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2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十一章 第1讲 两个基本计数原理 Word版含解析]


第十一章
计数原理 第1讲 两个基本计数原理

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中, 有重复数字的四位数共有________个. 解析 可用排除法,由 0,1,2,3 可组成的四位数共有 3×43=192(个),其中无
3 重复的数字的四位数共有 3A3 =18(个),故共有 192-18=174(个).

答案 174 2.(2012· 长春市三测)现有 4 名教师参加说题比赛,共有 4 道备选题目,若每位 选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一道题没有被这 4 位 选中的情况有________种. 解析 首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法为 C3 4,而后再将获得同 一道题目的 2 位老师选出,选法为 C2 4,最后将 3 道题目,分配给 3 组老师,
3 3 2 3 分配方式为 A3 ,即满足题意的情况共有 C4 C4A3=144(种).

答案 144 3.某次活动中,有 30 人排成 6 行 5 列,现要从中选出 3 人进行礼仪表演,要求 这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列, 则不同的选法种数为________(用数字 作答). 解析 其中最先选出的一个人有 30 种方法,此时不能再从这个人所在的行和 列共 9 个位置上选人, 还剩一个 5 行 4 列的队形, 故选第二个人有 20 种方法, 此时不能再从该人所在的行和列上选人,还剩一个 4 行 3 列的队形,此时第

三个人的选法有 12 种, 根据分步乘法计数原理, 总的选法种数是 30×20×12 =7 200. 答案 7 200 4.(2012· 汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、 B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种 颜色,则不同的涂法共有________种. 解析 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、 A 不同色 3 种,∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480(种). 答案 480 5.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,三个班去何工 厂可自由选择, 但甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有________种. 解析 三个班去四个工厂不同的分配方案共 43 种,甲工厂没有班级去的分配 方案共 33 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 43-33=37(种). 答案 37 6.(2011· 全国卷改编)4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人 选修课程甲的不同选法有________种. 解析 分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 C2 4种不同选 法,第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法.第三步给第 4 位同学选课程, 也有 2 种不同选法.故共有 C2 4×2×2=24(种). 答案 24 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点 涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点 涂不同颜色.则不同的涂色方法共有多少种? 解 先涂 A、D、E 三个点,共有 4×3×2=24(种)涂法,然 后再按 B、C、F 的顺序涂色,分为两类:一类是 B 与 E 或 D 同色,共有 2×(2×1+1×2)=8(种)涂法;另一类是 B 与 E 或 D 不同色, 共有 1×(1×1+1×2)=3(种)涂法.所以涂色方法共有 24×(8+3)=264(种). 8.现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每个人都 可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有

多少种不同的排法? 解 可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人,相邻的数字不分给同一个人. 星期一:可分给 5 人中的任何一人有 5 种分法; 星期二:可分给剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法; 星期三:可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法; 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法,由分步计数原理共有 5×4×4×4×4=1 280(种)不同的排法.

分层训练 B 级

创新能力提升

1.(2012· 无锡调研)将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式随机排列,设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数,则满足 N1<N2 <N3 的所有排列的个数是________(用数字作答).
1 2 解析 由已知数字 6 一定在第三行,第三行的排法种数为 A3 A5=60;剩余的 1 1 三个数字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为 A2 A2=4,由分步

计数原理满足条件的排列个数是 240. 答案 240 2.(2013· 盐城检测)数字 1,2,3,…,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下 也依次增大,当数字 4 固定在中心位置时,则所有填写空 格的方法共有________种. 解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的 每一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6、7、8 只有 3 种不同 的填法,由分步计数原理知共有 22×3=12(种)填法. 答案 12 3.(2010· 上海)从集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同时 满足以下两个条件: (1)?,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 A?B.那么,共有________ 种不同的选法.

解析

将选法分成两类.第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为含

两个或三个元素且含有单元素集合中的元素,有 C1 4×6=24(种). 第二类:其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集 合,有 C2 4×2=12(种). 综上共有 24+12=36(种). 答案 36 4.(2012· 揭阳一中检测)用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得 到 n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!行的数 阵,对第 i 行 ai1,ai2,…,ain,记 bi=-ai1+2ai2-3ai3+… +(-1)nn· ain,i=1,2,3,…,n!.例如:用 1,2,3 可得数阵如 图, 由于此数阵中每一列各数之和都是 12, 所以, b1+b2+… +b6=-12+2×12-3×12=-24.那么, 在用 1,2,3,4,5 形成 的数阵中,b1+b2+…+b120 等于________. 解析 在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,每一列的和为(1+2+3 +4 + 5)×A 4 4 = 360 ,∴ b1 + b2 + … + b120 =- 360 + 2×360 - 3×360 + 4×360 -5×360=-3×360=-1 080. 答案 -1 080 5.(2012· 扬州调研一)用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色(如图甲、乙所示).要 求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.

(1)若 n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)若为乙着色时共有 120 种不同的方法,求 n 的值. 解 完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为①,②,③,④这

四个区域着色时各自的方法数,再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种 数,因此有: (1)为①区域着色时有 6 种方法,为②区域着色时有 5 种方法,为③区域着色

时有 4 种方法,为④区域着色时有 4 种方法,∴依据分步(乘法)计数原理,不 同的着色方法为 6×5×4×4=480(种). (2)由题意知,为①区域着色时有 n 种方法,为②区域着色时有(n-1)种方法, 为③区域着色时有(n-2)种方法,为④区域着色时有(n-3)种方法,由分步计 数原理得不同的着色数为 n(n-1)(n-2)(n-3).∴n(n-1)(n-2)(n-3)=120. 而 120=5×4×3×2,∴n=5. 6.(2012· 镇江调研二)已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解 (1)显然对应是一一对应的,即 a1 找象有 4 种方法,a2 找象有 3 种方法, a3 找象有 2 种方法, a4 找象有 1 种方法, 所以不同的 f 共有 4×3×2×1=24(个). (2)0 无原象, 1,2,3 有无原象不限, 所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法. 所 以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类,A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2,另一个元素与 0 对应,有 C2 C1 4· 2=12(种)方法; 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2 C2 4· 2=6(种)方法; 第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 对应,有 C1 C1 4· 3=12(种)方法. 所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个). 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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