平移

(D)向右平移

17.等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? (A). ? 4 (B). ? 6 (C). ? 8

?1, x ? 0, ? 18.(文科)已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln 2 x 的零点个数为( B ) ? ?1, x ? 0, ?
(A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

三、解答题 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 6 分. (文科)如图,弧 AEC 是半径为 r 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的 中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,线段 ED 与弧 EC 交于点 G , 且 cos ?CBG ?

4 ,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FC ? 2r 。 5

⑴ 求异面直线 ED 与 FC 所成角的大小; ⑵ 将 ?FCG (及其内部)绕 FC 所在直线旋转一周形成一几何体,求该几 何体的体积。 解:⑴ ? FC ? 平面 BED , ED ? 平面 BED ,

?ED ? FC ,????4 ? 异面直线 ED 与 FC 所成角的大小为 900 。????6 分
⑵ 连结 GC ,在 ?BGC 中,由余弦定理得:

2 2 r , ????8 分 5 2 2 2 由题设知,所得几何体为圆锥,其底面积为 ? ? CG ? ? r ,高为 FC ? 2r 。??10 分 5 1 2 4 2 ? r 3 。??12 分 该圆锥的体积为 V ? ? ? r ? 2r ? 3 5 15 CG 2 ? r 2 ? r 2 ? 2r ? r cos ?CBG ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文科)如图,围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一 个宽度为 2m 的一扇门, 已知旧墙的维修费用为 45 元 /m, 新
2

墙的造价为 180 元/m,一扇门的造价为 600 元,设利用的旧墙的长度为 x m,总造价为 y 元. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为 am, 则 y =45x+180(x-2)+180·2a+600=225x+360a+240,由已知 xa=360,得 a ?

360 , x

129600 ? 240 ( x ? 0) x 129600 ? 2 225 ? 360 2 ? 10800 (2)? x ? 0,? 225 x ? x 129600 ? y ? 225 x ? ? 240 ? 11040 . x 3602 当且仅当 225x= 时,即 x=24 等号成立. x
所以 y ? 225 x ?

???(7 分)

???(10 分) ???(12 分)

所以当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 11040 元. ???(14 分) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . x2 y2 (文科) 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? , 设 P 是双曲线 C 上任意一点, O 为坐标原点, 设F a b 为双曲线右焦点. (1)若双曲线 C 满足:无论点 P 在右支的何处,总有 PO ? PF ,求双曲线 C 在第一、三象限的 那条渐近线的倾斜角的取值范围; (2)过右焦点 F 的动直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点,是否存在这样的 a , b 的值,使得△ OAB 为 等边三角形.若存在,求出所有满足条件的 a , b 的值;若不存在,说明理由. (1) OP ?
2

c2 2 x ? b2 ? a2
2

a2 ? b2 2 x ? b 2 ( x ? ?a 或 x ? a ); a2

------2 分

2 2 ?c ? PF ? ? x ? a ? , OP ? FP ? OP ? FP ? 2x ? c , x ? [a,?? ) 恒成立,------4 分 ?a ? b 所以 c ? ?2 x ?min ? 2a , a 2 ? b 2 ? 4a 2 , 0 ? ? 3 , ------5 分 a

设所求的倾斜角为 ? ,则 0 ? tan ? ? 3 ,得 0 ? ? ?
2 2 2 2 ? xB ? yB (2)由 OA ? OB 及(1)得 x A ,所以 y A ,

?

3

.

------6 分

于是 A、B 是关于 x 轴或 y 轴或原点对称的, 若关于原点对称,则 A、O、B、F 共线,这是不可能的; 若关于 y 轴对称,则 AB∥x 轴,这也是不可能的; 若关于 x 轴对称,则 AB∥y 轴,又 A、F、B 共线,所以 A、B 都在右支上, 于是由 Rt△OAF 的各边关系,得 AB ? 2 AF ?

------8 分 ------10 分

2b 2 且 OA ? a

4b 4 c 4 ? a 2 b 2 c4 2 ? ? b ,所以 ,即 a2 a2 a2
12 分

4b 4 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? a 2b 2 ,也即 a 4 ? a 2 b 2 ? 3b 4 ? 0 ,

设 b ? m ? 0 ,则 a 2 ?

