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湖南省浏阳一中2013届高三第二次月考数学(理)试题



浏阳一中 2013 届高三第二次月考数学(理)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)。 1. A={2,3,4}, = ?x x ? n ? m , m , n ? A , m ? n ? , 若 B 则集合 B 中的元素个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 )

2.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则 函数 y=f(x)的图象可能是( ).

3.由曲线 y ? x 2 ? 2 x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为( A.
1 6



B.

1 3

C.
?
3

5 6

D.

2 3

4.已知 f(x)=sin(ω x+

)(ω >0)的图象与 y=-1 的图象的相邻两交点间的 )

距离为 π ,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象( A.向左平移 C.向左平移
?
12 5?
12

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

?
12 5?
12

个单位 个单位

5.如下图,是张大爷晨练时人离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的 图象. 若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( ).

6. 已知函数 f(x)=x2-2ax+a, 在区间(-∞, 1)上有最小值, 则函数 g(x)= 在区间(1,+∞)上一定( ).
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f (x) x

A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

7.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 f(1) x,有f(x)≥0,则 的最小值为( ) f′(0) 5 3 A.3 B. C.2 D. 2 2 8.设函数 f ( x ) ? 的值域是( A.{0,1}
x 1 ? 2x
2

?

1 2

,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]

). B.{0,-1} C.{-1,1} D.{1,1}

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9. 已 知 sinα =
t an ? ?

3 5

,α 。
x 1? i ?

为 第 二 象 限 角 , 且 tan(α + β ) = 1 , 则

10.设 x 、 y 为实数,且

y 1 ? 2i

?

5 1 ? 3i

,则 x ?

y

=



11.设函数 f(x)=|2x-1|+x+3,且 f(x)≤5,则 x 的取值范围是________。 12.在△ABC中,若sin2A+sin2B-sin B=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为_______。 13 设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x , x 的取值范围是 则 。 Asin

14.已知 D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,∠ABC= ? .且 AC= 3 DC,则
? =


? ABC

15.P 为 为

内 一 点 , 且 PA ? 3 PB ? 7 PC ? 0 , 则

? PAC



? ABC

面积的比



三、解答题(六个大题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c, AB ? AC ? 8 ,∠BAC= ? ,a=4. (1)求 bc 的最大值及 ? 的取值范围;?

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(2)求函数 f (? ) ? 2 3 sin 2 (

?
4

? ? ) ? 2 cos

2

? ?

3

的最值。?

17.(本小题满分 12 分) 某公司一年需要一种计算机元件 8000 个,每天需同样多的元件用于组装 整机,该元件每年分 n 次进货,每次购买元件的数量均为 x,购一次货需手续 费 500 元.已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为
1 2 x 件,每

个元件的库存费为每年 2 元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进 货几次花费最小?

18.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 2 x 3 ? 3 ( a ? 1) x 2 ? 1 ,其中 a
?1

(1)求 f(x)的单调区间;(2)讨论 f(x)的极值。

19.(本小题满分 13 分) 已知向量 a
? (cos 3x 2 , sin 3x 2 ) , b ? (cos x 2 , ? sin

? ? ? ) 且 x ? 0, ? 2? 2 ? ?
x

求(1) a ? b 及 (2)若

a ?b

; 的最小值是 ?
3 2

f ( x) ? a ? b ? 2? a ? b

,求 ? 的值。

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20.(本小题满分13分) 已知函数f(x)= ln( e x ? a ) (a为常数)是实数集R上的奇函数,函数 g(x)=λ f(x)+sin x是区间[-1,1]上的减函数. (1)求a的值及 ? 的范围。 ln x (2)讨论关于x的方程 =x2-2ex+m的根的个数. f(x)

21、(本小题满分 13 分) 已知 f ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 在 ( ?? , 0 ] 上是增函数,在 ?0 , 2 ? 上是减函数,且
f ( x ) ? 0 有三个根 ? , 2 , ? (? ? 2 ? ? ) 。

(1)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围。 (2)求证 (3)求 ?
f (1) ? 2 。
??

的取值范围,并写出当 ?

??

取最小值时的

f (x)

的解析式。

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数学试题参考答案
一、选择题

二、填空题

17.(本小题满分 12 分) 某公司一年需要一种计算机元件 8000 个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件 每年分 n 次进货,每次购买元件的数量均为 x,购一次货需手续费 500 元.已购进而未使用 的元件要付库存费,假设平均库存量为
1 2 x 件,每个元件的库存费为每年 2 元,如果不计其

他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小? 解:设购进 8000 个元件的总费用为 S,一年总库存费用为 E,手续费为 H. 则x ? , H ? 500 n 2 n 8000 8000 ? x ? ? 500 n ? 4000 所以 s ? E ? H ? 500 ? x n
n
第 5 页 共 8 页

8000

,E ? 2?

1

?

8000

当且仅当 n ?

16 n

,即 n=4 时总费用最少,故以每年进货 4 次为宜.
3 2

18. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= 2 x ? 3 ( a ? 1) x ? 1 ,其中 a ? 1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论 f(x)的极值。

因为 x ? ? 0 ,
?

?

? ?

,所以 | cos x ? ?0 ,1? 2? ?
2

(1) 当 | ? ? ?0 ,1? 时, f ( x ) m in ? f ( ? ) ? ? 2 ? ? 1 ? ? 解得 ? ? ?
1 2

3 2

其中, ? ? ?

1 2

,舍去故 ? ?

1

(2) 当 ? ? 0 时, cos ? 0 (3) 当 ? ? 1 时, cos ? 1 解得 ? ?
5 8

2 3 f ( x) m i n ? ?1 ? ? 2 3 f ( x) m i n ? 1 ? 4? ? ? 2

,舍去
1 2

综上所述: ? ?



20. (本小题满分13分)已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x) +sin x是区间[-1,1]上的减函数. (1)求a的值及 ? 的范围。
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ln x 2 (2)讨论关于x的方程 =x -2ex+m的根的个数. f(x)

. 21、 (本小题满分 13 分)已知 f ( x ) ? x ? bx
3 2

? cx ? d 在 ( ?? , 0 ] 上是增函数,在 ?0 , 2 ? 上

是减函数,且 f ( x ) ? 0 有三个根 ? , 2 , ? (? ? 2 ? ? ) 。 (1)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围。 (2)求证 f (1) ? 2 。 (3)求 ? ? ? 的取值范围,并写出当 ? ? ? 取最小值时的 f ( x ) 的解析式。 解(1) f ( x ) 在 ( ?? , 0 ] 上是增函数,在 ?0 , 2 ? 上是减函数, x ? 0 是 f ? ( x ) ? 0 的根,

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