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2017高考(新课标)数学(理)二轮专题复习(检测):专题二第1讲三角函数的图象与性质 Word版含解析



专题二 第1讲
一、选择题

三角函数

三角函数的图象与性质

? π? 1.(2016· 四川卷)为了得到函数 y=sin?2x-3?的图象,只需把函数 ? ?

y=sin 2x 的图象上所有的点(

)

π A.向左平行移动 个单位长度 3

π B.向右平行移动 个单位长度 3 π C.向左平行移动 个单位长度 6 π D.向右平行移动 个单位长度 6
? π? ? π? 解析:∵y=sin?2x-3?=sin 2?x-6?, ? ? ? ?

π ∴将函数 y=sin 2x 的图象向右平行移动 个单位长度,可得 y= 6
? π? sin?2x-3?的图象. ? ?

答案:D 2.若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 2,则函数 f(x)的一个零点为( A.- π 3
?

) 2 B. 3 D.(0,0)

?2 ? C.?3,0? ?

? π? 2π 解析:f(x)=2sin?ax+3?,∵T= =2,∴a=π. a ? ?

? π? 2 ∴f(x)=2sin?πx+3?,∴当 x= 时,f(x)=0. 3 ? ?

答案:B
? π? 1 3. 把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标 2 ? ?

π 不变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 3 ( ) A.x=- C.x= π 8 π 2 B. x=- D.x= π 4 π 4

π ? π? ? ? ? π? 解析:由题意知 y=sin?2?x-3 ?+ ?=sin?2x-2?=-cos 2x,验证 ? 6? ? ? ? ? π 可知 x=- 是所得图象的一条对称轴. 2 答案:A
? π? ?π ? 4. (2016· 北京卷)将函数 y=sin?2x-3?图象上的点 P?4,t?向左平移 ? ? ? ?

s(s>0)个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数 y=sin 2x 的图象上, 则( 1 π A.t= ,s 的最小值为 2 6 B.t= 3 π ,s 的最小值为 2 6

)

1 π C.t= ,s 的最小值为 2 3 D.t= 3 π ,s 的最小值为 2 3
? ? ? ?

?π ? ? π? 解析:∵点 P?4,t?在函数 y=sin?2x-3?的图象上,∴t= ? π π? ?π 1? π 1 sin?2×4-3?=sin = .∴P?4,2?.将点 P 向左平移 s(s>0)个单位长度得 6 2 ? ? ? ? ?π 1? P′?4-s,2?. ? ?

?π ? 1 1 ∵P′在函数 y=sin 2x 的图象上,∴sin 2?4-s?= ,即 cos 2s= , 2 ? ? 2

π 5 ∴2s=2kπ+ 或 2s=2kπ+ π, 3 3 π 5π π 即 s=kπ+ 或 s=kπ+ (k∈Z),∴s 的最小值为 . 6 6 6 答案:A 5.(2016· 山西临汾一中 3 月模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+
? π? φ)?ω >0,|φ|<2?的图象如图所示, 则函数 y=f(x)+ω 的图象的对称中心 ? ?

坐标为(

)

?2 π 3? A.?3kπ+24,2?(k∈Z) ? ? ? 3π 2? B.?3kπ- 8 ,3?(k∈Z) ? ? ?1 5π 3? C.?2kπ+ 8 ,2?(k∈Z) ? ? ? ? ?3 3π 2? D.?2kπ- 8 ,3?(k∈Z)

2π T 15π 3π 3 解析:由题图可知 = - = π,∴T=3π,又 T= =3π,∴ ω 2 8 8 2 2 2 3π π ω= ,又 × +φ=2kπ+ ,k∈Z, 3 3 8 2
?2 π? π π π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z,又∵|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=2sin?3x+4?, 4 2 4 ? ?

2 π 3 3π 由 x+ =kπ,k∈Z,得 x= kπ- ,k∈Z,则 y=f(x)+ω 的图象的 3 4 2 8
?3 3π 2? 对称中心坐标为?2kπ- 8 ,3?(k∈Z). ? ?

答案:D

二、填空题 π 6.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的 6
? π? 对称中心完全相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ?

解析:由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周
? π? ? π? π 期相同,故 ω=2,∴f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,- ≤2x 6 ? ? ? ?

