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高中数学常用公式及结论

2 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 集有 2
n

n

个;真子集有 2

n

? 1 个;非空子集有 2n ? 1 个;非空的真子

? 2 个.

3 二次函数的解析

式的三种形式: (1) 一般式 (2) 顶点式 (3) 零点式

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ; f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)
f ( x) ? a( x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0)
反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个

(4)切线式:

5 常见结论的否定形式; 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 若p则q 互 互 否 逆 否 否命题 若非p则非q (1)、 互逆 逆 否 逆否命题 若非q则非p 为 为 互 互 否 互逆 逆命题 若q则p

p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; (2) 、 p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件;
4、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性: 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2) 、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数; 8 函数的奇偶性: (注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称)

奇函数: 定义:在前提条件下,若有

f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f(x)就是奇函数。

性质: (1) 、奇函数的图象关于原点对称; (2) 、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3) 、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 偶函数: 定义:在前提条件下,若有 .

f (? x) ? f ( x) ,则 f(x)就是偶函数。

性质: (1) 、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2) 、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (5)、偶函数±偶函数=偶函数; 9 函数的周期性: 定义:对函数 f(x) ,若存在 T ? 0,使得 f(x+T)=f(x) ,则就叫 f(x)是周期函数,其中,T 是 f(x) 的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ; (2) 、 f(x+m)=f(x+n) ,此时周期为 2 (2) 、奇函数·奇函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;

m?n




(3)、

f ( x ? m) ? ?

1 ,此时周期为 2m f ( x)

11、函数的几个重要性质: ①如果函数 数

y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? 或

f(2a-x)=f(x) ,那么函

y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? a 对称. y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称; y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图象关于直线 y ? 0 对称; y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?? x ? 的图象关于坐标原点对称. y ? f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是递增函数, 则 y ? f ? x ? 在区间 ?? ?,0? 上也是递增函数. y ? f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是递增函数,则 y ? f ?x ? 在区间 ?? ?,0? 上是递减函数.

②函数 函数 函数

③若奇函数

④若偶函数 ⑤函数 函数

y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的;
x 轴向右平移

y ? f ?x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿

a

个单位得到

的; 函数

y ? f ?x ? +a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;函数
个单位得到的.

y ? f ?x ? +a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a
16 、函数

y ? x?

??

a ,0

?和 ?0, a ? 上单调递减)
y

a x

?a ? 0? 的单调区间吗?(该函数在 ?? ?,?

a

?和 ?

a ,??

? 上单调递增;在

10 常见函数的图像:
y
y

y

k<0
o

k>0
x

a<0
o x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1

a>0

o

1 a>1

x

y=kx+b
11 对于函数 两个函数

y=ax2+bx+c

y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 x ? a ? b ;
y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x)
的图象关于直线 x

?

b?a 对称. 2

2

12 分数指数幂与根式的性质:
m

(1) a n (2) a
?

? n am
m n

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(3) (

n

a )n ? a .
n

(4)当 n 为奇数时,

? a, a ? 0 a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? . ? ? a, a ? 0
log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
.

13 指数式与对数式的互化式: 指数性质: (1)1、 a
r
?p

?
s

1 ap
r ?s



(2) 、a

0

?1( a ? 0 )
; (5)、 a
m n

; (3)、 a

mn

? (a m )n

(4)、 a 指数函数: (1)、 (2) 、

?a ? a

(a ? 0, r , s ? Q)

? n am



y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。注:
指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质:

(1)、 (3)、 (6)、

log a M ? log a N ? log a ( MN )
log a bm ? m ? log a b
;(4)、 (7)、

; (2) 、

log a M ? log a N ? log a n ? log a b m
; (5)、

M N



log am b n ?

log a 1 ? 0

log a a ? 1



aloga b ? b
(a
loga b

18、换底公式( log a 对数函数: (1)、 (2) 、 (3)、

b?

log c b , log a n b n ? log a b ) log c a

? b)

y ? log a x(a ? 1) (真数大于零,底数大于零且不等于 1) y ? log a x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数;注: log ? a ,x ? ( 0或 , 1)a x? , a x ? 0 x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??)
N? log m N log m a
(a 或

在定义域内是单调递增函数;

对数函数图象都恒过点(1,0)

? (1, ?

