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湖北省襄阳市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案



湖北省襄阳市 2016-2017 学年高二上学期期末考试 数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.投掷一枚质地均匀的硬币,如果连续投掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概率是 ( A. )

1 999

B.

1 1000

C.

999 1000
) D.

D.

1 2

2.直线 3 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是( A.

?
6

3 3.为研究两变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙两人分别作了研究,利用线性回归方程得到回
归直线 m 和 n ,两人计算 x 相同, y 也相同,则下列说法正确的是( A. m 与 n 重合 与 n 是否相交 4.一束光线从 A ?1, 0 ? 点处射到 y 轴上一点 B ? 0, 2 ? 后被 y 轴反射,则反射光线所在直线的 方程是( ) B. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 B. m 与 n 平行 C. m 与 n 交于点 x, y ) D.无法判定 m

B.

?

C.

2? 3

5? 6

? ?

A. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0

5.要完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是( ①从 30 件产品中抽取 3 件进行检查;



②某校高中三个年共有 2460 人,其中高一 860 人,高二 820 人,高三 810 人,为了了解学 生对教学的建议,拟抽取一个容量为 300 的样本; ③某剧场有 28 排,每排有 32 个座位,在一次报告中恰好坐满了听众,报告结束后,为了了 解听众的意见,需要请 28 名听众进行座谈. A.简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 随机抽样 B.分层抽样,②系统抽样,③简单 D.简单随机抽

C.系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样

1

样,②分层抽样,③系统抽样 6.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可 中奖,则中奖机会大的游戏盘是( )

A.

B.

C.

D. 7.以点 ? 5, 4 ? 为圆心且与 x 轴相切的圆的方程是( A. ? x ? 5 ? ? ? y ? 4 ? ? 16
2 2 2


2

B. ? x ? 5 ? ? ? y ? 4 ? ? 16 D. ? x ? 5 ? ? ? y ? 4 ? ? 25
2 2

C. ? x ? 5 ? ? ? y ? 4 ? ? 25
2 2

8.直线 l1 : ? a ? 3? x ? y ? 4 ? 0 与直线 l2 : x ? ? a ? 1? y ? 4 ? 0 垂直,则直线 l1 在 x 轴上的 截距是( A.1 ) B.2 C.3 D.4

9.公元 263 年, 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时, 多边形面积可无 限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后 两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个 程序框图,则输出的值为(精确到小数点后两位)为( )

A.3.10

B.3.11

C. 3.12
2

D.3.13

(参考数据: sin15? ? 0.2588 , sin 7.5? ? 0.1305 ) 10.某商场在元旦促销活动中, 对 1 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计, 其频率分布直方 图如下图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( )

A.8 万元

B.10 万元

C.12 万元

D.15 万元

11.从 0,1,2,3,4,5 这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是 ( ) B.216
2 2

A.300

C.180

D.162
2

12.圆 C1 : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 和 C2 : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1 , M 、N 分别是圆 C1、C2 上的 点, P 是直线 y ? ?1 上一点,则 PM ? PN 的最小值是( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 ) D. 17

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.在 x ? 3

?

?

10

的展开式中, x 6 的系数是



14.一批 10 件产品,其中有 3 件次品,7 件正品,不放回抽取 2 次,若第一次抽到的是正品, 则第二次抽到次品的概率是 .

15.已知点 A ? ?2,3? ,B ? 3, 2 ? , 若直线 l : y ? kx ? 2 与线段 AB 没有交点, 则 l 的斜率 k 的 取值范围是 .

16.在无重复数字的五位数 a1a2 a3 a4 a5 中,若 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 ,则称为 波形数, 如 89674 就是一个波形数, 由 1,2,3,4,5 组成一个没有重复数字的五位数是波形数 的概率是 .

3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 设 ? x ? 2 ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? … ? an x
n 2 n

?n ? N

?

, n ? 2 ? ,且 a0 , a1 , a2 成等差数列.

(Ⅰ)求 ? x ? 2 ? 展开式的中间项;
n

(Ⅱ)求 ? x ? 2 ? 展开式所有含 x 奇次幂的系数和.
n

18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A ? 5,1? , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , AC 边 上的高 BH 所在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求顶点 C 的坐标; (Ⅱ)直线 BC 的方程. 19. (本小题满分 12 分) 为了考查培育的某种植物的生长情况, 从试验田中随机抽取 100 株该植物进行检测, 得到该 植物高度的频数分布表如下: 组序 1 2 3 4 5 合计 (Ⅰ)写出表中①②③④处的数据; (Ⅱ)用分层抽样法从第 3、4、5 组中抽取一个容量为 4 的样本,则各组应分别抽取多少个 个体? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,从抽出的容量为 6 的样本中随机选取两个个体进行进一步分析, 求这两个个体中至少有一个来自第 3 组的概率. 高度区间 频数 14 ① ② 30 10 100 概率 0.14 0.26 0.20 ③ ④ 1.00

? 230, 235?
? 235, 240 ? ? 240, 245?

