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2013二轮模拟新题分类汇编·专题3 数列及数列的简单应用



专题三

数列及数列的简单应用

1.(2013 · 湖 北 咸 宁 、 通 城 、 通 山 、 崇 阳 四 校 联 考 ) 已 知 数 列 { a n } 满 足 :
a 1 ? a ? 2 a ? 2, a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? a ) ? 1, n ? N ,当且仅当 n ? 3 时 a n 最小,则实

数 a 的取
2 *

值范围为 A. ( ? 1, 3 ) 【答案】D
2 2 【解析】用累加法得 a n ? n ? 2 an ? a ? 1 ,据题意易知 a ? ( , )

( B. ( , 3 )
2 5



C. ( 2 , 4 )

D. ( , )
2 2

5 7

5 7

2 2

2.(2013·郑州市第一次质量预测)已知 数列
{b n }

an ?

? ? 2 x ? 1 ?dx
0

n

{

1 an

}

,数列

的前 n 项和为

Sn

,

的通项公式为

b n ? n ? 8 ,则 b n S n 的最小值为_____________________.

【答案】 ? 4 【解析】 a n ? ? x ? x ? 0 ? n ? n ,
2 n 2

1 an

?

1 n

?

1 n ?1

,Sn ?

n n ?1



bn S n ? n ? 9 ?

9 n ?1

? n ?1?

9 n ?1

? 10 ? ? 4 .
? 2 a n (n为 正 奇 数 ) ? a n ? 1 (n为 正 偶 数 )

3. (2013· 玉溪一中第五次月考) 已知数列 a n } { 满足 a 1 ? 1 ,a n ? 1 ? ? 则其前 6 项之和是 ( A.16 【答案】C ) B.20 C.33



D.120

【解析】 a 2 ? 2 a1 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 1 ? 3, a 4 ? 2 a 3 ? 6 , a 5 ? a 4 ? 1 ? 7, a 6 ? 2 a 5 ? 1 4 , 所以 S 6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 1 4 ? 3 3 ,选 C. 4.(2013·北大附中河南分校第四次月考)在数列 { a n } 中,已知 a 1 ? 2, a 2 ? 7 , a n ? 2 等于
a n a n ? 1 ( n ? N ? ) 的个位数,则 a 2013 的值是(

) D.2

A.8 【答案】C

B.6

C.4

【解析】 a 1 a 2 ? 2 ? 7 ? 1 4 ,所以 a 3 的个位数是 4, 4 ? 7 ? 2 8 ,所以所以 a 4 的个位数是 8,
1

所以 a 5 的个位数是 2,2 ? 8 ? 1 6 , 所以 a 6 的个位数是 6,a 7 的个位数是 2, 4 ? 8 ? 32 ,
a 8 的个位数是 2, a 9 的个位数是 4, a 1 0 的个位数是 8, a 1 1 的个位数是 2,所以从第三

项起, a n 的个位数成周期排列,周期数为 6, 2 0 1 3 ? 3 3 5 ? 6 ? 3 ,所以 a 2 0 1 3 的个位数 和 a 3 的个位数一样为 4,选 C. 5. (2013· 昆明市调研) 已知数列{an}满足 an+1=a1﹣an﹣1 (n≥2) a1=a, 2=b, Sn=a1+a2+?+an, , a 设 则下列结论正确的是( ) B.a100=a﹣b,S100=50a D.a100=﹣a,S100=b﹣a

A.a100=a﹣b,S100=50(a﹣b) C.a100=﹣b,S100=50a 【答案】B

【解析】∵an+1=a1﹣an﹣1(n≥2) 1=a,a2=b, ,a ∴a3=a1﹣a1=0, a4=a1﹣a2=a﹣b, a5=a1﹣a3=a, a6=a1﹣a4=a﹣(a﹣b)=b, ∴{an}是以 4 为周期的周期函数, ∵100=4×25, ∴a100=a4=a﹣b,

S100=25(a+b+0+a﹣b)=50a.故选 B. 6.(2013·安徽省开学考)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 , 则 a7 ? ( A.11 ) B.10 C.9 D.8

7.(2013·广州市 1 月调研)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 【答案】 28 .