)

(4)、 log a

a ? (1, ??)则x ? (0,1)

14 对数的换底公式 : log a

? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ).

对数恒等式: a 推论

log a N

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

log am bn ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m

15 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a (3) log a

M ? log a N ;

(2) (4)

log a

M n ? n log a M (n ? R) ;

log am

M ? log a M ? log a N ; N n N n ? log a N (n, m ? R) 。 m

17 等差数列: 通项公式: (1)

an ? a1 ? (n ? 1)d

,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末项。

(2)推广: (3) an 前 n 项和: (1) Sn

an ? ak ? (n ? k )d
(注:该公式对任意数列都适用)

? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)
?

n(a1 ? an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) (2) S n ? na1 ? d 2
(3 ) S n (4 ) S n

? Sn ?1 ? an (n ? 2) ? a1 ? a2 ? ? ? an

(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有

am ? an ? a p ? aq



注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am (2) 、若 (3) 、

? an ? a p ? n、m、p 成等差。

?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。

?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等差数列。
?qa, q ? p ,a则 pq ?? 0


(4) 、 ap (5) 等比数列: 通项公式: (1)

1+2+3+?+n=

n(n ? 1) 2

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) q

,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。

(2)推广: an (3) an 前 n 项和: (1) Sn (2) Sn

? ak ? q n ? k
(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ? Sn ?1 ? an (n ? 2) ? a1 ? a2 ? ? ? an

? na1 ? (3) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?
常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 (2) 、若

(q ? 1) (q ? 1)


am ? an ? a p ? aq

am 2 ? an ? a p ? n、m、p 成等比。

?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。
?
2 ) ,则 sin x ? x ? tan x .

19 三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0, (3)

?
2

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

| sin x | ? | cos x |? 1 .
2

20 同角三角函数的基本关系式 : sin

? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin? cos?



21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z) tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=—sinα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα sin(3π /2-α )=-cosα cos(3π /2-α )=-sinα sin(3π /2+α )=-cosα cos(3π /2+α )=sinα
22 和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

; ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ?

?

b a

).

19、 三角的恒等变形如 ? 23 二倍角公式及降幂公式

? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 等) 2? ?2 ? ?

sin 2? ? sin ? cos? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

.

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

.

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 2 tan 2? ?
24 三角函数的周期公式 函数

y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R

及函数

y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期
(A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0) 的周期

T?

2? ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z |? | 2

T?

? . |? |

三角函数的图像:

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

y=cosx
-2π -3π/2 -π -π/2

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2



x

25 正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
26 余弦定理:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
27 面积定理:

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S

?

28 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?
(1)λ (μ (2)(λ

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

29 实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么:

? ? a )=(λ μ ) a ; ? ? ? +μ ) a =λ a +μ a ;

(3)λ ( a + b )=λ 30

? ?

? ? a +λ b .

? ? ? ? a · b =| a || b | cos ? 。 ? ?
? ?

31 平面向量的坐标运算: (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

? ? y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . ? ? y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

??? ? ??? ? ??? ? y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .

(4)设 a = ( x, y), ? ? R ,则 ? (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , 32 两向量的夹角公式:

?

? a = (? x, ? y) .

?

?

? ? y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) .
x1 x2 ? y1 y2

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b |
33 平面两点间的距离公式:

2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 ,

?

?

y2 ) ).

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
34 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 ,

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

y2 ) ).

?

?

? ? y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

? ? a?b

(a

?

? ? ? ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 1 2 的分点 , ?
是实数,且

35 线段的定比分公式 :设

? x1 ? ? x2 ???? ???? x? ??? ? ???? ? ??? ? OP ? ? OP ? 1? ? 1 2 P ? OP ? 1 P ? ? PP 2 ,则 ? y ? ? y 1 ? ? 2 ?y ? 1 ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ). ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ?
36 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

37 三角形五“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角

(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA

??? ?2

??? ? 2 ???? 2 ? OB ? OC .

