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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第2讲


专题三 第2讲

第2讲

数列求和及数列的综合应用

【高考考情解读】
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高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题: 1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属 中档题. 2. 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题, 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用, 属中档题.

主干知识梳理

专题三 第2讲

1.数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列 通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分 别是等差数列和等比数列.

主干知识梳理
(3)倒序相加法

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这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法, 也就是将一 个数列倒过来排列 (反序 ),当它与原数列相加时若有公式可 提, 并且剩余项的和易于求得, 则这样的数列可用倒序相加法
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求和. (4)裂项相消法 利用通项变形, 将通项分裂成两项或 n 项的差, 通过相加过程 中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于求 1 通项为 的数列的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则 anan+1 1 ? 1 1? ?1 ? =d?a -a ?. anan+1 ? n n+1?

主干知识梳理
常见的拆项公式: 1 1 1 ① = n- ; n?n+1? n+ 1 1 11 1 ② =k(n- ); n?n+k? n+ k 1 1 1 1 ③ = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 ④ =k( n+k- n). n+ n+k 2.数列应用题的模型

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(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该 模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.

主干知识梳理

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(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
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模型. (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增 加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时,我 们称该模型为生长模型. 如分期付款问题, 树木的生长与砍伐 问题等. (5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的递推关系式,我们可以用递推数列的知识 来解决问题.

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考点一 例 1
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分组转化求和法 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三

行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的 同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18

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(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项 和 Sn.
解 (1)当 a1=3 时,不合题意;
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当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3. 故 an=2· 3n-1 (n∈N*). (2)因为 bn=an+(-1)nln an =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1)
=2· 3n-1+(-1)n[ ln 2+(n-1)ln 3]

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=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,

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所以 Sn=2(1+3+?+3n-1)+[ -1+1-1+…+(-1)n] · (ln 2- ln 3)+[ -1+2-3+…+(-1)nn] ln 3.
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1-3n n 当n为偶数时,Sn=2× + ln 3 1-3 2 n n =3 + ln 3-1; 2 ?n-1 ? 1-3n ? ? 当 n 为奇数时,Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1-3 ? 2 ? n-1 n =3 - ln 3-ln 2-1. 2 ? n n n为偶数, ?3 +2ln 3-1, 综上所述,Sn=? ?3n-n-1ln 3-ln 2-1, n为奇数. 2 ?

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在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思 想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,
本 哪些项构成等比数 讲 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列, 栏 目 列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的 开 关 各项是正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论,最后

再验证是否可以合并为一个公式.

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已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an+n2- 3n-2,n=1,2,3,? (1)求证:数列{an-2n}为等比数列;
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(2)设 bn=an· cos nπ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(1)证明 ∵a1=S1=2a1+1-3×1-2, ∴a1=4, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2an+n2-3n-2-2an-1-(n-1)2+3(n-1)+2, 整理得 an=2an-1-2n+4,

∴an-2n=2[ an-1-2(n-1)] ,

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an-2n ∴ =2, an-1-2?n-1?

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∴{an-2n}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)得 a1-2×1=4-2=2,∴an-2n=2n,
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∴an=2n+2n.
当 n 为偶数时,Tn=b1+b2+?+bn =-a1+a2-a3+?+an
=- (2 + 2×1) + (22 + 2×2) - (23 + 2×3) + (24 + 2×4) + ? + (2n+2n)
=(-2+22-23+?+2n)+2[(-1)+2-3+4+…-(n-1)+n]

2 n =3(2 -1)+n

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当n为奇数时Tn=Tn-1+bn 2 n-1 =3(2 -1)+n-1-(2n+2n) 2n+1 5 =- 3 -n-3.
? 2n 1 5 ?- 3 -n-3?n为奇数? 综上,Tn=? ?2?2n-1?+n?n为偶数? ?3


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.

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考点二 例2 错位相减求和法

专题三 第2讲

(2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2,

a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式;
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an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常 2 数).令 cn=b2n,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和 Rn.

