9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1导数的概念 冯海星



2016/12/1

第三章 导数与微分 3.1 导数的概念 3.1.1、引例 3.1.2、导数的定义

3.1.3、导数的几何意义 3.1.4、可导性和连续性的 关 系
1

2016/12/1

3.1.1、引例 1.瞬时速度 物体沿直线的运动可理想化为质点在数轴上 的运动。假设质点在

t ? 0时刻位于数轴的原 点,在任意的时刻 t ,质点在数轴上的坐标为 s ? s(t )。下面讨论质点在 t0 ? (0, t ) 时刻的瞬 时速度 v(t0 ) ,即我们的问题是:已知质点 的运动方程 s ? f (t ) ,如何求v(t 0 ) 。
t

2

取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间?t ,
第一步:取增量

?s ? f (t 0 ? ?t ) ? f (t 0 )

?s f (t0 ? ?t ) ? f (t0 ) 求平均速度 v ? ? ?t ?t 第三步:取极限当 t ? t 0时,

第二步:“以均匀代不均匀”,或“以不变代 变”

f (t0 ? ?t ) ? f (t0 ) ?s 瞬时速度 v(t0 ) ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

2.平面曲线切线的斜率.
割线的极限位置——切线位置

第一步:取点 P( x0 , f ( x0 )) 附近的动点 Q ,即取自变 量增量Δ x,此时有

?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
第二步:求割线PQ的斜率(即函数的平均变化率) ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) tan? ? ? ?x ?x 当Q点沿曲线C无限逼近点P时,即有Δx→0,割线 PQ斜率的极限就是切线PT的斜率,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y k ? lim tan? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
最后一步通过求极限,使问题得到解决.

上述问题的本质:

1)对应自变量的增量写出函数的增量;
2)写出函数增量与自变量增量的比; ?y lim 3)求 ? x ?0 ?x 这就是导数的思想。

3.1.2.导数的定义 定义3.1.1 设函数 y ? f ( x)在点 x0的某个邻域内

有定义,自变量x在 x0 处取得增量 ?x( x0 ? ?x 仍在 该邻域内)时,函数 y ? f ( x)取得增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ),如果极限 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 存在,那么就称此极限值为函数 f ( x)在点 x0 的 导数,记作 : dy df ( x ) | x ? x0 | x ? x0 或 f ?( x0 ), y? | x? x0 或 dx dx 并称函数 y ? f ( x) 在点 x0 处是可导的.

其它形式

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . h ?0 h

f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0

定义3.1.2 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每 一点处都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可导.

y ? f ?( x)称为y ? f (x)的导函数
导函数的定义式:

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) y? ? lim ?x ? 0 ?x

f ( x ? h) ? f ( x ) y? ? lim h?0 h

定义3.1.3 单侧导数 1.左导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

2.右导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

函数 f ( x )在点 x 0 处可导 ? 左导数 f ?? ( x 0 ) 和右 导数 f ?? ( x 0 ) 都存在且相等.

如果函数y=f (x)在开区间(a,b)内可导, 且 f ?(a ? 0) 及 f ?(b ? 0) 存在,就说f (x)在闭区 间[a,b]上可导.
由导数的定义可知,例1中的变速直线 运动的瞬时速度就是路程对时间的导 数,即 ds ;

v?

dt

而曲线y=f (x)在点(x,y)处的切线斜率就 是曲线的纵坐标y对横坐标x的导数, dy . 即

k?

dx

由定义求导数
步骤: (1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y ( 3) 求极限 y ? ? lim . ?x ? 0 ? x

例1.常数函数的导数 求函数 f ( x ) ? C (C为常数) 的导数. 解
f ?( x ) ? lim
h? 0



f ( x ? h) ? f ( x ) C ?C ? 0. ? lim h? 0 h h (C )? ? 0.

例2.求函数 f ( x) ? x n (n为正整数)的导数? 解? 由导数的定义及牛顿二项展开式,有
f ( x ? h) ? f ( x ) ( x ? h) n ? x n f ?( x) ? lim ? lim h ?0 h ?0 h h
n ?1

n(n ? 1) n?2 2 nx h ? x h ? ? ? hn 2 ? lim h?0 h n(n ? 1) n ? 2 n ?1 ? lim(nx ? x h ? ? ? h n ?1 ) ? nx n ?1 h ?0 2

n ?1 ? ( x ) ? nx n

例3.求函数 f ( x) ? sin x 的导数? f ( x ? h) ? f ( x ) sin( x ? h) ? sin x ? lim 解? f ?( x) ? lim h ?0 h ?0 h h

