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2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.6对数与对数函数教师用书文


2018 版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.6 对数与对数函数教师用书 文 北师大版

1.对数的概念 如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 a =N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 logaN =b,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga =logaM-logaN; ③logaM =nlogaM (n∈R);
n b

M N

④logam M n=mlogaM(m,n∈R 且 m≠0).
(2)对数的性质

n

①aloga N= N ;②logaaN= N (a>0,且 a≠1).
(3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b>0,a,b≠1,N>0); logab 1 ②logab= ,推广 logab·logbc·logcd=logad. logba 3.对数函数的图像与性质

a>1

0<a<1

图像

(1)定义域:(0,+∞) 性质 (2)值域:R (3)过点(1,0),即 x=1 时,y=0
1

(4)当 x>1 时,y>0, 0<x<1 时,y<0 (5)是(0,+∞)上的增函数 4.反函数

(4)当 x>1 时,y<0, 0<x<1 时,y>0 (5)是(0,+∞)上的减函数

指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图像关于直线 y=x

x

对称.

【知识拓展】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab= 1 ; logba

(2)log am b n=

n log a b. m

其中 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,m,n∈R. 2.对数函数的图像与底数大小的比较 如图,作直线 y=1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数.故 0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( × (2)logax·logay=loga(x+y).( × ) )

(3)函数 y=log2x 及 y ? log 1 3x 都是对数函数.( × )
3

(4)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × 1+x (5)函数 y=ln 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ 1-x

) )

?1,-1?,函数图像只 (6)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1), ? ? ?a ?
在第一、四象限.( √ )

2

1.(2016·江西吉安一中期中)log225·log34·log59 的值为( A.6 B.8 C.15 D.30 答案 B 解析 log225·log34·log59=2log25· 2 2log23 · =8. log23 log25 )

)

2.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图像是(

答案 B 解析 由函数 f(x)=lg(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为 R.又当 x>1 时,函数是增加的,所以只有选项 B 正确. 3.已知 a=5 A.a>b>c C.a>c>b 答案 C 解析
10 log3 1 c ? ( )log3 0.3 ? 5 3 , 5
log 2 3.4

1 ,b=5log4 3.6,c=( )log3 0.3, 则( 5
B.b>a>c D.c>a>b

)

10 10 ∵log3 >log33=1 且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3

3

10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5 为增函数,? 5
x

log 2 3.4

?5

log3

10 3

? 5log4 3.6 .

即5

log 2 3.4

1 ? ( )log3 0.3 ? 5log4 3.6, 故 a>c>b. 5


4.(2016·成都模拟)函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为 3 答案 ( ,1] 4 3 解析 由 log0.5(4x-3)≥0 且 4x-3>0,得 <x≤1. 4 3 5.(教材改编)若 loga <1(a>0 且 a≠1),则实数 a 的取值范围是 4



? 3? 答案 ?0, ?∪(1,+∞) 4 ? ?
3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1, 4 3 3 ∴0<a< ;当 a>1 时,loga <logaa=1,∴a>1. 4 4

? 3? ∴实数 a 的取值范围是?0, ?∪(1,+∞). ? 4?

题型一 对数的运算 例 1 (1)已知 loga2=m,loga3=n,则 a
2 2m+n

= .

.

?1-log63? +log62·log618 (2)计算: = log64 答案 (1)12 (2)1 解析 (1)∵loga2=m,loga3=n,∴a =2,a =3, ∴a
2m+n

m

n

=(a ) ·a =2 ×3=12.

m 2

n

2

(2)原式 6 2 1-2log63+?log63? +log6 ·log6?6×3? 3 = log64 = = 1-2log63+?log63? +?1-log63??1+log63? log64 1-2log63+?log63? +1-?log63? log64
2 2 2

4



2?1-log63? log66-log63 log62 = = =1. 2log62 log62 log62

思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆: 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后利用对数运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对 数真数的积、商、幂的运算. (1)若 a=log43,则 2 +2 = (2)(2016·济南模拟)2(lg 2) +lg 4 3 答案 (1) 3 (2)1
2

a

-a

. 2? -lg 2+1=
2

2·lg 5+ ?lg

.

