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重庆市第四十二中学学高二数学下学期期中试题理-精



重庆市第四十二中学校 2015—2016 学年度下期半期考试 高 二 理 科 数 学试 题 卷
(满分:150 分;考试时间:120 分钟) 一、选择题 1.下列求导运算正确的是( A. ( x ? )

3 ' 3 ) ? 1? 2 x x

' B. (log 2 x) ?

1 x ln

2

C. (3x )' ? 3x log3 e

D. ( x cos x) ? ?2 x sin x
2 '

2.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1



D. a ? ?1, b ? ?1

3.重庆 42 中艺术节招募了 30 名志愿者(编号分别是 1, 2 ,??? ,30 号) ,现从中任意选取 6 人按编号大小分成两组分配到十佳歌手组、小品组,其中三个编号较小的人在一组,三个编 号较大的在另一组,那么确保 6 号、 15 号与 24 号同时入选并被分配到同一组的选取种数是 ( ) B. 32 C. 60 ) D. D. 100

A. 25

4.设复数 z 满足 z ? | z |? 2 ? i ,那么 z 等于( A. ?

3 ?i 4

B.

3 ?i 4

C. ?

3 ?i 4

3 ?i 4

5.在二项式 ( x ( ).

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数是 x
B.-35
3 2

A.-56

C.35

D.56 )

6.已知 f ( x) ? x ? 3x ? mx ? 1 在 [?2,2] 为单调增函数,则实数 m 的取值范围为( A. m ? ?3 B. m ? 0 C. m ? ?24 D. m ? ?1

7.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接等工作,每个场馆至少分配一名志愿者的 方案种数为( ) A.240 8. B.300 C.150 ) D.180

?

1 0

( 1 ? x2 ? x)dx 等于(

-1-

A.

1 4

B.

1 2

C.

? ?1 4

D.

? ?2
4

9.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A. ?x ? R , f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 f (? x) 的极小值点

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ? 4?= 1 , f ? ? x ? 为 f ( x) 的导函数,已知函数 y=f ? ? x ? 的 图象如图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a+b) ? 1 ,则

b?2 的取值范围是( ) a?2

A. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

B. ? ??, ? ? (3,+?)

? ?

1? 2?

C. (??, ?3)

D. ?

?1 ? ,3 ? ?2 ?

11.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b ,设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共 2


点,且在该点处的切线相同,则 a ? ? 0, ??? 时,实数 b 的最大值是(

A.

13 6 e 6

6 B. e

1 6

C.

7 2 e3 2

D.

3 2 e3 2
0,则

12.设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 )
x

a 的取值范围是( )
(A)[-

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4

(C)[

3 ,1) 2e

(D)[

3 3 , ) 2e 4

二、填空题 13.由直线 y=2x 及曲线 y=4﹣2x 围成的封闭图形的面积为 14 . 设 a ? 是
2

?

?

0

x? ? ,则 1 2 c2o s? d x ? s i nx? ? 2? ?


1 ? ? 2 ? a x? ? ? ? x ? 2? 的 展 开 式 中 常 数 项 x? ?

6

15 . 已 知 f ( x) 为 定 义 在 (0,+ ∞ ) 上 的 可 导 函 数 , 且 f ( x) ? xf '( x) 恒 成 立 , 则 不 等 式

1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为 x



-2-

16. 函数 f ( x) ? a ln x ? x , 对任意的 x ? [ ,e] 时,f ( x) ? 0 恒成立, 则 a 的范围为

1 e

.

三、解答题 17(本题满分 10 分)已知 z 为复数, z ? 2i 为实数,且 (1 ? 2i) z 为纯虚数,其中 i 是虚数单 位. (1)求复数 z ; (2)若复数 z 满足 ? ? z ? 1 ,求 ? 的最小值. 18(本小题满分 12 分,请写出简要过程,直接书写结果没分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (3)甲、乙不相邻; (5)甲、乙站在两端. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. (2)甲、乙必须相邻; (4)甲、乙按自左至右顺序排队(可以不相邻) ;

20. (本小题满分 12 分)已知 ( x ? 二项式系数的比为 8:3 (1)求 n 的值; (2)求展开式中 x 项的系数
3

2 n ) 二项展开式中,第 4 项的二项式系数与第 3 项的 x

0 1 2 3 10 (3)计算式子 C10 的值. ? 2C10 ? 4C10 ? 8C10 ? ??1024C10

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax .
3

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值和 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若过点 A(1, 0) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 a 的取值范围.
-3-

22. (本小题满分 12 分).设 f ( x) ? ( x 2 ?

3 5 x ? 2 )e mx , 其中 m ? 0. m m

( 1 )讨论f ( x)的单调性
(2)若 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 5恰有两个零点,求 m的取值范围 m

-4-

重庆第四十二中学校 2015-2016 下半期数学试卷(理) 命题人:程光 一选择题 1.下列求导运算正确的是( B ) A. ( x ?

