中 等 数 学
一
道 国 际 赛 题 的 另 解
查 晓 东 张 玲
( 江苏省天一 中学 。 2 1 4 1 0 1 ) ( 江苏省无锡市天一实验学校 , 2 1 4 1 0 1 ) 中圈分类号 : 0 1 5 6 . 1 文献标识码 : A 文章缩号 : 1 0 0 5 - 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 0 5 — 0 0 1 6 一 O l
题 目 求所有的有序三元数组( , Y , ) ,
满 足 x , y 、 ∈ Q + , 且 + 专 、 , , + ÷ 、 z + 都
是 整数.
所 以 , ( , , , , ) = ( 1 , 1 , 2 ) 及 其 轮 换 .
( 3 ) 若a , b 、 c 两两不等, 不妨设 a > 6 > c .
则 + 一 1:c + b E N
+
( 2 0 1 0 , 青少年数学国际城市邀请赛 )
= a≤ c+b<2a
解设 = 詈 , , , = ÷ , = 詈 ( a . b . c ∈ N + ) .
( 1 ) 若 a=b = C , 则
( , y , )=( 1 , 1 , 1 ) .
a =b+c .
又
1
’ , 字 D : D : + 警 D ∈ N +
=
j b ≤2 c<2 b b=2 c . a =3 c .
( 2 ) 若 口 、 b 、 C中恰 有 两 个 相 等 , 不 妨 设
a=b . 则
+ =,+旦 a
, +
所以 , ( n , b , C )=( 3 k , 2 k , k ) 及 其 置换.
÷ = C ,
故( , y , Z )
=
z+
上: 一 c+ 1
.
( 丢 , 2 , 了 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) 及 其 轮 换 .
( , t , ? ) ,1 , 1
综上,
故 aI c , c 1 2 a c = 2 a .
设 a= k .则
( , Y , )
=
( 口 , b , c ) :( k , | j } , 2 k ) 及 其轮换.
收稿 日 期: 2 0 1 1 — 1 2 — 1 6
2 ) , ( , 2 , ) , ( 3 , 1 , ) 及 其 轮 换 .
,
整理得 √ ( q s + ) = 2 q t + . 由于上式右边 为整数 , 故 + p t = 0 ( 否
则, 上式 左边 为无理数 , 矛盾 ) .
于是 , p s + 2 q t = 0 . 从而 , p q s =一 2 q t =一 p 2 t .
由t #O , 得
p = 2 q 号 ± ,
矛盾.
故不存在符合条件 的 , 使t a n + √ 与
c o t + 均 为有理数 .