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河南省南阳市方城县第一高级中学(五校)2015-2016学年高二12月联考数学(理)试题



2015 年秋期五校第二次联考 高二数学(理科)试题 一.选择题 1. 下列说法中,正确的是(
2 2



A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是:“任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ” C.命题“p 或 q”为真命题,则命题

“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 2. 已知 a,b 是实数,则“a=1 且 b=2”是“a +b ﹣2a﹣4b+5=0”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2



3. 已知条件 p : ?3 ? x ? 1 ,条件 q : x2 ? x ? a2 ? a ,且的必要不充分条件,则 a 的取值范围 是( A. )

? 1? ?1, ? ? 2? ? 1? ?

B. ? ?1, 2?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ? ?1, ? ? ? 2, ?? ? 2 4. 下列说法中错误的个数为 ( )

? ?

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本身 一定为真;③ ?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件;④ a ? b 与 a ? b 是等价的;⑤“ x ? 3 ” ? y ? 2 ? xy ? 2

是“ x ? 3 ”成立的充分条件。 A.2 B.3 C.4 ) D.5

5. 点 A(1, 2,3) 关于 x 轴的对称点的坐标为(

(?1, 2,3) A.

(1, ?2,3) B.

(1, ?2, ?3) C.

(1, 2, ?3) D.

6. 已知空间四边形 OABC 中,点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,点 N 为 BC 的中点,设

??? ? ??? ? ??? ? OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则

等于(

)

1 1 2 a? b? c 2 2 3 1 2 1 a? b? c C 2 3 2
A

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 a? b? c D 3 3 2
B ? )

7. 已知向量 a =(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( A.(-1,1,0) C . (0,-1,1) B.(1,-1,0) D.(-1,0,1)

8. 已知向量 a =(1,1,0), b =(-1,0,2),且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 值是( A.1 B.

)

1 5

C.

3 5

D.

7 5 1 ,那么点 M 到 2

9. 正方形 ABCD 边长为 2,E、F 分别是 AB 和 CD 的中点,将正方形沿 EF 折成直二面角(如图)

M 为矩形 AEFD 内一点,如果∠MBE=∠MBC,MB 和平面 BCF 所成角的正切值为
直线 EF 的距离为( )

A.

2 2

B.

1

C.

3 2

D.

1 2

10. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的 余弦值为( A. ) B.

10 10

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

11. 在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥平面 ABCD,AB=PD=a.点 E 为侧棱 PC 的 中点,又作 DF⊥PB 交 PB 于点 F.则 PB 与平面 EFD 所成角为( A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° )

12. 如下图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 将△ABD 折起,使 A 点在平面 BCD 内的射影 O 落在 BC 边上,若二面角 C-AB-D 的大小为θ ,则 sin θ 的值等于( )

A.

3 4

B.

7 4

C.

3 7 7

D.

4 5

二.填空题 13. 设命题 p :

2x ?1 ? 0 ,命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 x ?1
.

a 的取值范围是 14.

如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体

ABCO—A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为________.

15.

三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的

体积为 V2,则

V1 =________. V2

16. 如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2, ∠B1A1C1=90°,D 为 BB1 的中点,则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为________.

三:解答题: 17.已知命题 p:方程
2

x2 y2 ? ? 1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方程 2 ? ? m ?1

4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,又 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. (10 分)

18.设命题 p:实数 x 满足 x ? 1 ? a ,其中 a ? 0 ;命题 q:实数 x 满足 3

x 2 ? x ?6

?1

(1)若 p 命题中 a=1,且 p 且 q 为真,求实数 的取值范围; (2)若 ? p 是 q 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.(12 分)

19.已知 a ? R ,命题 p: “任意 x ??1,2? , x ? a ? 0 ”,
2

命题 q: 存在 x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 .
2

⑴若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; ⑵若命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.(12 分)

20.(12 分)四棱锥 P-ABCD 中,AB、AD、AP 两两垂直,AB=1,AD=2,AP=3,F 为 PC 的中 点,E 为 PD 上,且 PD=3PE, (1)用 AB, AD, AP 表示 EF (2)求 EF 的模.