3 ' 3 ) ? 1? 2 x x

' B. (log 2 x) ?

1 x ln 2

C. (3x )' ? 3x log3 e

D. ( x 2 cos x)' ? ?2 x sin x

2.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A ) A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 D. a ? ?1, b ? ?1

3.重庆 42 中艺术节招募了 30 名志愿者(编号分别是 1, 2 ,??? ,30 号) ,现从中任意选取 6 人按编号大小分成两组分配到十佳歌手组、小品组,其中三个编号较小的人在一组,三个编 号较大的在另一组,那么确保 6 号、 15 号与 24 号同时入选并被分配到同一组的选取种数是 ( C ) A. 25 B. 32 C. 60 D. 100

4.设复数 z 满足 z ? | z |? 2 ? i ,那么 z 等于( D ) A. ?

3 ?i 4

B.

3 ?i 4

C. ?

3 ?i 4

D.

3 ?i 4

5.在二项式 ( x ( A ). A.-56

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数是 x
B.-35
3 2

C.35

D.56 )

6.已知 f ( x) ? x ? 3x ? mx ? 1 在 [?2,2] 为单调增函数,则实数 m 的取值范围为( A A. m ? ?3 B. m ? 0 C. m ? ?24 D. m ? ?1

7.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接等工作,每个场馆至少分配一名志愿者的 方案种数为( C ) A.240 8. A. B.300 C.150 D.180

?
1 4

1 0

( 1 ? x2 ? x)dx 等于( D )
B.

1 2

C.

? ?1 4

D.

? ?2
4

9. 设函数 f (x) 的定义域为 R, x0 (x0≠0) 是f (x) 的极大值点, 以下结论一定正确的是 ( B )

-5-

A. ?x ? R , f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点

B. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 f (? x) 的极小值点

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ? 4?= 1 , f ? ? x ? 为 f ( x) 的导函数,已知函数 y=f ? ? x ? 的 图象如图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a+b) ? 1 ,则

b?2 的取值范围是( D ) a?2

A. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

B. ? ??, ? ? (3,+?)

? ?

1? 2?

C. (??, ?3)

D. ?

?1 ? ,3 ? ?2 ?

11.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b ,设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共 2

点,且在该点处的切线相同,则 a ? ? 0, ??? 时,实数 b 的最大值是( D )

13 6 A. e 6

1 6 B. e 6
x

7 2 C. e 3 2

3 2 D. e 3 2
0,则

12.设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 )

a 的取值范围是( C )
(A)[-

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4
2

(C)[

3 ,1) 2e

(D)[

3 3 , ) 2e 4

二填空题 13.由直线 y=2x 及曲线 y=4﹣2x 围成的封闭图形的面积为 14 . 设 a ? -332 9

?

?

0

1 ? ? ? 2 2 x? ? 2 co s ? d x, 则 ? a x ? ? x ? 2 的展开式中常数项是 ? s i n x? 1 ? 2? x? ? ?

6

?

?



15 . 已 知 f ( x) 为 定 义 在 (0,+ ∞ ) 上 的 可 导 函 数 , 且 f ( x) ? xf '( x) 恒 成 立 , 则 不 等 式

1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为 x

(1, +∞)



16 .函数 f ( x) ? a ln x? x,对任意的 x ? [ ,e] 时, f ( x ) ? 0 恒成立,则 a 的范围为

1 e

1 [ ? e, ] e
三解答题

.

17(本题满分 10 分)已知 z 为复数, z ? 2i 为实数,且 (1 ? 2i) z 为纯虚数,其中 i 是虚数单

-6-

位. (1)求复数 z ; (2)若复数 z 满足 ? ? z ? 1 ,求 ? 的最小值. 18(本小题满分 12 分,请写出简要过程,直接书写结果没分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (3)甲、乙不相邻; (5)甲、乙站在两端. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 20. (本小题满分 12 分)已知 ( x ? 二项式系数的比为 8:3 (1)求 n 的值; (2)求展开式中 x 项的系数
0 1 2 3 10 (3)计算式子 C10 的值. ? 2C10 ? 4C10 ? 8C10 ? ??1024C10
3

(2)甲、乙必须相邻; (4)甲、乙按自左至右顺序排队(可以不相邻) ;

2 n ) 二项展开式中,第 4 项的二项式系数与第 3 项的 x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax .
3

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值和 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若过点 A(1, 0) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 a 的取值范围.
2 22(本小题满分 12 分).设 f ( x) ? ( x ?

3 5 x ? 2 )e mx , 其中 m ? 0. m m

( 1 )讨论f ( x)的单调性
(2)若 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 5恰有两个零点,求 m的取值范围 m

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