? 245, 250 ? ? 250, 255?

4

20. (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两校高二年级学生某次期末联考物理成绩情况,从这两学校中分别随机抽取 30 名高二年级的物理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:

(Ⅰ)若甲校高二年级每位学生的物理成绩被抽取的概率为 0.15,求甲校高二年级学生总 人数; (Ⅱ) 根据茎叶图, 对甲、 乙两校高二年级学生的物理成绩进行比较, 写出两个统计结论 (不 要求计算) ; (Ⅲ)从样本中甲、乙两校高二年级学生物理成绩不及格(低于 60 分为不及格)的学生物 理成绩中随机抽取 2 个,求至少抽到一名乙校学生物理成绩的概率. 21. (本小题满分 12 分) 已知圆 O 的方程为 x ? y ? 5 .
2 2

(Ⅰ) P 是直线 y ?

1 x ? 5 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD ,切点为 C、D , 2

求证:直线 CD 过定点; (Ⅱ)若 EF、GH 为圆 O 的两条互相垂直的弦,垂足为 M ?1,1? ,求四边形 EGFH 面积 的最大值. 22. (本小题满分 10 分) 已知方程 m 2 ? 2m ? 3 x ? 2m 2 ? m ? 1 y ? 5 ? 2m ? 0 ? m ? R ? . (Ⅰ)求方程表示一条直线的条件; (Ⅱ)当 m 为何值时,方程表示的直线与 x 轴垂直? (Ⅲ)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等,求实数 m 的值.

?

? ?

?

5

试卷答案 一、选择题
1-5: DCCBD 6-10: DABBC 11、12: CA

二、填空题
4 13. 9C10 或 1890

14.

1 3

5 4 15. (? , ) 2 3 n(n ? 1) ? 2n?2 2

16.

2 15

三、解答题
r n?r r 2 x ,∴ a0 ? 2n , 17.(Ⅰ)解: Tr ?1 ? Cn a1 ? n ? 2n?1 , a2 ?

∵a0,a1,a2 成等差数列,∴ 2n ? 2n?1 ? 2n ? 解得:n = 8 或 n = 1(舍去)

n(n ? 1) ? 2 n?2 ? n 2 ? 9n ? 8 ? 0 2

∴ ( x ? 2) n 展开式的中间项是 T5 ? C84 28?4 x 4 =1120x 4 . (Ⅱ)解:在 ( x ? 2)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a8 x8 中, 令 x = 1,则 38 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? a8 令 x =-1,则 1 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? a8 两式相减得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 38 ? 1

38 ? 1 ? 3280 . 2 18.(Ⅰ) 解:设 C(x0,y0),则点 C 在直线 2x ? y ? 5 ? 0 上,∴ 2x0 ? y0 ? 5 ? 0
∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 又 AC⊥BH,∴
y0 ? 1 1 ? ( ) ? ?1 ,即 2 x0 ? y0 ? 11 ? 0 x0 ? 5 2





① + ②得: x0 ? 4 ,代入得: y0 ? 3 故 C(4,3). (Ⅱ)解:设 B(x1,y1),则点 B 在直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上,∴ x1 ? 2 y1 ? 5 ? 0 ③

6

又 AB 的中点在直线 2x ? y ? 5 ? 0 上,∴ 2 ?

x1 ? 5 y1 ? 1 ? ? 5 ? 0 ,即 2 x1 ? y1 ? 1 ? 0 ④ 2 2

2×③-④得: y1 ? ?3 ,代入③得: x1 ? ?1 ,∴ B(?1, ? 3)
k BC ? 3 ? (?3) 6 6 ? ,∴直线 BC 的方程为 y ? 3 ? ( x ? 1) ,即 6 x ? 5 y ? 9 ? 0 . 4 ? (?1) 5 5