解 (1)设公差为 d,令 n=1, 则 a2=2a1+1,a1=d-1, 又 S4=4S2,即 2a1=d, 由①②得:a1=1,d=2,所以 an=2n-1(n∈N*). ① ②

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(2)由题意知,Tn=λ- , 2n-1 n

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∴当n≥2时,
? n-1? ? ? n-2 bn=Tn-Tn-1=λ- n-1-?λ- n-2 ?= n-1 . 2 ? 2 2 ?

n

n-1 本 * ∴ c = b = ( n ∈ N ). - n 1 n 2n 讲 4 栏 目 ∴R =c +c +?+c +c =0+1+ 2 +?+n-1 n 1 2 n -1 n 开 4 42 4n-1 关 n-2 n-1 1 1 2 4Rn=42+43+?+ 4n-1 + 4n

① ②

①-②得: n-1 3 1 1 1 4Rn=4+42+?+4n-1- 4n

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1 ? 1? ? ? 1 - - n 1 4 ? 1 ? 4? ? ? n-1 1? ? ? n- 1 = - n = ?1-4n-1?- n 1 4 3? 4 ? 1- 4
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3n+1? 1? ? = ?1- n ? , ? 3? 4 ?
? 3n+1? 3n+1? 4? ? ? 1? ∴Rn=9?1- n ?=9?4- n-1 ? ?. 4 4 ? ? ? ?

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专题三 第2讲

错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法.在
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应用这种方法时, 一定要抓住数列的特征, 即数列的项可以看 作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的 求和问题.

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专题三 第2讲


设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22 n 1 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
本 解 (1)由已知,得当 n≥1 时, 讲 栏 a + =[(a + -a )+(a -a - )+…+(a -a )]+a n 1 n 1 n n n 1 2 1 1 目 开 关 =3(22n-1+22n-3+?+2)+2=22(n+1)-1.

而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1.

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(2)由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1· 2+2· 23+3· 25+?+n· 22n-1.
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从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+?+n· 22n+1. ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+?+22n-1-n· 22n+1,
1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2] . 9



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考点三 裂项相消求和法

专题三 第2讲

2Sn 例 3 (2013· 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=1,n 1 2 2 =an+1- n -n- ,n∈N*. 3 3
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(1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+a < . a1 a2 n 4 1 2 (1)解 2S1=a2- -1- ,又 S1=a1=1,所以 a2=4. 3 3 1 3 2 2 (2)解 当 n≥2 时,2Sn=nan+1- n -n - n, 3 3 1 2 3 2 2Sn-1=(n-1)an- (n-1) -(n-1) - (n-1), 3 3

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专题三 第2讲

1 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1) 3 2 - , 3
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整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), an+1 an a2 a1 即 - n =1,又 2 - 1 =1, n+1
? a1 ?an? ? ? ? 故数列 n 是首项为 1 =1,公差为 ? ? ? ?

1 的等差数列,

an 所以 n =1+(n-1)×1=n,所以 an=n2, 所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*.

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专题三 第2讲

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 + + +?+ a =1+ + 2 + 2 +?+ 2 <1+ a1 a2 a3 4 3 4 n 4 n 1 1 1 + + +?+ 2×3 3×4 n?n-1?
本 ? 1 1? 讲 1 ?1 1? ?1 1? ? ? 栏 =1+ +?2-3?+?3-4?+?+?n-1-n? 4 ? ? ? ? ? ? 目 开 关 5 1 1 7 1 7

= + - = - < , 4 2 n 4 n 4

1 1 1 7 所以对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1 a2 an 4

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专题三 第2讲

数列求和的方法: (1)一般地,数列求和应从通项 入手,若无通项,就先求通项,然后通过对通项变形,转化为
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与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式, 从而选择合 适的方法求和得解.(2)已知数列前 n 项和 Sn 或者前 n 项和 Sn 与 通 项 公 式 a n 的 关 系 式 , 求 通 项 通 常 利 用 an = ? ?S1?n=1? ? .已知数列递推式求通项,主要掌握“先猜后 ? S - S ? n ≥ 2 ? ? n n-1 证法”“化归法”“累加(乘)法”等.

