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排列组合之分堆问题



关于分组(堆)问题的六个模型及求法
(833200)新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 引例 将6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本; ⑵分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本; ⑶分给甲、乙、丙3人,每人2本; ⑷分成3堆,一堆3 本,一堆2 本,一堆1 本; ⑸分成3堆,每堆2 本; ⑹分给

分给甲、乙、丙3人,其中一人4本,另两人每人1本; ⑺分成3堆,其中一堆4本,另两堆每堆1本. 分析:①分书过程中要分清:是均匀的还是非均匀的;是有序的还是无序的. ②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.
3 解:⑴是指定人应得数量的非均匀问题:①学生甲从6本中取3 本有 C6 种取法,②学生 2 1 乙从余下的3本中取2本有 C3 种取法, ③学生丙从余下的1本中取1本有 C1 种取法. 所以方法 3 2 1 数为 C6 C3 C1 =60; 3 ⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题: ①从6本中取3 本作为一堆有 C6 种取法, ②从 2 1 余下的3本中取2本作为一堆有 C3 种取法, ③从余下的1本中取1本作为一堆有 C1 种取法, ④ 3 3 2 1 3 将三堆依次分给甲乙丙三人有 P 3 种分法. 所以方法数为 C 6 C3 C1 ? P3 =360; 2 ⑶是指定人应得数量的均匀问题:①学生甲从6本中取2本有 C6 种取法,②学生乙从余 2 2 下的4本中取2本有 C4 种取法,③学生丙从余下的2本中取2本有 C2 种取法. 所以方法数为 2 2 2 C6 C4 C2 =90;

⑷是分堆的非均匀问题: ①从6本中取3 本作为一堆有 C6 种取法, ②从余下的3本中取2 本作为一堆有 C3 种取法,③从余下的1本中取1本作为一堆有 C1 种取法. 所以方法数为
3 2 1 C6 C3 C1 =60; 2 1

3

⑸是分堆的均匀问题: 相当于①学生甲从6本中取2本有 C6 种取法, ②学生乙从余下的4

2

2 2 2 2 2 本中取2本有 C4 种取法, ③学生丙从余下的2本中取2本有 C2 种取法.方法数为 C6 C4 C2 =90. 2 2 2 3 然后再取消甲乙丙的分配顺序,故方法数为 C6 =15; C4 C2 ? A3
4 1 1 3 C6 C2C1 ? P 3 ⑹是部分均匀地分给人的问题:方法数为 =90; 2 A2 1 1 C64C2 C1 =15. 2 A2

⑺是部分均匀地分堆的问题:方法数为 以上问题归纳为: 分给人(有序) 非均匀 均匀
3 2 1 C6 C3 C1 ? P33 2 2 2 C6 C4 C2
4 1 1 C6 C 2 C1 ? P33

分成堆(无序)
3 2 1 C6 C3 C1 2 2 2 C6 C 4 C 2 ? P33
4 1 1 C6 C 2 C1

部分均匀

P22

P22

分组(堆)问题有六个模型:①有序不等分;②有序等分;③有序局部等分;④无序 不等分;⑤无序等分;⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考 试题中都有体现. 例 1 ( 2006 年重庆卷理(8)) 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班 至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有( ) (A)30 种 (B)90 种 (C)180 种 (D)270 种 分析:这是一个有序局部等分问题. 根据题意应先将5名实习教师按(2~2~1)分为三 组,然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习. 解:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有
1 2 2 C5 ? C4 ? C2 ? 15 种方法,再将 3 组依次 2 A2

3 分到 3 个班有 A3 ? 6 种分法. 根据分步计数原理,共有 15 ? 6 ? 90 种不同的分配方案,故

选 B. 点评:没有明确安排各学校的教师分配数量时,要先将教师分成堆(组)再将各堆依 次分配到学校,简称为“先分组,后到位” ;对于局部均匀的分堆(组) ,先依次选取出来再 去掉均匀堆(组)选出的顺序,即除以均匀堆(组)数的全排列. 例 2(2007 陕西理科第 16 题)安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则 210 不同的分配方案共有 种.(用数字作答) 分析:根据题意应先将3名支教老师按(1~1~1)分为三组或按(2~1)分为两组, 然后再将这组依次安排到学校.

解:①将3名支教老师按(1~1~1)分为三组有

1 1 1 C3 C2C1 ? 1 种分法,再将三组依次分 3 A3

3 到学校有 A6 ? 120 中分法,根据分步计数原理,共有1×120=120种不同的分配方案; 2 1 ②将3名支教老师按(2~1)分为两组有 C3 C1 ? 3 种分法,再将两组依次分到学校有 2 A6 ? 30 中分法,根据分步计数原理,共有3×30=90种不同的分配方案.

再由分步计数原理,共有120+90=210种不同的分配方案. 故填210. 点评:分类讨论问题是今年考试的热点. 本题是将分类与分组问题巧妙的融合在了一 起,同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的. 例 3 (2007 宁夏理科第 16 题)某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去 一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 分析:5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 班,说明必有某一个工厂安排了两个班,其余的 3 个工厂各有一个班,由于到一个工厂的两 个班的“地位”是等同的(无序) ,不能出现谁先进入谁后进入的局面,也就是说这两个班 要同时进入(无序)到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班. 解:由题意,先将 5 个班分为四组(2~1~1~1)有
1 1 1 C52C3 C2 C 1 ? 10 种分法;再将这 3 A3

4 四组依次分配到 4 个工厂有 A4 共有 10×24=240 种 ? 24 种分配方法. 根据分步计数原理,

不同的进行社会实践分配方案. 故填 240.
4 点评:本题极易出错的解法是:先给 4 个工厂各分 1 个班有 A5 ? 120 种分法,再将余 1 下的一个班分配到 4 个工厂之一有 A4 ? 4 种方法. 最后根据分步计数原理,共有 120×4=

480 种不同的进行社会实践分配方案. 恰是正确答案 240 的 2 倍. 请读者说明出现这种情况 的原因. 一般地,对于分组(堆)的问题模型,其解题思路及步骤为:①明确每个人的分配数 量时,依次选取即可;没有明确安排位置的分配数量时,要先分堆(组)再将各堆依次安排 到对应位置,简称为“先分组,后到位” ;②非均匀的分堆(组) ,依次选取出来即可;③均 匀的分堆(组) ,先依次选取出来再去掉选出的顺序,即除以堆(组)数的全排列;④局部 均匀的分堆(组) ,先依次选取出来再去掉均匀堆(组)选出的顺序,即除以均匀堆(组) 数的全排列.



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