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2015-2016学年江苏省扬州中学高三(上)12月月考数学试卷



2015-2016 学年江苏省扬州中学高三(上)12 月月考数学试卷
一、填空题 1.(★★★★)已知集合 A={x|x>0},B={-1,0,1,2},则 A∩B 等于 {1,2} .

2.(★★★★)已知虚数 z 满足 2z-

=1+6i,则|z|=



3.(★★★★)抛物线

y=2x 的准线方程是

2



4.(★★★★)角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1,2) , 则 cos(π-α)的值是 .

5.(★★★★)设函数 f(x)= 数 g(x)=3sin(ωx+φ)-2,则 的值为

,对任意 x∈R 都有 -2 .

=

,若函

6.(★★★)“M>N”是“log 2M>log 2N”成立的

必要不充分

条件.

7.(★★★)若 S n 为等差数列{a n}的前 n 项和,S 9=-36,S 项为 .

13

=-104,则 a 5 与 a 7 的等比中

8.(★★★)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)=

x

x

2



9.(★★★)如果实数 a,b 满足条件:

,则

的最大值是



10.(★★★)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,向量 且 x+y=1,则 ? 的最大值为 .

=x



=y

,x>0,y>0,

11.(★★★)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+3)=f(x) ,当 x∈(-2,0)时, f(x)=2 ,则 f(2015)+f(2014)+f(2013)=
x

0



12.(★★)已知直线:

ax+by=1(其中 a,b 是实数) 与圆:x +y =1(O 是坐标原点) (3-2 )π .

2

2

相交于 A,B 两点,且△ AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的 任意一点,则圆 M 的面积最小值为

13.(★★)已知抛物线



所围成的封闭曲线,给定点 A(0,a) ,若

在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是 .

14.(★★)设各项均为正整数的无穷等差数列{a n},满足 a
1

54

=2014,且存在正整数 k,使 a .

,a

54

,a k 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为

92

二、解答题:

15.(★★★)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是平行四边形.

(1)若 CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面 ABFE⊥平面 CDEF; (2)求证:EF∥平面 ABCD.

16.(★★★★)已知向量 (Ⅰ)若 ? =1,求 cos( ?

=(

sin

,1 ) ,

=(cos

,cos

2

) .

-x)的值;

(Ⅱ)记 f(x)=

,在△ ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)

cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围.

17.(★★★)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)

的离心率为
2 2

,右焦点 F(1,0) ,点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O:x +y

2

=b 相切于点 M.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求|PM|?|PF|的取值范围; (3)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标 t 的值.

18.(★★★)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行

了一次模拟试验.如图,内陆海湾的入口处有暗礁,图中阴影所示的区域为暗礁区,其中线段 AA 1,B 1B,CC 1,D 1D 关于坐标轴或原点对称,线段 B 1B 的方程为 y=x,x∈a,b,过 o 有一 条航道.有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾,在点 处测得该船

发出的汽笛声的时刻总晚 1s(设海面上声速为 am/s) .若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮 船的体积) (Ⅰ)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么? (Ⅱ)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由. 19.(★★)对于函数 f(x) ,g(x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同, 则称函数 f(x)和 g(x)在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.设函数 f(x)=ax -bx (a≠0) ,g(x)=lnx. (Ⅰ)当 a=-1,b=0 时,判断函数 f(x)和 g(x)是否相切?并说明理由; (Ⅱ)已知 a=b,a>0,且函数 f(x)和 g(x)相切,求切点 P 的坐标; (Ⅲ)设 a>0,点 P 的坐标为 ,问是否存在符合条件的函数 f(x)和 g(x) ,使得
2 2

它们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为(e ,2)呢?(结论不要求证明) 20.(★★)在数列{a n}中,a 1=1,且对任意的 k∈N ,a 比为 q k. (1)若 q k=2(k∈N ) ,求 a 1+a 3+a 5+…+a (2)若对任意的 k∈N ,a
* 2k * 2k-1 *

2k-1

,a

2k

,a

2k+1

成等比数列,其公

; .

,a

2k+1

,a

2k+2

成等差数列,其公差为 d k,设 b k=

①求证:{b k}成等差数列,并指出其公差; ②若 d 1=2,试求数列{d k}的前 k 项的和 D k. 附加题 21.(★★★)已知矩阵 M= 的一个特征值是 3,求直线 x-2y-3=0 在 M 作用下的直线方程.

22.(★★)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 α= (1)写出直线 l 的参数方程;



(2)设 l 与圆 x +y =4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 23.(★★★)抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落 于桌面,记所得数字分别为 x,y.设 ξ 为随机变量,若 数,则 ξ=-1;若 为大于 1 的分数,则 ξ=1. 为整数,则 ξ=0;若 为小于 1 的分

2

2

(1)求概率 P(ξ=0) ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) .

24.(★★★)已知(1+ a
n+1



n

展开式的各项依次记为 a 1(x) ,a 2(x) ,a 3(x)…a n(x) ,
n+1

(x ) .设 F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+2a 2(x)+3a 3(x)…+na n(x)+(n+1)a
n-1

(x ) .

(1)若 a 1(x) ,a 2(x) ,a 3(x)的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x 1,x 2∈0,2,恒有|F(x 1)-F(x 2)|≤2 (n+2)-1.



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