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零点存在定理


想一想:求下列方程的根或函数的零点: 1.x + 1 = 0; 方程f ( x) = 0有实数根 2 2.x ? 2 x + 1 = 0; ?函数y = f ( x)图象与x轴有交点 x ?函数y = f ( x) 有零点 3. f ( x ) = 2 ? 8;

如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出, 易求出且图象也不容易画出,例如 函数 f ( x ) = ln ( x ) + 2 x ? 6, 我们怎么 讨论它的零点呢? 讨论它的零点呢?

如图所示,我们要画一条连接A、B的连续 曲线,使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条,我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢?

我们来观察下面表格中的函数: 我们来观察下面表格中的函数:
函数 闭区间 闭区间端点函 数值的乘积 零点

y = 2x ?1
2

[0,1]

f (0) f (1) =?1<0
f (1) f (3) < 0和

1 x1 = 2
x1 = 2, x2 = 4

,和 , y = x ?6x+8 [13] [35] f (3) f (5) < 0

y = 2 ?2
x

[0, 2]
7 7 [ , ] 4 2

f (0) f (2) < 0
7 7 f( ) f( )<0 4 2

x1 = 1
x1 = 2

y =log2(2x?3)

观察以上四个函数,我们能得出什么样 的结论呢? 提示: 1.以上的函数在给定的区间内图象是连续的 还是不连续的? 2.闭区间两个端点函数值的乘积都满足什么 样的条件? 3.函数的零点有什么样的特点? 4.我们能得出什么样结论?

函数零点存在性定理: 续不断的一条曲线,并且有f ( a ) f ( b ) < 0, 如果函数y = f ( x ) 在 [ a, b ] 上的图象是连

即存在c ∈ ( a, b ),使得f ( c ) = 0,这个c也是 方程f ( x ) = 0的根.

那么,函数y = f ( x ),在区间( a, b )内有零点,

解:利用计算器,作出 x, f ( x )的对应值表:

例1.求函数f ( x) = ln x + 2 x ? 6的零点的个数.
x 1 2
-1.309

3
1.089

4

5

6

7

8

9
14.1972

f(x) -4

3.3863 5.6094 7.7918

9.9459 12.0794

区间 ( 2,3)内有零点. f ( x ) 在其他的区间是否存在零点 ? 我们先 来看这个函数的图象 :

  由表可知f ( 2 ) < 0, f ( 3) > 0, 则f ( 2 ) f ( 3) < 0, 说明f ( x ) 在

从这个图象我们看到, 从这个图象我们看到 这个函数在定义域内是单 调增函数,那么我们怎样证 调增函数 那么我们怎样证 明呢? 明呢

练习 证明f ( x) = lg x + x ? 8有且只有一个零点. 1.
证明:Q f (1) = ?7, f (10 ) = 3,∴ f (1) f (10 ) < 0, ∴函数f ( x ) = lg x + x ? 8在 (1,3)内有零点, Q y = lg x在( 0,+∞) 是增函数,
∴ f ( x ) = lg x + x ? 8在 ( 0,+∞ )

y = x ? 8在( 0,+∞) 是增函数,

∴ f ( x) = lg x + x ? 8有且只 有一个零点.

是增函数,

思考:以上两个问题中方程的根所在区间的范围
能否进一步缩小?

知能训练: 知能训练: 课堂小结:
1 2.证明f ( x ) = x + ? 3在 ( 0, ∞ ) 上有两个零点. + x

1.学会由函数解析式讨论零点的个数, 证明零点的个数。 2.思想方法:函数方程思想,数形结合 思想,分类讨论思想

课后作业: 课后作业:
课本P86练习2.


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