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排列、组合与概率归纳及例题



排列、组合与概率
一、基本知识点回顾: (一)排列、组合 1、 知识结构表: 两个基本原理 排列 组合 二项式定理

应用 2、 两个基本原理: (1) 分类计数原理 (2) 分步计数原理 3、 排列 (1) 排列、排列数定义 (2) 排列数公式: An ?
m
n

n! ? n(n ? 1) ? ? ? (

n ? m ? 1) (n ? m)!

(3) 全排列公式: An ? n! 4、 组合 (1) 组合、组合数定义 (2) 组合数公式: C n ?
m

n! n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) ? m!(n ? m)! m ? (m ? 1) ? ? ? ? ? 2 ? 1

(3) 组合数性质: ① Cn ? Cn
m 0 1 n?m

② Cn
2 n

r ?1

r r ? Cn ? Cn ?1 n

③ rC n ? n ? C n ?1
r

r ?1

④ Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2
0 1 2 n

⑤ C n ? C n ? C n ? ? ? ? ? (?1) C n ? 0 即: C n ? C n ? C n ? ?? ? C n ? C n ? ? ? ? ? 2
n 0 2 4 1 3

n ?1

5、 思想方法 (1) 解排列组合应用题的基本思路: ① 将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法; ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题,其前提是“正难则反” ; (2) 解排列组合题的基本方法: ① 优限法: 元素分析法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; ② 排异法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。

③ 分类处理: 某些问题总体不好解决时, 常常分成若干类, 再由分类计数原理得出结论; 注意:分类不重复不遗漏。 ④ 分步处理:对某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决; 在解题过程中,常常要既要分类,以要分步,其原则是先分类,再分步。 ⑤ 插空法: 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法, 即先安排好没有限制 元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥ 捆绑法: 把相邻的若干个特殊元素 “捆绑” 为一个大元素, 然后再与其余 “普通元素” 全排列, 最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦ 穷举法: 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; 这种方法常用于方法数比较少的问 题。 (二)二项式定理 历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型: 1、求二项展开式中的指定项问题:方法主要是运用二项式展开的通项公式; 2、求二项展开式中的多个系数的和:此类问题多用赋值法;要注意二项式系数与项的 系数的区别; (三)概率 1、随机事件的概率 2、等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可 能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 事件 A 的概率 P( A) ?

1 ,如果某个事件 A 包容的结果有 m 个,那么 n

m ; n

3、互斥事件的概率: (1)互斥事件:试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件; 对立事件:试验时如果两个互斥事件 A、B 必有一个发生,那么称 A、B 为对立事件; (2) 互斥事件有一个发生的概率: 设 A、 B 互斥, 把 A、 B 中有一个发生的事件记为 A+B, 则有:P(A+B)=P(A)+P(B) (3) 把一个事件 A 的对立事件记为 A ,则: P( A) ? 1 ? P( A)

4、相互独立事件的概率: (1)相互独立事件:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件; (2)相互独立事件同时发生的概率: 两个相互独立事件 A、B 同时发生的事件记作 A ? B ,则: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (3) 独立重复试验: 如果一次试验中某事件发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为: Pn (k ) ? C n p (1 ? p)
k k n?k

5、 解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型,即要弄清所求事件是属于何种事件, 然后利用相关的公式进行计算。

二、例题 (一)排列组合 1、有四位学生参加三项不同的竞赛, (1)每位学生必须参加一项竞赛,则有 种不同的参赛方法; (2)每项竞赛只许有一位学生参加,则有 种不同的参赛方法; (3)每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则有 种不同 的参赛方法; 2、从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被 5 整除的 三位数共有 个。 (用数字作答) 3、7 人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数 (1) 甲排中间 (2)甲不排两端 (3)甲、乙相邻 (4)甲在乙的左边(不一定相邻) (5)甲、乙、丙两两不相邻

4、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 ( ) (A)140 种 (B)120 种 (C)35 种 (D)34 种 5、同室四人各写一张贺卡,先集中起来,再每人从中拿一张别人送出的贺卡,则不同的分 配方式有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 6、4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方案共有( ) A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种 7、某校高二年级共有六个班,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班 安排 2 名,则不同的安排方案种数为( ) (A) A6 C 4
2 2

(B)

1 2 2 A6 C 4 2

(C) A6 A4

2

2

(D) 2 A6

2

8、某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这 两个新节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( ) (A)42 (B)30 (C)20 (D)12 9、设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的值,则所得不同直线的条数是( A.20 B.19 ) C.18 D.16

10、如图,一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色,要求相邻区域不得 使用同一颜色,现有 4 种颜色可 供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) (二)二项式定理 1、 (2 x ? x ) 4 的展开式中 x3 的系数是 (A)6 2、若 ( x ? (A)8 (B)12 (C)24 (D)48 ) ( )

3
3

x

) n 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是(
(C)10 (D)12

(B)9

3、若 (2 x ? A.4

1 n 1 1 ) 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为-5,则 n 等于( x x x
B.6
8



C.8

D.10

a? ? 4、已知 ? x ? ? 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x? ?
( ) (B) 3
2004

(A) 2 8 5、若 (1 ? 2 x)

8

(C)1 或 3

8

(D)1 或 2 8

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a 2004 x 2004 ( x ? R) ,则
。 (用数字作答)

(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a 2004 ) ?
(三)概率

1、 设袋中有 80 个红球, 20 个白球, 若从袋中任取 10 个球, 则其中恰有 6 个红球的概率为 ( A.
4 6 C80 ? C10 10 C100



B.