19.(Ⅰ)解:①26 ②20 ③0.30 ④0.10 (Ⅱ)解:抽样比为
6 ? 0.1 , 60

∴第 3、4、5 组中抽取的个体数分别是 0.1×20=2,0.1×30=3,0.1×10=1. (Ⅲ)解:设从第 3 组抽取的 2 个个体是甲、乙,第 4 组抽取的 3 个个体是 a、b、c,第 5 组 抽取的 1 个个体是 d,记事件 A 为“两个个体都不来自第 3 组” ,则从中任取两个的基本事 件为: 甲乙、甲 a、甲 b、甲 c、甲 d、乙 a、乙 b、乙 c、乙 d、ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 15 个,且各基本事件等可能 其中事件“两个个体中至少有一个来自第 3 组”包含的基本事件为: 甲乙、甲 a、甲 b、甲 c、甲 d、乙 a、乙 b、乙 c、乙 d,共有 9 个
9 3 ? . 15 5 74 ? 86 ? 87 ? 91 ? 92 77 ? 86 ? 83 ? 87 ? 97 20.(Ⅰ)解: x甲 ? ? 86,x乙 ? ? 86 5 5

故两个个体中至少有一个来自第 3 组的概率 P ?

2 s甲 ?

1 [(74 ? 86) 2 ? (86 ? 86) 2 ? (87 ? 86) 2 ? (91 ? 86) 2 ? (92 ? 86) 2 ] ? 41.2 5 1 [(77 ? 86) 2 ? (86 ? 86) 2 ? (83 ? 86) 2 ? (87 ? 86) 2 ? (97 ? 86) 2 ] ? 42.5 5

2 s乙 ?

2 2 ∵ x甲 ? x乙 ,s甲 ,∴派甲去更合适. ? s乙

(Ⅱ)解:甲高于 85 分的频率为

4 4 ,因此每次成绩高于 85 分的概率 p ? 5 5

? ? 0,1,2,3
4 4 1 4 12 1 4 1 , P(? ? 1) ? C3 , P(? ? 0) ? C30 ( )0 (1 ? )3 ? ( ) (1 ? ) 2 ? 5 5 125 5 5 125

4 4 48 4 64 3 4 3 , P(? ? 3) ? C3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? ( ) (1 ? )0 ? 5 5 125 5 5 125

分布列为

7

E? ? 0 ?

1 12 48 64 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

21.(Ⅰ)解:设 P( x0 ,y0 ) ,则 y0 ?

1 x0 ? 5 2

由题意,OCPD 四点共圆,且直径是 OP,其方程为
(x ? x0 2 y x y ) ? ( y ? 0 ) 2 ? ( 0 ) 2 ? ( 0 ) 2 ,即 x 2 ? y 2 ? x0 x ? y0 y ? 0 2 2 2 2

? x 2 ? y 2 ? x0 x ? y0 y ? 0 由? 2 得: x0 x ? y0 y ? 5 2 ?x ? y ? 5

∴直线 CD 的方程为: x0 x ? y0 y ? 5 又 y0 ?
1 1 x0 ? 5 ,∴ x0 x ? ( x0 ? 5) y ? 5 ,即 (2 x ? y ) x0 ? 10( y ? 1) ? 0 2 2

1 ? ?x ? ?2 x ? y ? 0 由? 得: ? 2 ?y ?1 ? 0 ? y ? ? 1 ?
1 ∴直线 CD 过定点 ( , ? 1) . 2

(Ⅱ)解:设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1、d2,则
2 d12 ? d 2 ? OM 2 ? 2

2 | GH |? 2 5 ? d 2 ∴ | EF |? 2 5 ? d12 ,

故 S EGFH ?

1 2 | EF || GH |? 2 (5 ? d12 )(5 ? d 2 ) 2

≤ (5 ? d12 ) ? (5 ? d 22 ) ? 10 ? (d12 ? d 22 ) ? 8
2 当且仅当 5 ? d12 ? 5 ? d 2 ,即 d1 = d2 = 1 时等号成立

∴四边形 EGFH 面积的最大值为 8.
? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 22.(Ⅰ) 解:由 ? 2 得: m ? ?1 ? 2m ? m ? 1 ? 0

方程 (m 2 ? 2m ? 3) x ? (2m 2 ? m ? 1) y ? 5 ? 2m ? 0 表示直线 ∴ m 2 ? 2m ? 3、2m 2 ? m ? 1 不同时为 0,∴ m ? ?1 .
? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 1 (Ⅱ)解:方程表示的直线与 x 轴垂直,∴ ? 2 ,∴ m ? . 2 2 m ? m ? 1 ? 0 ?

(Ⅲ)解:当 5 ? 2m ? 0 ,即 m ? 当m ?

5 时,直线过原点,在两坐标轴上的截距均为 0 2

5 2m ? 5 2m ? 5 时,由 2 得: m ? ?2 . ? 2 m ? 2m ? 3 2m 2 ? m ? 1
8



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