??? ? ???? ??? ?

??? ?

??? ?

21.(12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=4,AB=2, 以 AC 的中点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M. (1)求证:平面 ABM⊥平面 PCD;

(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值

22.(12 分)如图所示,PA⊥平面 ABCD,△CAB 为等边三角形,PA=AB,AC⊥CD,M 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PCD; (Ⅱ)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为

6 ,求二面角 C﹣PD﹣M 的正切值. 2

2015 年秋期第二次月考高二数学(理科)试题答案 选择题:BCBCC,BBDAC,DA

1 [ 0, ] 2 填空题:13.
简答题

2 a 14. 2

1 15. 4

15 16. 15

17. 答: 解:若 p 为真,则:

;∴m>2;

若命题 q 为真,则:△=16(m﹣2)2﹣16<0; ∴1<m<3; 由 p∨q 为真,p∧q 为假知 p,q 一真一假;



,或



∴解得 m≥3,或 1<m≤2; ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞). 18.解(1)当 : 又 真,所以 时, : ???? 2 分 都为真 ???? 3 分 ???? 1 分

由 (2) :



???6 分 ???? 7 分 ???? 8 分

∴满足条件

的解集 A=

: B ? {x | ?2 ? x ? 3} 是 的必要不充分条件

???? 12 分 19.解⑴因为命题 令 也就是 ,根据题意,只要 ??7 分 , , 时, 即可 ??4 分

⑵由⑴可知,当命题 p 为真命题时,

命题 q 为真命题时, 因为命题 为真命题,命题

,解得

??10分

为假命题,所以命题 p 与命题 q 一真一假,

当命题 p 为真,命题 q 为假时,



当命题 p 为假,命题 q 为真时, 分

,综 a ? 1或 - 2 ? a ? 1 ......12

20 。

21.(1)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD,则 CD⊥AM,所以 AM⊥平面 PCD,

所以平面 ABM⊥平面 PCD. (2)如图所示, 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), P(0,0,4), B(2,0,0), C(2,4,0), D(0,4,0), M(0,2,2); =(2,4,0), =(0,2,2), =(-2,0,0)

设平面 ACM 的一个法向量 n=(x,y,z),由 n⊥

,n⊥

,可得:

,令 z=1,

n=(2,-1,1).设所求角为 α ,则 sinα =| 22.解答:

|=

.

(Ⅰ)证明:因为 M 为等边△ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥AC. 依题意 CD⊥AC,且 A、B、C、D 四点共面,所以 BM∥CD. 又因为 BM?平面 PCD,CD? 平面 PCD,所以 BM∥平面 PCD. (Ⅱ)解:因为 CD⊥AC,CD⊥PA, 所以 CD⊥平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD.?7 分 不妨设 PA=AB=1,则 PC= . ?3 分 ?5 分

由于 tan (方法一)

,所以 CD=

.?9 分

在等腰 Rt△PAC 中,过点 M 作 ME⊥PC 于点 E, 再在 Rt△PCD 中作 EF⊥PD 于点 F(图 1 所示).

因为 ME⊥PC,ME⊥CD,所以 ME⊥平面 PCD,可得 ME⊥PD. 又 EF⊥PD, 所以∠EFM 即为二面角 C﹣PD﹣M 的平面角. ?10分

由题意知 PE=3EC,ME=

,EF=

=



所以 tan∠EFM=

=

, .?12分

即二面角 C﹣PD﹣M 的正切值是 (方法二) 以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,

建立如图 2 所示的空间直角坐标系 A﹣xyz.

则 P(0,0, 1),M( ,0,0),C(1,0,0),D(1, 则 若设 , =(x1,y1,z1)和 ,

,0). .

=(x2,y2,z2)分别是平面 PCD 和平面 PMD 的法向量,

则 同理,得 =(2,﹣

,可取 ,1).?10分



所以 cos<

>=

=

, ,其正切值是 .?12分

故二面角 C﹣PD﹣M 的余弦值是



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