? 1 ? 13 2 m ,所以存在这样的 2
------14 分

? 2 13 ? 2 ?a ? m, (其中 m 为正常数),使△ OAB 为等边三角形. ? 2 ?b ? m ?
an n?1 (文科)等比数列 ....?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 , n ? N ,数列 ?an ? 满足 cn ? 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题①满分 4 分,②满分 6 分;第 2 小题满分 6 分.
*

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值; 若不存在,请说明理由. 解:(1)解: c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 lim Tn ; n ?? an ? an ?1

c1 ? 4c1 ? 10 计算出 c1 ? 2
cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1

? an ? 2n ? 1
(2) bn ?

-------4 分

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 3 5 ?

1 ?? n ? 1 ?? ? ?? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1
??? 10 分

lim Tn =
n ??

(3)假设否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则

1 2

? m ? 1 n , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2n ? 1 3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0, 可得 ? n m2 6 6 由分子为正,解得 1 ? , ? m ? 1? 2 2 ? 由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。

2

??? 16 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文科) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 值域为 B , 如果存在函数 x ? g (t ) , 使得函数 y ? f ( g (t ))

的值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 y ? f ( x) 的一个 ? 变换. (1)判断函数 x ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R 是不是 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R ,的一个 ? 变换? 说明你的理由;

mt 2 ? 3t ? n (2)设 f ( x) ? log 2 x 的值域 B ? [1,3] ,已知 x ? g (t ) ? 是 y ? f ( x) 的一个 ? t2 ?1
变换,且函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,求实数 m, n 的值; (3) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 值域为 B , 函数 g (t ) 的定义域为 D1 , 值域为 B1 , 写出 x ? g (t ) 是 y ? f ( x) 的一个 ? 变换的充分非必要条件(不必证明). 【解】(1)函数 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R 的值域为 R ,

x ? t 2 ? 2t ? 3 ? (t ?1)2 ? 2 ? 2 ,????2 分 y ? f ( g (t )) ? 2[(t ?1)2 ? 2] ? b ? 4 ? b ,????4 分
所以, x ? g (t ) 不是 f ( x ) 的一个 ? 变换; ????5 分

(2) f ( x) ? log2 x 的值域为 [1,3] ,由 1 ? log2 x ? 3 知 2 ? x ? 8 , 即 f ( x) ? log2 x 定义域为 [2,8] , ????6 分

因为 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个 ? 变换,且函数 f ( g (t )) 的定义域为 R , 所以, x ? g (t ) ?

mt 2 ? 3t ? n , t ? R 的值域为 [2,8] , t2 ?1

????8 分

2?

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2(t 2 ? 1) ? mt 2 ? 3t ? n ? 8(t 2 ? 1) , 2 t ?1

所以,恒有 ?

?(m ? 2)t 2 ? 3t ? (n ? 2) ? 0
2 ? (m ? 8)t ? 3t ? (n ? 8) ? 0

,且存在 t1 , t2 ? R 使两个等号分别成立,???10 分

? 3 3 ? 3 3 2?m?8 ? m ? 5? m ? 5? ? ? ? ? ? 2 或 2 ????14 分 于是 ?? 1 ? 9 ? 4( m ? 2)(n ? 2) ? 0 , 解得 ? ? 3 3 3 ?? ? 9 ? 4(m ? 8)(n ? 8) ? 0 ?n ? 5 ? ?n ? 5 ? 3 ? 2 ? ? 2 2 ? ?
(3)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,则 x ? g (t ) 是

f ( x) 的一个 ? 变换的充分非必要条件是“ D = B1 ”. ????18 分
条件的不必要性的一个例子是.

f ( x) ? x 2 , D ? R , B ? [0,??)
t 2

g (t ) ? 2t ? 1 , D1 ? R , B1 ? (?1,??)

此时 D ? B1 ,但 f ( g (t )) ? (2 ? 1) 的值域仍为 B ? [0,??) ,
t 2 即 g (t ) ? 2 ? 1 ( x ? R) 是 f ( x) ? x ( x ? R) 的一个等值域变换。(反例不唯一)


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