(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC

??? ? ??? ? ????

? ?0. ???? ??? ? ? OC ? OA . ? ?0. ????

(3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ?

(4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC

??? ?

(5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 38 常用不等式: (1) a, b ? R (2) a, b ? R (3) a (4)
3

??? ?

??? ?

? a2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
?

?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).

a ? b ? a?b ? a ? b .

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (5) a?b 2 2
42 斜率公式 :

(当且仅当 a=b 时取“=”号)。

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

(P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).

43 直线的五种方程: (1)点斜式 (2)斜截式

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

(直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ).

y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

(3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

( x1

? x2 , y1 ? y2 )).

两点式的推广: ( x2 (4)截距式 (5)一般式

? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件! )

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) a b
Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

46 点到直线的距离 : d 47 圆的四种方程:

?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C

? 0 ).

(1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0).
? x ? a ? r cos ? . ? ? y ? b ? r sin ?
2

(3)圆的参数方程

48 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 若d

? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

? (a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2

,则 d

? r ? 点 P 在圆外;

d ? r ? 点 P 在圆上;
49 直线与圆的位置关系:直线

d ? r ? 点 P 在圆内.
Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种

(d

?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,

O1O2 ? d ,则:

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
51 椭圆

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

o

d

d

d

d

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

.

离心率 e

?

c b2 ? 1? 2 a a



准线到中心的距离为

a2 c

,焦点到对应准线的距离(焦准距)

p?

b2 c



52 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a 2 b2 a2 ) ? a ? ex c

PF1 ? e( x ?

PF2 ? e(

a2 ? x) ? a ? ex c

53 椭圆的的内外部: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆
2 2 x0 y0 x2 y 2 的内部 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 的外部 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ? 1. a 2 b2 a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 54 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1. 2 a b a b x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1. 2 a b a b

(2)过椭圆

(3)椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . 2 a b a2 ,准线到中心的距离为 c
,焦点到

55

c b2 x2 y 2 ? 1? 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? a a a b
对应准线的距离(焦准距)

p?

b2 c

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 0 ? y ?? b x. 渐近线方程: ? ? 1 ? 2 2 2 a b a b a
2 2

(2)若渐近线方程为

x y x y b y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a

(3)若双曲线与 (? (4)

x2 y2 x2 y2 ? ?? 有公共渐近线,可设为 ? ? 1 a2 b2 a2 b2

? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 焦点到渐近线的距离总是 b 。

57 双曲线的切线方程:

x2 y 2 xx y y (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b
(2)过双曲线

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

(3)双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . 2 a b

58 抛物线

y 2 ? 2 px 的焦半径公式: y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ?
CD ? x1 ?
2

抛物线

p . 2

过焦点弦长

p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2

b 2 4ac ? b 2 59 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ( x ? ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a
(1)顶点坐标为 (?

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 (2)焦点的坐标为 (? , ); , ); 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 . 4a
AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

(3)准线方程是

y?

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或

AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
? y ? kx ? b ?F( x , y) ? 0
消去 y 得到 ax
2

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

? bx ? c ? 0

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
64 向量的直角坐标运算: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1) (2) (3)λ

.

?

?

? ? a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ? a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? a = (? a1 , ? a2 , ? a3 )
(λ ∈R);

(4)

? ? a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
?
? ? a , b ?? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

65 夹角公式: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ?

?

.

68 球的半径是 R,则其体积 V

4 ? ? R3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

69 球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的 面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

81

函数 函数

y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义:
相应 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,

的切线方程是

y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .

82 几种常见函数的导数: (1) (4)

C? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nx n?1 (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x .
(cos x)? ? ? sin x .
(5)

(ln x)? ?

1 x

; (log a

x)? ?

1 log a e . x

(6)

(e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a .

83 导数的运算法则:

u ' u 'v ? uv ' (1) (u ? v) ? u ? v .(2) (uv) ? u v ? uv .(3) ( ) ? (v ? 0) . v v2
' ' ' ' ' '

84 (1)如果在 x0 附近的左侧

f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

(2)如果在 x0 附近的左侧 85 复数的相等: a ? bi 86 复数 z

? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
.

? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2

87 复平面上的两点间的距离公式:

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
( sin 15?

( z1

? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
6? 2 5 ?1 ) , sin18? ? 4 4

? cos 75? ?

6? 2 , sin 75? ? cos15? ? 4

20、 弧度制下弧长公式和扇形面积公式( l 21、 辅助角公式: a sin x ? b cos x 定, ? 角的值由 tan? 22、 函数 y=

? ? r , S 扇形 ?

1 lr ) 2
b 的符号确

? a 2 ? b 2 sin?x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a,

?

b 确定) a

A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质:

振幅|A|,周期 T=

2?

?

,

五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 23、三角函数图像变换

?
2

,? ,

3? ,2? 2

求出 x 与 y,依点

?x, y ? 作图

?

平移公式(1)如果点 P(x,y)按向量
' ? ? x ? x ? h, ? ' ? ? y ? y ? k.

a ? ?h, k ?

平移至 P′(x′,y′) ,则

(2) 曲线 f(x,y)=0 沿向量 a 24、 等 差 数 列 中 的 重 要 性 质 :( 1 ) 若

?

? ?h, k ? 平移后的方程为 f(x-h,y-k)=0

m?n ? p?q

,则

am ? an ? a p ? aq

;( 2 )

数列{a2n?1}, {a 2n }, {ka n ? b}仍成等差数列; Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 仍成等差数列
(3)若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+d;若为四数则可设为a3 1 1 3 d 、a- d 、a+ d 、a+ d ; 2 2 2 2

(4)在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0, 而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 >0,d<0,解不等式 组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可 得 Sn 达最小值时的 n 的值 ; ( 5 ) .若 an ,bn 是等差数列 ,Sn ,Tn 分别为 an ,bn 的前 n 项和 , 则

a m S 2m?1 a 。.(6).若{ a n }是等差数列,则{ a n }是等比数列,若{ a n }是等比数列且 a n ? 0 ,则 ? b m T2m?1
{ log a
an

}是等差数列. (2 ) S k , S 2 k ? S k , ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;

25、 等比数列中的重要性质: (1)若 m ? n

S 3k ? S 2 k 成等比数列
26、 等比数列求前 n 项和( q

? 1 时, S n ? na1 ; q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ) 1? q


27、 等比数列的一个求和公式:设等比数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,公比为 q ,

S m? n ? S m ? q m S n .
28、 等差数列的性质:设 S n 是数列

?a n ?的前 n 项和, ?a n ?为等差数列的充要条件是

S n ? an 2 ? bn
29、 裂项求和

(a, b 为常数)其公差是 2a.

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

30、 | a | = a · a ,cosθ =
2

a?b | a || b |

?

x1x2 ? y1 y 2 x12 ? y12 x2 2 ? y 2 2

31、 32、

a ? b ? 0 是向量 a和向量b 夹角为钝角的必要而非充分条件。
向量的直角坐标运算 设a
? ? ?

? ?a1 , a2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ?,则 a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?

?

?

?

a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?
?

? a ? ??a1 , ?a2 , ?a3 ??? ? R?
?
2 2 a ? a? a ? a12 ? a 2 ? a3 ? ?

? ?

a? b ? a1b1 ? a2 b2 ?a 3 b3
? ?

cos ? a , b ??
? ?

a1 b1 ? a 2 b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

a// b ? a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , ?? ? R? , a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b 3 ? 0

?

?

设 A=
?

?x1 , y1 , z1 ? , B= ?x2 , y 2 , z 2 ?,
? OB ? OA ? ?x 2 , y 2 , z 2 ?- ?x1 , y1 , z1 ? = ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 ?
? ?

则 AB

AB ?

?

AB? AB ?

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x ) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x ) ? x , f ( xy ) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
'

?

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) , 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1
42.等比差数列 ?a n ? : an ?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为 47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决
定, tan ? ?

b ). a

48.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ;

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理 (2) S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2

62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

??? ?

??? ? ??? ?

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

2

2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?



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