一道国际赛题的另解
中 等 数 学
一
道 国 际 赛 题 的 另 解
查 晓 东 张 玲
（ 江苏省天一 中学 。 ２ １ ４ １ ０ １ ） （ 江苏省无锡市天一实验学校 ， ２ １ ４ １ ０ １ ） 中圈分类号 ： ０ １ ５ ６ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章缩号 ： １ ０ ０ ５
－ ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ２ ） ０ ５ — ０ ０ １ ６ 一 Ｏ ｌ
题 目 求所有的有序三元数组（ ， Ｙ ， ） ，
满 足 ｘ ， ｙ 、 ∈ Ｑ ＋ ， 且 ＋ 专 、 ， ， ＋ ÷ 、 ｚ ＋ 都
是 整数．
所 以 ， （ ， ， ， ， ） ＝ （ １ ， １ ， ２ ） 及 其 轮 换 ．
（ ３ ） 若ａ ， ｂ 、 ｃ 两两不等， 不妨设 ａ ＞ ６ ＞ ｃ ．
则 ＋ 一 １：ｃ ＋ ｂ Ｅ Ｎ
＋
（ ２ ０ １ ０ ， 青少年数学国际城市邀请赛 ）
＝ ａ≤ ｃ＋ｂ＜２ａ
解设 ＝ 詈 ， ， ， ＝ ÷ ， ＝ 詈 （ ａ ． ｂ ． ｃ ∈ Ｎ ＋ ） ．
（ １ ） 若 ａ＝ｂ ＝ Ｃ ， 则
（ ， ｙ ， ）＝（ １ ， １ ， １ ） ．
ａ ＝ｂ＋ｃ ．
又
１
’ ， 字 Ｄ ： Ｄ ： ＋ 警 Ｄ ∈ Ｎ ＋
＝
ｊ ｂ ≤２ ｃ＜２ ｂ ｂ＝２ ｃ ． ａ ＝３ ｃ ．
（ ２ ） 若 口 、 ｂ 、 Ｃ中恰 有 两 个 相 等 ， 不 妨 设
ａ＝ｂ ． 则
＋ ＝，＋旦 ａ
， ＋
所以 ， （ ｎ ， ｂ ， Ｃ ）＝（ ３ ｋ ， ２ ｋ ， ｋ ） 及 其 置换．
÷ ＝ Ｃ ，
故（ ， ｙ ， Ｚ ）
＝
ｚ＋
上： 一 ｃ＋ １
．
（ 丢 ， ２ ， 了 １ ） ， （ ３ ， １ ， ２ ） 及 其 轮 换 ．
（ ， ｔ ， ? ） ，１ ， １
综上，
故 ａＩ ｃ ， ｃ １ ２ ａ ｃ ＝ ２ ａ ．
设 ａ＝ ｋ ．则
（ ， Ｙ ， ）
＝
（ 口 ， ｂ ， ｃ ） ：（ ｋ ， ｜ ｊ ｝ ， ２ ｋ ） 及 其轮换．
收稿 日 期： ２ ０ １ １ — １ ２ — １ ６
２ ） ， （ ， ２ ， ） ， （ ３ ， １ ， ） 及 其 轮 换 ．
，
整理得 √ （ ｑ ｓ ＋ ） ＝ ２ ｑ ｔ ＋ ． 由于上式右边 为整数 ， 故 ＋ ｐ ｔ ＝ ０ （ 否
则， 上式 左边 为无理数 ， 矛盾 ） ．
于是 ， ｐ ｓ ＋ ２ ｑ ｔ ＝ ０ ． 从而 ， ｐ ｑ ｓ ＝一 ２ ｑ ｔ ＝一 ｐ ２ ｔ ．
由ｔ ＃Ｏ ， 得
ｐ ＝ ２ ｑ 号 ± ，
矛盾．
故不存在符合条件 的 ， 使ｔ ａ ｎ ＋ √ 与
ｃ ｏ ｔ ＋ 均 为有理数 ．
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