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人教A版数学必修二第二章第十一课时导学案2.3.2平面与平面垂直的判定


§ 2.3.2 平面与平面垂直的判定 学习目标 1. 理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小; 2. 理解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系; 3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P67~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:⑴若直线垂直于平面,则这条直线________平面内的任何直线; ⑵直线与平面垂直的判定定理为_______________________________________________. 复习 2:⑴什么是直线与平面所成的角? ⑵直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:二面角的有关概念 图 11-1 问题:上图中,水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角 度的共同特征是什么? 新知 1: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫二面角的棱, 这两个半平面叫二面角的面.图 11-2 中的二面角可记作:二面角 ? ? AB ? ? 或 ? ? l ? ? 或 P ? AB ? Q . l 图 11-2 问题:二面角的大小怎么确定呢? 新知 2:如图 11-3,在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面 角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 图 11-3 反思:⑴两个平面相交,构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系? ⑵你觉得二面角的大小范围是多少? ⑶二面角平面角的大小和 O 点的选择有关吗?除了以上的作法,二面角的平面角还能怎么 作? 探究 2:平面与平面垂直的判定 问题:教室的墙给人以垂直于地面的形象,想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几 个二面角?它们的大小是多少? 新知 3: 两个平面所成二面角是直二面角, 则称这两个平面互相垂直.如图 11-4,? 垂直 ? , 记作 ? ? ? . 图 11-4 问题:除了定义,你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢? 新知 4:两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 反思:定理的实质是什么? ※ 典型例题 例 1 如图 11-5,AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的 任意一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC . 图 11-5 例 2 如图 11-6,在正方体中,求面 A?D ?CB 与面 ABCD 所成二面角的大小(取锐角). D? A? D A 图 11-6 小结:求二面角的关键是作出二面角的平面角. C? B? C B ※ 动手试试 ?ASC =90°, ?ASB ? BSC ? 60 °, SA ? SB ? SC , 练. 如图 11-7, 在空间四边形 SABC 中, ⑴求证:平面 ASC ? 平面 ABC . ⑵求二面角 S ? AB ? C 的平面角的正弦值. S A C B 图 11-7 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 二面角的有关概念,二面角的求法; 2. 两个平面垂直的判定定理及应用. ※ 知识拓展 二面角的平面角的一个常用作法:如图过平面 ? 内一点 A ,作 AB ? ? 于点 B ,再作 BO ? l 于 O ,连接 OA ,则 ?AOB 即为所求平


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