(sin x)? ? cos x

h sin h 2 ? cos x ? lim cos(x ? ) ? h ?0 h 2 2


1 h h ? lim ? 2 cos( x ? ) sin h?0 h 2 2

用类似的方法? 可求得 (cosx)? ? ? sin x

例4.求函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的导数? x?h x a ? a 解? f ?( x) ? lim f ( x ? h) ? f ( x) ? lim h ?0 h ?0 h h
h a ?1 x ? a lim h ?0 h

令a h ? 1 ? t a x lim
t ?0

1 ?a ? a x ln a loga e
x

t loga (1 ? t )

x x ? ( e ) ? e 特别地有

例5.求函数 f ( x) ? loga x, (a ? 0, a ? 1) 的导数?
loga ( x ? h) ? loga x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim 解? f ?( x) ? lim h ?0 h ?0 h h

1 x?h 1 x h ? lim log a ( ) ? lim log a (1 ? ) h ?0 h x x h ?0 h x
。 1 h 1 1 ? lim loga (1 ? ) ? loga e ? x h?0 x x x ln a

x h

(loga x)? ? 1 x ln a

特别地 (ln x)? ? 1

x

例6 .求函数

1 ? 2 ? x sin , x ? 0 f ( x) ? ? 在 x ?处的导数。 0 x ? ? 0, x ? 0
2

解:由导数的定义

1 x sin ? 0 f ( x) ? f (0) x f ?(0) ? lim ? lim x ?0 x ?0 x?0 x?0

1 ? lim x sin ? 0 x ?0 x

例7.求函数

x?0 处的导数? f ( x) ?| x 在 |

?

f (0 ? h) ? f (0) |h| 解? f ??(0) ? lim? ? lim? ? ?1 h ?0 h ?0 h h f (0 ? h) ? f (0) |h| f ??(0) ? lim ? lim ?1 h?0 h?0 h h ? (0) ? f ? ? (0?) 所以函数在 x ?处不可导。 因为 f ? 0
? ?

3.1.3导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0处的导数 f ?( x0 ) 在几何上表示 曲线 y ? f ( x) 在点 M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 (图见课本88页)? 即 k ? tan? ? f ?( x0 ),其中 ?

是切线的倾角。
注: 1.曲线 y ? f ( x) 在点 M 0 ( x0 , f ( x0 ))处的切线方程为

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 2.曲线 y ? f ( x) 在点 M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处的法线方程为

1 y ? f ( x0 ) ? ? ( x ? x0 ) f ?( x0 )

例8 求曲线 y ? ln x 上一点 M 0 ,使得该点处的 法线平行于已知直线 3x ? y ? 1 ? 0


点处的法线平行于已知直线, 因此点 M 0 处的法线斜率也为-3,这样便知 M 处的切线斜率为 0 1 1 1 1 k ? ,又因为 k ? y ? x ? x0 ? x ? x0 ? ? 3 x x0 3 1 所以知 x0 ? 3,故 M 0 ( , ln 3) 。 3

3x ? y ? 1 ? 0 的斜率为-3,由于 M 0 ( x0 , ln x0 )

解:设 M 0 点的坐标为 ( x0 , ln x0 ) 。 因为直线

3.1.4函数的可导性与连续性的关系 定理:如果函数

x处可导 y ? f (在点 x) ? 0

则函数在该点必连续? 注:定理的逆定理不成立。
? ex , x ? 0 例8.设函数 f ( x) ? ? 2 在点 x ? 0 ? x ? ax ? b, x ? 0 处可导,求 a, b ?

解:由于

f ( x在点 )

x?0 处可导,则

f (x ) 在点

x ? 处必连续,即 0
x ?0

f (0 ? ) ? f (0 ? ) ? f (0 ) 。因为
x ?0

x f (0 ? ) ? lim f ( x ) ? lim e ?1 ? ?
2 f (0 ? ) ? lim f ( x ) ? lim ( x ? ax ? b) ? b ? ? x ?0 x ?0

f (0) ? 0

所以知 b ? 1 。又因为
f ( x) ? f (0) ex ?1 f ?? (0) ? lim ? lim ?1 ? ? x ?0 x ?0 x x

f ( x) ? f (0) x 2 ? ax ? 1 f ?? (0) ? lim ? lim ?a ? ? x ?0 x ?0 x x

要使 f ( x)在点 x ? 0 处可导,则应有

f ?? (0) ? f ?? (0) ,即 a ? 1 。所以,若 f ( x) 在点

x ? 0 处可导,则有 a ? 1, b ? 1





更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图