一道国际赛题的另解

中 等 数 学　

一

道 国 际 赛 题 的 另 解 　
查 晓 东 　 张 玲　

（ 江苏省天一 中学 。 ２ １ ４ １ ０ １ ） 　 （ 江苏省无锡市天一实验学校 ， ２ １ ４ １ ０ １ ） 　 中圈分类号 ： ０ １ ５ ６ ． １ 　 文献标识码 ： Ａ 　 文章缩号 ： １ ０ ０ ５ － ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ２ ） ０ ５ — ０ ０ １ ６ 一 Ｏ ｌ 　

题 目 求所有的有序三元数组（ 　 ， Ｙ ， 　 ） ， 　

满 足 ｘ ， ｙ 、 　 ∈ Ｑ ＋ ， 且 　 ＋ 专 、 ， ， ＋ ÷ 、 ｚ ＋ 　 都 　
是 整数． 　

所 以 ， （ 　 ， ， ， ， 　 ） ＝ （ １ ， 　 １ ， ２ ） 及 其 轮 换 ． 　
（ ３ ） 若ａ ， ｂ 、 ｃ 两两不等， 不妨设 ａ ＞ ６ ＞ ｃ ． 　
则　＋ 一 １：ｃ ＋ ｂ Ｅ　 Ｎ
＋　

（ ２ ０ １ ０ ， 青少年数学国际城市邀请赛 ） 　

＝ 　ａ≤ ｃ＋ｂ＜２ａ 　

解设 　 ＝ 詈 ， ， ， ＝ ÷ ， 　 ＝ 詈 （ ａ ． ｂ ． ｃ ∈ Ｎ ＋ ） ． 　
（ １ ） 若 ａ＝ｂ ＝ Ｃ ， 则　
（ 　， ｙ ， 　 ）＝（ １ ， １ ， １ ） ． 　

ａ ＝ｂ＋ｃ ． 　

又　

１

’ ， 　 字 Ｄ 　 ： 　 Ｄ 　 ： 　 ＋ 警 Ｄ 　 ∈ Ｎ ＋ 　
＝

ｊ　 ｂ ≤２ ｃ＜２ ｂ 　 ｂ＝２ ｃ ． ａ ＝３ ｃ ． 　

（ ２ ） 若 口 、 ｂ 、 Ｃ中恰 有 两 个 相 等 ， 不 妨 设　
ａ＝ｂ ． 则　
＋ 　 ＝，＋旦 ａ
， 　 ＋

所以 ， （ ｎ ， ｂ ， Ｃ ）＝（ ３ ｋ ， ２ ｋ ， ｋ ） 及 其 置换． 　

÷ ＝ 　 Ｃ 　 ， 　

故（ 　， ｙ ， Ｚ ） 　
＝

ｚ＋

上： 一 ｃ＋ １
． 　

（ 丢 ， ２ ， 了 １ ） ， （ ３ ， 　 １ ， 　 ２ ） 及 其 轮 换 ． 　
（ 　， ｔ ， ? ） ，１ ， 　 １

综上， 　

故 ａＩ ｃ ， ｃ １ ２ ａ 　 ｃ ＝ ２ ａ ． 　
设 ａ＝ ｋ ．则　

（ 　， Ｙ ， 　 ） 　
＝

（ 口 ， ｂ ， ｃ ） ：（ ｋ ， ｜ ｊ ｝ ， ２ ｋ ） 及 其轮换． 　
收稿 日 期： ２ ０ １ １ — １ ２ — １ ６ 　

２ ） ， （ 　 ， ２ ， 　 ） ， 　 （ ３ ， 　 １ ， 　 ） 及 其 轮 换 ． 　
，

整理得 √ 　 （ ｑ ｓ ＋ 　） ＝ ２ ｑ ｔ ＋ 　． 　 由于上式右边 为整数 ， 故　 ＋ ｐ ｔ ＝ ０ （ 否　
则， 上式 左边 为无理数 ， 矛盾 ） ． 　
于是 ， ｐ ｓ ＋ ２ ｑ ｔ ＝ ０ ． 　 从而 ， ｐ ｑ ｓ ＝一 ２ ｑ 　 ｔ ＝一 ｐ ２ ｔ ． 　

由ｔ ＃Ｏ ， 得　

ｐ 　 ＝ ２ ｑ 　号 　 ± 　 ， 　
矛盾． 　

故不存在符合条件 的 　， 使ｔ ａ ｎ 　＋ √ 　 与　
ｃ ｏ ｔ 　＋ 　 均 为有理数 ．