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专题三 第2讲

f?x? 已知 x , , 3(x≥0) 成等差数列.又数列 2 {an}(an>0)中,a1=3,此数列的前 n 项和为 Sn,对于所有大于 1 的正整数 n 都有 Sn=f(Sn-1).
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(1)求数列{an}的第 n+1 项; 1 1 (2)若 bn是 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 an+1 an Tn.

f?x? 解 (1)因为 x, 2 , 3(x≥0)成等差数列, f?x? 所以 2× 2 = x+ 3,整理,得 f(x)=( x+ 3)2. 因为 Sn=f(Sn-1)(n≥2),所以 Sn=( Sn-1+ 3)2,

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所以 Sn= Sn-1+ 3,即 Sn- Sn-1= 3, 所以{ Sn}是以 3为公差的等差数列. 因为a1=3,所以S1=a1=3,
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专题三 第2讲

所以 Sn= S1+(n-1) 3= 3+ 3n- 3= 3n. 所以 Sn=3n2(n∈N*).
所以 an+1=Sn+1-Sn=3(n+1)2-3n2=6n+3. 1 (2)因为 bn是 与 的等比中项, an+1 an 1 1 所以( bn) = ·, an+1 an
2

1

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专题三 第2讲

1 1 所以 bn= ·= an+1 an 3?2n+1?×3?2n-1? 1 ? 1 ? ? 1 =18×?2n-1-2n+1? ?, 本 ? ?
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1

Tn=b1+b2+?+bn
? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? =18??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? n ? ? 1 - =18? ?=18n+9. 2 n + 1 ? ?

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考点四 例4
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数列的实际应用

(2012· 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生

产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产, 到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底 上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万 元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).

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专题三 第2讲

(1)由第 n 年和第(n+1)年的资金变化情况得出 an 与 an+1 的递推关系; (2)由 an+1 与 an 之间的关系,可求通项公式,问题便可求解.
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解 (1)由题意得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,
3 5 a2=a1(1+50%)-d=2a1-d=4 500-2d. 3 an+1=an(1+50%)-d=2an-d.
? 3 3?3 (2)由(1)得 an=2an-1-d=2?2an-2-d?-d ? ? ?3? 3 2 =?2? an-2-2d-d=? ? ?

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? ?3? - ? ?3? - 3 ?3?2 ? ? n 1 =?2? a1-d?1+ +?2? +?+?2? n 2?. 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
?3? - 整理得an=?2?n 1(3 ? ? ??3? - ? n 1 000-d)-2d??2? -1? ?? ? ?

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?3? - =?2?n 1(3 ? ?

000-3d)+2d.

由题意,知 am=4 000,
?3? - 即?2?m 1(3 ? ?

000-3d)+2d=4 000,
000 1 000?3m-2m 1? = . 3m-2m


解得

??3? ? m ?? ? -2?×1 ??2? ? d= ?3? ? ?m-1 ?2?

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1 000?3m-2m 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时, 3m-2m


经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元.
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用数列知识解相关的实际问题, 关键是合理建立数 学模型——数列模型,弄清所构造的数列的首项是什么,项数 是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞 清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应 的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进 行合理推算,得出实际问题的结果.

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某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提 下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n(n∈N*)千元 b 时比广告费为(n-1)千元时多卖出 n千克. 2
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(1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 S; (2)试写出销售量 S 与 n 的函数关系式; (3)当 a=50,b=200 时,要使厂家获利最大,销售量 S 和广 告费 n 分别应为多少?

b 3b 解 (1)当广告费为 1 千元时,销售量 S=b+ = . 2 2 b b 7b 当广告费为 2 千元时,销售量 S=b+ + 2= . 2 2 4

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(2)设 Sn(n∈N)表示广告费为 n 千元时的销售量,

b 由题意得 S1-S0=2, b S2-S1=22, 本 ?? 讲 b 栏 Sn-Sn-1= n. 2

目 b b b b 开 关 以上 n 个等式相加得,Sn-S0=2+22+23+?+2n,

1 n+1 b[1-?2? ] b b b b 即S=Sn=b+2+22+23+?+2n= 1 1- 2 1 =b(2-2n).

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(3)当 a=50,b=200 时,设获利为 Tn,则有 1 Tn=Sa-1 000n=10 000×(2-2n)-1 000n 10 =1 000×(20- 2n -n), 10 设 bn=20- 2n -n, 10 10 5 则 bn+1-bn=20- n+1-n-1-20+ n +n= n-1, 2 2 2 当 n≤2 时,bn+1-bn>0;当 n≥3 时,bn+1-bn<0.
所以当 n=3 时,bn 取得最大值,即 Tn 取得最大值, 此时 S=375,

即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元.