6 4 C80 ? C10 10 C100

C.

4 6 C80 ? C 20 10 C100

D.

6 4 C80 ? C 20 10 C100

2、甲袋中装有 3 个白球 5 个黑球,乙袋中装有 4 个白球 6 个黑球,现从甲袋中随机取出一个 球放入乙袋中, 充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋, 则甲袋中白球没有减少 的概率为( ) (A)

37 44

(B)

35 44

(C)

25 44

(D)

9 44

3、将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具) 先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上和概率是 ( ) 5 (A) 216 25 (B) 216 31 (C) 216 91 (D) 216 )

4、10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( A.

3 10

B.

1 12

C.

1 2

D.

11 12


5、某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为(

A.

81 125
81 125

B.

54 125
54 125

C.

36 125
36 125

D.

27 125
)

6、 某人射击一次击中的概率为 0.6, 经过 3 次射击, 此人恰有两次击中目标的概率为( A. B. C. D.

27 125

7、某班共有 40 名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这 对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 8、 某班有 50 名学生, 其中 15 人选修 A 课程, 另外 35 人选修 B 课程.从班级中任选两名学生, 他们是选修不同课程的学生的概率是__________.(结果用分数表示) 9、某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次,且他各次射击是否击中目标 相互之间没有影响.有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ? 0.1
3

③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? 0.1

4

其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号) . 10、一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (Ⅱ)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.

11、甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 ①恰有一个人译出密码的概率; ②至多一个人译出密码的概率;

1 1 和 ,求: 3 4

12、排球比赛的规则是 5 盘 3 胜制,A、B 两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为 (Ⅰ)前 2 盘中 B 队以 2:0 领先,求最后 A、B 队各自获胜的概率; (Ⅱ)B 队以 3:2 获胜的概率.

2 1 和 . 3 3

13、在某次考试中,甲、乙、丙三人合格(互不影响)的概率分别是 后,最容易出现几人合格的情况?

2 3 1 , , ,考试结束 5 4 3

14、猎人射击距离 100 米远处的静止目标命中的概率为 0.6 (1)如果猎人射击距离 100 米远处的静止目标 3 次,求至少有一次命中的概率; (2)如果猎人射击距离 100 米远处的动物,假如第一次未命中,则进行第二次射击,但 由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为 150 米,假如第二 次仍未命中,则必须进行第三次射击,而第三次射击时动物离猎人的距离为 200 米。假如击 中的概率与距离成反比, 。求猎人最多射击三次命中动物的概率。

答案: (一)1、 (1)81 (2) 64 (3)24 2、36 3、 (1)720 (2)3600 (3)1440 (4)2520 (5)1440 4~9 D B C B A C 10、72 (二)1、C 2、 C 3、B 4、C 5、2004 (三)1、D 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B

3 1 8、 9、①③ 260 7 10、解: (Ⅰ)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为 A,
7、 摸出两个球共有方法 C5 ? 10 种, 其中,两球一白一黑有 C 2 ? C3 ? 6 种.
2 1 1

? P( A) ?

1 C1 3 2 C3 ? . 2 C5 5

(Ⅱ)法一:记摸出一球,放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为 B, 摸出一球得白球的概率为

2 3 ? 0.4 ,摸出一球得黑球的概率为 ? 0.6 , 5 5

“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白” ,

? P( B) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48 .
法二:有放回地摸两次,互相独立. 摸一次得白球的概率为 p ?

2 , 5

? “有放回摸两次,颜色不同”的概率为?
11、解:① ?

P2 (1) ? C1 2 ? p ? (1 ? p) ? 0.48.

1 3 1 2 5 1 1 11 ? ? ? ?? ②1 ? ( ? ) ? 3 4 4 3 12 3 4 12

12、解:(Ⅰ)设最后 A 获胜的概率为 P 1 , 设最后 B 获胜的概率为 P 2.

8 3 2 3 ?P ; 1 ? C3 ( ) ? 3 27

1 2 1 2 2 1 19 19 P2 ? ? ? ? ? ? ? .(或P2 ? 1 ? P ) 1 ? 3 3 3 3 3 3 27 27 8 2 1 3 2 2 (Ⅱ)设 B 队以 3:2 获胜的概率为 P3 . ? P 3 ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 81

13、解:按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.

2 3 1 1 ? ? ? 5 4 3 10 2 3 1 1 ⑵三人都不合格的概率为 P2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 5 4 3 10
⑴三人都合格的概率 P 1 ? ⑶恰有两人合格的概率

2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 1 1 23 25 ⑷恰有一人合格的概率 P4 ? 1 ? ? ? ? 10 10 60 60 P3 ?

由此可知,最容易出现恰有1人合格的情况 14、解: (1)记事件“猎人射击距离 100 米远处的静止目标 3 次,至少有一次命中”为 A 事件, 则 P(A)=1-P( A )=1-0.4×0.4×0.4=0.936. (2)记事件“第 i 次击中动物”为事件 Bi ( i =1,2,3) ,记事件“最多射击 3 次而击中动 物”为事件 B. 由条件 P(B1)=0.6, P(B1)= 0.6 ?

2 1 =0.4, P(B1)= 0.6 ? =0.3, 3 2

∵ B ? B1 ? B1 ? B2 ? B1 ? B2 ? B3 ,且 Bi 是相互独立事件,又 B1 、B1 ? B2 、B1 ? B2 ? B3 是 互斥事件, ∴ P( B) ? P( B1 ) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B3 ) =0.832.



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