1 2 解析 (1)∵a=log43=log2 3= log23=log2 3, 2

? 2a ? 2? a ? 2log2

3

? 2? log2

3

? 3?2
= 3+

log2

3 3

3 4 3 = . 3 3 2-1?
2

1 1 2 (2)原式=2×( lg 2) + lg 2×lg 5+ ?lg 2 2 1 1 = lg 2(lg 2+lg 5)+1- lg 2 2 2 1 1 = lg 2+1- lg 2=1. 2 2 题型二 对数函数的图像及应用

例2

(1)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图,则下列结论 )

成立的是(

A.a>1,c>1 C.0<a<1,c>1

B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1 )

1 x (2)(2016·合肥模拟)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是( 2

5

A.(0,

2 ) 2

B.(

2 ,1) 2

C.(1, 2) 答案 (1)D (2)B

D.( 2,2)

解析 (1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数,∴0<a<1,∵图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数 y=logax 的图像向左平移不到 1 个单 位后得到的,∴0<c<1. (2)构造函数 f(x)=4 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两个函数在 1 1 1 1 2 2 (0, ]上的图像,可知 f( )<g( ),即 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范围为( ,1). 2 2 2 2 2 2
x

思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单 调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. (1)若函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是 ( )

(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设 f(x)=|ln(x+1)|,已知 f(a)=f(b)(a<b),则( A.a+b>0 C.2a+b>0 答案 (1)B (2)A B.a+b>1 D.2a+b>1

)

解析 (1)由题意 y=logax(a>0 且 a≠1)的图像过(3,1)点,可解得 a=3.选项 A 中,y=3

-x

6

1 x 3 =( ) ,显然图像错误;选项 B 中,y=x ,由幂函数图像性质可知正确;选项 C 中,y=(- 3

x)3=-x3,显然与所画图像不符;选项 D 中,y=log3(-x)的图像与 y=log3x 的图像关于 y
轴对称,显然不符,故选 B. (2)作出函数 f(x)=|ln(x+1)|的图像如图所示,

?a+b? 由 f(a)=f(b),得-ln(a+1)=ln(b+1),即 ab+a+b=0,0=ab+a+b< +a+b, 4 即(a+b)(a+b+4)>0,显然-1<a<0,b>0, ∴a+b+4>0,∴a+b>0,故选 A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 比较对数值的大小 例 3 (2015·天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2
|x-m|

2

-1(m 为实数)为偶函数,记 a= )

f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为(
A.a<b<c C.c<a<b 答案 C 解析 由 f(x)=2
|x| |x-m|

B.a<c<b D.c<b<a

-1 是偶函数可知 m=0,

所以 f(x)=2 -1. 所以 a=f ? log0.5 3?=2
log0.5 3

- 1=2log2 3- 1=2,

b=f ? log2 5?=2

log2 5

- 1=2log2 5- 1=4,

c=f(0)=2|0|-1=0,所以 c<a<b.
命题点 2 解对数不等式 2 例 4 (1)若 loga <1,则 a 的取值范围是 3 .

?3x ?1 (x≤ 0) , ? (2)(2016· 北 京 东 城 区 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?log x( x>0), 则 不 等 式 f(x)>1 的 解 集 1 ? ? 3
为 . 1 (2)(-1, ) 3

2 答案 (1)(0, )∪(1,+∞) 3

7

2 解析 (1)当 a>1 时,函数 y=logax 在定义域内为增函数,所以 loga <logaa 总成立. 3 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在定义域内是减函数, 2 2 由 loga <logaa,得 a< , 3 3 2 故 0<a< . 3 2 综上,a 的取值范围为(0, )∪(1,+∞). 3 (2)若 x≤0,则不等式 f(x)>1 可转化为 3
x+1

>1? x+1>0? x>-1,∴-1<x≤0;

1 若 x>0,则不等式 f(x)>1 可转化为 log 1 x>1? x< , 3
3

1 1 ∴0<x< .综上,不等式 f(x)>1 的解集是(-1, ). 3 3 命题点 3 和对数函数有关的复合函数 例 5 已知函数 f(x)=log4(ax +2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1, 因此 a+5=4,a=-1,这时 f(x)=log4(-x +2x+3). 由-x +2x+3>0,得-1<x<3, 函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x +2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1), 单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax +2x+3 应有最小值 1,
2 2 2 2 2

a>0, ? ? 即?3a-1 =1, ? ? a

1 解得 a= . 2

1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性;
8

②化同真数后利用图像比较; ③借用中间量(0 或 1 等)进行估值比较. (2)解决与对数函数有关的复合函数问题, 首先要确定函数的定义域, 根据“同增异减”原则 判断函数的单调性,利用函数的最值解决恒成立问题.
? ?2 ,x≤1, (1) 设函数 f(x) = ? ? ?1-log2x,x>1,
1-x

