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一道国际赛题的另解



中 等 数 学 



道 国 际 赛 题 的 另 解  
查 晓 东   张 玲 

( 江苏省天一 中学 。 2 1 4 1 0 1 )   ( 江苏省无锡市天一实验学校 , 2 1 4 1 0 1 )   中圈分类号 : 0 1 5 6 . 1   文献标识码 : A   文章缩号 : 1 0 0 5

- 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 0 5 — 0 0 1 6 一 O l  

题 目 求所有的有序三元数组(   , Y ,   ) ,  

满 足 x , y 、   ∈ Q + , 且   + 专 、 , , + ÷ 、 z +   都  
是 整数.  

所 以 , (   , , , ,   ) = ( 1 ,   1 , 2 ) 及 其 轮 换 .  
( 3 ) 若a , b 、 c 两两不等, 不妨设 a > 6 > c .  
则 + 一 1:c + b E  N
+ 

( 2 0 1 0 , 青少年数学国际城市邀请赛 )  

=  a≤ c+b<2a  

解设   = 詈 , , , = ÷ ,   = 詈 ( a . b . c ∈ N + ) .  
( 1 ) 若 a=b = C , 则 
(  , y ,   )=( 1 , 1 , 1 ) .  

a =b+c .  

又 



’ ,   字 D   :   D   :   + 警 D   ∈ N +  


j  b ≤2 c<2 b   b=2 c . a =3 c .  

( 2 ) 若 口 、 b 、 C中恰 有 两 个 相 等 , 不 妨 设 
a=b . 则 
+   =,+旦 a
,   +

所以 , ( n , b , C )=( 3 k , 2 k , k ) 及 其 置换.  

÷ =   C   ,  

故(  , y , Z )  


z+

上: 一 c+ 1
.  

( 丢 , 2 , 了 1 ) , ( 3 ,   1 ,   2 ) 及 其 轮 换 .  
(  , t , ? ) ,1 ,   1

综上,  

故 aI c , c 1 2 a   c = 2 a .  
设 a= k .则 

(  , Y ,   )  


( 口 , b , c ) :( k , | j } , 2 k ) 及 其轮换.  
收稿 日 期: 2 0 1 1 — 1 2 — 1 6  

2 ) , (   , 2 ,   ) ,   ( 3 ,   1 ,   ) 及 其 轮 换 .  


整理得 √   ( q s +  ) = 2 q t +  .   由于上式右边 为整数 , 故  + p t = 0 ( 否 
则, 上式 左边 为无理数 , 矛盾 ) .  
于是 , p s + 2 q t = 0 .   从而 , p q s =一 2 q   t =一 p 2 t .  

由t #O , 得 

p   = 2 q  号   ±   ,  
矛盾.  

故不存在符合条件 的  , 使t a n  + √   与 
c o t  +   均 为有理数 .