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2014高三数学一轮复习课件



一轮复习

集合的概念及其基本运算

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要点梳理
1.集合与元素

忆一忆知识要点

确定性 、 互异性 、 无序性 . (1)集合元素的三个特征:
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

/>
列举法 、描述法 、 图示法 、区间法 . (3)集合的表示法:
(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限 无限集 、 空集 . 集 、

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, 则

A? B

(或

B? A

).

? ? A;A ? A;A?B,B?C?A ?C. 若 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 2n 个, A 的非空 子集有 2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2 个.

(2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B}; 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} . U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.

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[难点正本

疑点清源]

1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个 特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运 用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子 集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=? 和 A≠?两种可能的情况.

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3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元 素 0 的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个 元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?},{0}∩{?}=?.

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例2
若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a 9 0或 =________. 8
∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3

9 当 a≠0 时,Δ=(-3) -4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8
2

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例3 A={ x|-2≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},B?A,则 m的取值范围是_________.
解:若B ? ?, 即m ? 1 ? 2m ? 1,? m ? 2. ? ? A成立.
?m ? 1 < 2m ? 1, ? 若B ? ?,由题意得 ??2 ≤ m ? 1, ?7 ≥ 2m ? 1 ?
即m的取值范围是m ≤ 4.
A -2

得 2 < m ≤ 4.

?

? m+1

B

? 2m- 1

?

7

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变式训练 1
已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实 数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=________. 4
由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

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集合的基本运算
例 4 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m +1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

本题中的集合 A,B 均是一元二次方程的解集,其中集合 B 中的一元二次方程含有不确定的参数 m,需要对这个参 数进行分类讨论,同时需要根据(?UA)∩B=?对集合 A,B 的关系进行转化.

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A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m -1)2≥0,∴B≠?.
∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}.

①若 B={-1},则 m=1;

②若 B={-2}, 则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m =(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.

经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2.故填 1 或 2. 答案 1 或 2

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探究提高
本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二 是对集合 B 中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的 包含关系存在着一些必然的联系,这些联系通过 Venn 图进行 直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=? ?B?A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解 这类难点的一种极为有效的方法.

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变式训练 2
设全集是实数集 R, A = {x|2x2 - 7x+ 3≤0}, B = {x|x2 + a<0}. 若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.
1 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2

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1 ?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA,即 A∩B=?.
①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA;
②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a},
1 1 要使 B??RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4

1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4

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方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在 解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言 与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理 转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范 围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借 助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

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失误与防范
1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关 系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或 其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还 是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩ (?UB)=?这五个关系式的等价性.

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知识网络

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解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚



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