π 5π - ≤ , 6 6
? π? ? 3 ? 1 ∴- ≤sin?2x-6?≤1,故 f(x)∈?-2,3?. 2 ? ? ? ? ? 3 ? 答案:?-2,3? ? ?

7.(2016· 江苏卷)定义在区间 0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y =cos x 的图象的交点个数是________. 解析:法一:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 2π =π,y=cos x 的最 2

小正周期为 2π,在同一坐标系内画出两个函数在 0,3π]上的图象,如 图所示.

通过观察图象可知,在区间 0,3π]上两个函数图象的交点个数是 7.
?y=sin 2x, ? 法二:联立两曲线方程,得? 两曲线交点个数即为方程 ?y=cos x, ?

组解的个数, 也就是方程 sin 2x=cos x 解的个数. 方程可化为 2sin xcos x=cos x,即 cos x(2sin x-1)=0, 1 ∴cos x=0 或 sin x= . 2

π ①当 cos x=0 时,x=kπ+ ,k∈Z, 2 π 3 5 ∵x∈0,3π],∴x= , π, π,共 3 个; 2 2 2 1 ②当 sin x= 时,∵x∈0,3π], 2 π 5 13 17 ∴x= , π, π, π,共 4 个. 6 6 6 6 综上,方程组在 0,3π]上有 7 个解,故两曲线在 0,3π]上有 7 个 交点. 答案:7 8. 已知函数 f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0), x∈R.若函数 f(x)在区间(- ω,ω)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的 值为________.
? π? 解析:f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin?ωx+4?, ? ?

∵函数 f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,
? 2 π? ∴f(ω)= 2sin?ω +4?=± 2, ? ?

π π ∴ω2+ = +kπ,k∈Z, 4 2 π 即 ω2= +kπ,k∈Z,又函数 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增, 4 π π π π π 所以 ω2+ ≤ ,即 ω2≤ ,取 k=0,得 ω2= ,所以 ω= . 4 2 4 4 2 答案: π 2

三、解答题 x x x 9.已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (导学号 55460108) (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间-π,0]上的最小值. 解:(1)∵f(x)= 2 2 sin x- (1-cos x)= 2 2

? π? 2 sin?x+4?- , 2 ? ?

∴f(x)的最小正周期为 2π. (2)∵-π≤x≤0, ∴-
.

3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4

.

π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4
? 3π? 2 ∴f(x)在区间-π,0]上的最小值为 f?- 4 ?=-1- . 2 ? ? ? π? 10. 某同学用“五点法”画函数 f (x)=Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?在 ? ?

某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 (导学号 55460109) (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x) 的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得到 y
?5π ? =g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为?12,0?,求 θ 的最小 ? ?



值. π 解:(1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- .数据补全 6 如下表:

ωx+φ x Asin(ωx+φ)

0 π 12 0
?

π 2 π 3 5
?

π 7π 12 0

3π 2 5π 6 -5

2π 13π 12 0

? π? 且函数表达式为 f(x)=5sin?2x-6?. ? π? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x-6?, ? ? ? π? 得 g(x)=5sin?2x+2θ-6?. ? ?

∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ- =kπ,解得 x= + -θ,k∈Z. 6 2 12
?5π ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点?12,0?成中心对称, ? ?



kπ π 5π + -θ= , 2 12 12 kπ π - ,k∈Z. 2 3

解得 θ=

π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6
? π? 11.设函数 f(x)=sin ωx+sin?ωx-2?,x∈R. ? ?

(导学号 55460110) 1 (1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小 8 正周期.
? π? 解:由已知:f(x)=sin ωx-cos ωx= 2sin?ωx-4?. ? ? ?1 π? 1 (1)若 ω= ,则 f(x)= 2sin?2x-4?. 2 ? ?

?1 π? 又 x∈R,则 2sin?2x-4?≤ 2, ? ?

∴f(x)max= 2, 1 π π 此时 x- =2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 即 f(x)取最大值时,
? ? 3π ? ? x 的取值集合为?x?x=4kπ+ 2 ,k∈Z. ? ? ?

π (2)∵x= 是函数 f(x)的一个零点, 8
?π π? π π ∴ 2sin?8 ω-4?=0,∴ ω- =kπ,k∈Z. 8 4 ? ?

又 0<ω<10,所以 ω=2,
? π? ∴f(x)= 2sin?2x-4?, ? ?

此时其最小正周期为 π.



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