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是

(

) B.[0,2] D.[0,+∞)
2

A.[-1,2] C.[1,+∞)

(2)若 f(x)=lg(x -2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) C.[1,+∞) 答案 (1)D (2)A 解析 (1)当 x≤1 时,2
1-x

)

B.[1,2] D.[2,+∞)

≤2,解得 x≥0,

所以 0≤x≤1;当 x>1 时,1-log2x≤2, 1 解得 x≥ ,所以 x>1.综上可知 x≥0. 2 (2)令函数 g(x)=x -2ax+1+a=(x-a) +1+a-a ,对称轴为 x=a,要使函数在(-∞, 1]上递减,则有?
? ?g?1?>0, ?a≥1, ? ? ?2-a>0, 即? ?a≥1, ?
2 2 2

解得 1≤a<2,即 a∈[1,2),故选 A.

3.比较指数式、对数式的大小

考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一: (1)比较指数式和对数式的大小, 可以利 用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构 造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底 数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1. 典例 (1)(2016·全国乙卷)若 a>b>0,0<c<1,则( A.logac<logbc C.a <b
c c

)

B.logca<logcb D.c >c
0.3

a

b

(2)(2016·河南八市质检)若 a=2 ,b=logπ 3,c=log4cos 100,则( A.b>c>a B.b>a>c

)

9

C.a>b>c

D.c>a>b )

(3)若实数 a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2,则下列关系中不可能成立的是( A.a<b<c C.c<b<a B.b<a<c D.a<c<b

lg c lg c 解析 (1)对 A:logac= ,logbc= , lg a lg b 因为 0<c<1,所以 lg c<0, 而 a>b>0,所以 lg a>lg b, 但不能确定 lg a、lg b 的正负, 所以它们的大小不能确定,所以 A 错; lg a lg b 对 B:logca= ,logcb= , lg c lg c 1 而 lg a>lg b,两边同乘以一个负数 改变不等号方向,所以 B 正确; lg c 对 C:由 y=x 在第一象限内是增函数, 即可得到 a >b ,所以 C 错; 对 D:由 y=c 在 R 上为减函数, 得 c <c ,所以 D 错.故选 B. (2)因为 2 >2 =1,0=logπ 1<logπ 3<logπ π =1, log4cos 100<log41=0,所以 a>b>c,故选 C. (3)由 loga2<logb2<logc2 的大小关系, 可知 a, b, c 有如下四种可能: ①1<c<b<a; ②0<a<1<c<b; ③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1.对照选项可知 A 中关系不可能成立. 答案 (1)B (2)C (3)A
0.3 0

c

c

c

x

a

b

lg?x+1? 1.函数 y= 的定义域是( x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) 答案 C

) B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)

lg?x+1? 解析 要使 有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1 且 x≠1. x-1 2.设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则( A.b<a<c C.c<b<a
1.1 3.1

)

B.c<a<b D.a<c<b
10

答案 B 解析 ∵a=log37,∴1<a<2. ∵b=2 ,∴b>2. ∵c=0.8 ,∴0<c<1. 即 c<a<b,故选 B. 3.函数 y=2log4(1-x)的图像大致是( )
3.1 1.1

答案 C 解析 函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;又函数 y=2log4(1-x)在定 义域内是减少的,排除 D.故选 C.
?log2?5-x?,x≤1, ? 4.(2016·吉林模拟)已知函数 f(x)=? ?f?x-1?+1,x>1, ?

则 f(2 018)等于(

)

A.2 019 C.2 017 答案 A

B.2 018 D.2 016

解析 由已知 f(2 018)=f(2 017)+1 =f(2 016)+2=f(2 015)+3 =?=f(1)+2 017=log2(5-1)+2 017=2 019. 2 5. (2016·太原模拟)设 f(x)=lg( +a)是奇函数, 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案 A 2 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即 +a=1, 1-0 ∴a=-1. B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

11

∴f(x)=lg ∴-1<x<0.

