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2015届高三文科数学试题



2015 届高三文科数学试题


一选择题: (本大题共有 10 题,共 40 分,每题有且只有一个正确答案)
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一.

(1) 已知全集 U={1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8}, M ={1, 3, 5,7}, N ={5, 6, 7}, 则 Cu

( M
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N)=

(A) {5,7}
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(B) {2,4}

(C){2,4,8}

(D){1,3,5,6,7}

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? ? ? ? (2)若向量 a ? (1,1) , b =(-1,1) , c =(4,2) ,则 c =
(A). 3a ? b

?

?

(B). 3a ? b

?

?

(C). ? a ? 3b

?

?

(D). a ? 3b

?

?

(3) 函数 y ? log 2

2? x 的图像 2? x

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(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 (4)已知△ABC 中, tanA ? ?

(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称
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5 ,则 cos A ? 12
5 13

(A)

12 13

(B)

(C) ?

5 13

(D) ?

12 13

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(5) 设函数 f ( x) ? ? A

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

(?3,1) ? (3,??)

C (?1,1) ? (3,??)

(6) 已知向量 a = (2,1), a· b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= (A) 5 (B) 10 (C)5

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(D)25

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(7)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c

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(B) a ? c ? b

(C) c ? a ? b

(D) c ? b ? a

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( 8 ) 若 将 函 数 y ? tan( ?x ?

?
4

)(? ? 0) 的 图 像 向 右 平 移
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y ? tan( ?x ?
(A)

?
6

? 个单位长度后,与函数 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为
(B)

1 6

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

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6

(9).设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

(10).在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货 车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型 货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费 用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元
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2010 届高三文科数学试题答卷(2009 年 12 月 12 日)
班别 学号 姓名 成绩

一:请把选择题的答案填在下表(每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填写在答题卡上相应位置的 横线上 11. i 是虚数单位, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5i = 2?i



12. 如图是个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=______

13.设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 =

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?x ? y ? 3 ? 14. 设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? ?1 , 则 目 标 函 数 z ? 2 x ? y 的 最 小 值 为 ?2 x ? y ? 3 ?
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6

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答过程写在答题卡的相应位置。 (15) (本小题满分 10 分)
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已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn
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(16) (本小题满分 10 分)

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设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B.
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3 2 , b ? ac , 2

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6

(17) (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD 且 DB 平分

?ADC



E



PC









AD ? CD ? 1

,

DB ? 2 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

( Ⅰ ) 证 明 PA // 平面B D E

( Ⅱ ) 证 明 AC ? 平面PBD

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(18) (本小题满分 12 分) 1 设函数 f ( x) ? x 3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a ,其中常数 a>1 3
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(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

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(Ⅱ)若当 x≥0 时, f ( x ) >0 恒成立,求 a 的取值范围。
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6

2015 届高三文科数学试题参考答案
选择题 (1)C (7)B 二.填空题 11.-1+2i (2)B (8)D (3)A (4)D (9)B (10)B (5)A (6)C

【解析】由已知,

5i 5i (2 ? i) ? ? 2i ? 1 2 ? i (2 ? i)(2 ? i )

12. 3 【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱,两个底面是等腰 的三角形,且底边为 2 ,等腰三角形的高位 a ,侧棱长为 3 ,结合面积公式可以得到

V ? sh ?
(13)3 (14)7

1 ? 2 ? a ? 3 ? 3 3 ,解得 a= 3 2
解析】由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点( 2,1)

(1,2) (4,5) ,那么作一系列平行于直线 2 x ? 3 y ? 0 的平行直线,当过其中点(2,1) 时,目标函数最小。 三.解答题 15. 解: 设 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

? a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? 解得 ? ? ?d ? 2, ? d ? ?2 ? a1 ? ?4d
因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? (16)解:由

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2 3 3 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= , sinAsinC= . 4 2
cos(A ? C)+cosB=
2 sin B ? s iA n

又由 b =ac 及正弦定理得 故 sin B ?
2

2

sC in

,

3 3 , sin B ? 4 2



sin B??
所以

π 2 π 3 (舍去)于是 B= 或 B= . 3 3 2
B=

又由

b2 ? a c 知b ? a或 b ? c

π 。 3

6

17.

答案】 (1)略(2)略(3)

1 3

证明:设 AC ? BD ? H ,连结 EH,在 ?ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ?ADC , 所以 H 为 AC 的中点,又有题设,E 为 PC 的中点,故 EH // PA ,又

HE ? 平面BDE, PA ? 平面BDE ,所以 PA // 平面BDE
(2)证明:因为 PD ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC 由(1)知, BD ? AC , PD ? BD ? D, 故 AC ? 平面PBD 18 解: (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a) 由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减 函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)

6



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