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专题三 第2讲

1.数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题
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型的关键.若是等差数列或等比数列,则直接运用公式求 解,否则常用下列方法求解: ? ?S1?n=1? (1)an=? . ? ?Sn-Sn-1?n≥2? (2)递推关系形如 an+1-an=f(n),常用累加法求通项. an+1 (3)递推关系形如 a =f(n),常用累乘法求通项. n

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(4)递推关系形如“an+1=pan+q(p、 q 是常数, 且 p≠1, q≠0)” 的数列求通项,此类通项问题,常用待定系数法.可设 an+1
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+λ=p(an+λ),经过比较,求得 λ,则数列{an+λ}是一个等比 数列. (5)递推关系形如“an+1=pan+qn(q, p 为常数, 且 p≠1, q≠0)” 的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以 qn 转化为类 型(4),或同除以 pn+1 转为用迭加法求解.

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2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型: (1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题 求解.
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(2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和. (3)分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法 或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解. 提醒:运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n +1项中的前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以 代数式时注意要讨论代数式是否为零.

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专题三 第2讲

3 .数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能
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力.其中,建立数列模型是解决这类问题的核心,在试题 中主要有:一是,构造等差数列或等比数列模型,然后用 相应的通项公式与求和公式求解;二是,通过归纳得到结 论,再用数列知识求解.

押题精练

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1.在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常 数),那么称这个数列为等积数列,称 k 为这个数列的公
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积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,

28 则 a1+a2+a3+?+a12=________.

解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1, a2=2,a3=4, 因此 a1+a2+a3+?+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4) =28.

押题精练

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2.秋末冬初,流感盛行,特别是甲型 H1N1 流感.某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an},已知 a1 =1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则该医院 30
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255 . 天入院治疗甲流的人数为________
解析 由于an+2-an=1+(-1)n,

所以 a1=a3=?=a29=1, a2,a4,?,a30 构成公差为 2 的等差数列, 所以 a1+a2+?+a29+a30 15×14 =15+15×2+ ×2=255. 2

押题精练

专题三 第2讲

3.已知函数 f(x)满足 ax· f(x)=b+f(x) (ab≠0),f(1)=2 且 f(x +2)=-f(2-x)对定义域中任意 x 都成立. (1)求函数 f(x)的解析式;
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2 ? 1? ? ?2 (2)若正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn= ?3- . 4? f?an?? ? 求证:数列{an}是等差数列; an (3)若 bn= n,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 2
(1)解 由 ax· f(x)=b+f(x)(ab≠0), 得 f(x)(ax-1)=b. 若 ax-1=0,则 b=0,不合题意,故 ax-1≠0, b ∴f(x)= . ax-1

押题精练

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b 由 f(1)=2= ,得 2a-2=b. a-1 由 f(x+2)=-f(2-x)对定义域中任意 x 都成立, b b =- , 本 得 a?x+2?-1 a?2-x?-1 讲
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1 由此解得 a=2.



把②代入①,可得 b=-1, -1 2 ∴f(x)= = (x≠2). 1 2-x x-1 2

押题精练
(2)证明 2 ? 2 1? ? ?2 ∵f(an)= ,Sn= ?3- , 4? f?an?? 2-an ?

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1 1 2 ∴Sn= (an+1) ,a1= (a1+1)2,∴a1=1; 4 4
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1 当 n≥2 时,Sn-1= (an-1+1)2, 4
1 2 ∴an=Sn-Sn-1= (an-a2 n-1+2an-2an-1), 4 得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an>0,∴an-an-1-2=0,即 an-an-1=2,

∴数列{an}是等差数列.

押题精练
(3)解

专题三 第2讲

数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,通项公式

为 an=2n-1.

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2n-1 ∴bn= 2n . 2n-1 1 3 5 Tn=2+22+23+?+ 2n , 1 两边同乘以 , 2 2n-1 1 1 3 5 得2Tn=22+23+24+?+ n+1 , 2 1 1 2 2 2 2n-1 ③-④,得2Tn=2+22+23+?+2n- n+1 , 2 ③



押题精练

专题三 第2讲

?1 1 1 1 ? 2n-1 1 1 ∴ Tn=2×?2+22+23+?+2n?- n+1 - 2 2 2 ? ?

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1? 1? ?1- n? 2 ? 2n-1 1 2? =2× 1 - 2n+1 -2 1-2 3 2n+3 =2- n+1 , 2
2n+3 ∴Tn=3- 2n .


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