x+1 x+1 ,由 f(x)<0,得 0< <1, 1-x 1-x

3 1 2 6.若函数 f(x)=loga(x + x)(a>0,a≠1)在区间( , +∞)内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调 2 2 递增区间为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 答案 A 3 1 2 解析 令 M=x + x,当 x∈( ,+∞)时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以 a>1,所以函数 y 2 2 =logaM 为增函数, 3 2 9 3 又 M=(x+ ) - ,因此 M 的单调递增区间为(- ,+∞). 4 16 4 3 3 2 又 x + x>0,所以 x>0 或 x<- , 2 2 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 7.(2016·渭南模拟)若 x∈(e 为 .
-1,

) B.(2,+∞) 1 D.( ,+∞) 2

1),a=ln x,b=2ln x,c=ln x,则 a,b,c 的大小关系

3

答案 b<a<c 解析 ∵e <x<1,∴-1<ln x<0, ∴2ln x<ln x<ln x, 即 b<a<c. 8.函数 f ( x) ? log 2 1 答案 - 4 解析
3 -1

x ? log 2 (2 x) 的最小值为



f ( x) ? log 2 x ? log 2 (2 x) = log2x·2log2(2x)=log2x(1+log2x).

1 2

设 t=log2x(t∈R),则原函数可以化为

y=t(t+1)=(t+ )2- (t∈R),
1 故该函数的最小值为- , 4 1 故 f(x)的最小值为- . 4

1 2

1 4

12

1 2 9. 已知函数 f(x)=loga(2x-a)在区间[ ,]上恒有 f(x)>0, 则实数 a 的取值范围是 2 3 1 答案 ( ,1) 3 1 2 解析 当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间[ , ]上是减函数, 2 3 4 4 所以 loga( -a)>0,即 0< -a<1, 3 3 1 4 1 解得 <a< ,故 <a<1; 3 3 3 1 2 当 a>1 时,函数 f(x)在区间[ , ]上是增函数, 2 3 所以 loga(1-a)>0,即 1-a>1, 解得 a<0,此时无解. 1 综上所述,实数 a 的取值范围是( ,1). 3



x2+1 10.(2016·南昌模拟)关于函数 f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题: |x|
①函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,函数 y=f(x)是减函数; ③函数 f(x)的最小值为 lg 2; ④在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是增函数. 其中是真命题的序号为 答案 ①③④ 解析 ∵函数 f(x)=lg .

x2+1 (x≠0,x∈R),显然 f(-x)=f(x), |x|

即函数 f(x)为偶函数,图像关于 y 轴对称,故①正确; 当 x>0 时,f(x)=lg

x2+1 x2+1 1 1 1 =lg =lg(x+ ),令 t(x)=x+ ,x>0,则 t′(x)=1- 2, |x| x x x x

可知当 x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)是减少的,当 x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)是增加 的,即在 x=1 处取得最小值为 2.由偶函数的图像关于 y 轴对称及复合函数的单调性可知② 错误,③正确,④正确,故答案为①③④. 11.已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是 1-x

x



? 1? 答案 ?0, ? 4 ? ?
a b
解析 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b
13

即 ln?

? a × b ?=0,从而 a × b =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a2+a= ? 1-a 1-b ?1-a 1-b?

? 1?2 1 -?a- ? + , ? 2? 4
又 0<a<b<1, 1 ? 1?2 1 1 ∴0<a< ,故 0<-?a- ? + < . 2 ? 2? 4 4 12.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; 3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2 解 (1)∵f(1)=2, ∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2.
?1+x>0, ? 由? ?3-x>0, ?

得 x∈(-1,3),

∴函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x) =log2[-(x-1) +4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 故函数 f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2. 2 13.(2016·厦门模拟)已知函数 f(x)=ln
2

x+1 . x-1

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)=ln 解 (1)由

x+1 m >ln 恒成立,求实数 m 的取值范围. x-1 ?x-1??7-x?

x+1 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1

∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,

f(-x)=ln
=-ln

-x+1 x-1 x+1 -1 =ln =ln( ) -x-1 x+1 x-1

x+1 =-f(x), x-1

14

∴f(x)=ln

x+1 是奇函数. x-1 x+1 m >ln 恒成立, x-1 ?x-1??7-x?

(2)由于 x∈[2,6]时,f(x)=ln ∴

x+1 m > >0, x-1 ?x-1??7-x?

∵x∈[2,6],∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上恒成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3) +16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知,x∈[2,3]时函数 g(x)单调递增,
2

x∈[3,6]时函数 g(x)是减少的,
即 x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, ∴0<m<7.

15


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