2

8.(2013·东城区期末)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 , 则公差 d 等于 A. B.
5 3

C. 2

D. 3

9. (2013· 南昌二中第四次月考) 已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和, 且 ( A. 【答案】B ) B. C. D.

= , 那么

=

10. ( 2013 · 湖 南 师 大 附 中 第 六 次 月 考 ) 设 等 差 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n 且 满 足
S 15 ? 0 , S 16 ? 0 , 则
S1 a1 S2 a2 S3 a3 ,? , Sn an

,

,

中最大的项为

(

)

3

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

【答案】C 【解析】由 S 1 5 ? 由 S16 ?
1 5 ( a1 ? a1 5 ) 2 1 5 ( a1 ? a1 6 ) 2 =1 5 a 8 ? 0 ,得 a 8 ? 0 . = 1 5( a9 ? a8 ) 2 ? 0 ,得 a 9 ? a 8 ? 0 ,所以 a 9 ? 0 ,且 d ? 0 .

所以数列 { a n } 为递减的数列.所以 a1 , ? a 8 为正, a 9 , ? a n 为负, 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? S n ? 0 ,
S9 a9 ? 0, S10 a1 0 ? 0? , S8 a8 ? 0 ,又 S 8 ? S 1 , a 1 ? a 8 ,所以 S8 a8 ? S1 a1 ? 0,



所以最大的项为

S8 a8

.

11.(2013·北大附中河南分校第四次月考)设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足
S 15 ? 0 , S 16 ? 0 , 则 S 1
a1 , S2 a2 ,? , S 15 a 15

中最大的项为
S9 a9 S8 a8

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

D.

【答案】D 【解析】 S 1 5 ? 由
1 5 ( a1 ? a1 5 ) 2 =1 5 a 8 ? 0 , a 8 ? 0 .由 S 1 6 ? 得 1 5 ( a1 ? a1 6 ) 2 = 1 5( a9 ? a8 ) 2 ? 0 ,

得 a 9 ? a 8 ? 0 ,所以 a 9 ? 0 ,且 d ? 0 .所以数列 { a n } 为递减的数列.所以 a1 , ? a 8 为正,
a 9 ,? a n 为 负 , 且 S1 ,? S 1 5 ? 0 , S16 ,? S n ? 0 , 则
S9 a9 ? 0 , S10 a1 0 ? 0? , S8 a8 ? 0 ,又

S 8 ? S 1, a 1 ? a 8,所以

S8 a8

?

S1 a1

? 0 ,所以最大的项为

S8 a8

,选 D.

12. ( 2013 · 黄 山 市 第 一 次 质 检 ) 若 {an } 是 等 差 数 列, 首 项 公 差 d ? 0 , a1 ? 0 , 且
a2013 ( a2012 ? a2013 ) ? 0 ,则使数列 {an } 的

前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n 是 A.4027 B.4026 C.4025 D.4024





4

13.(2013·惠州市第三次调研)在等比数列 和
S n ? 127

?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项

,则 n 的值为



【答案】7
S n ? 127 ? 1? 2
n

【解析】

1? 2

? 2 ?1 ? n ? 7
n

.
1 2

14. (2013· 潮州市期末) 等比数列 { an } 中 a1 ? 512 , 公比 q ? ?

, ? n ? a1 ? a 2 ??? an 记

(即 ? n 表示数列 { an } 的前 n 项之积) ?8 , ? 9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是 , A. B. 2 C. 3 D. 4

15.(2013·广东省华附、省实、广雅、深中期末四校联考)在正项等比数列 ?a n ? 中, a1 和
a19 为方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 a10 a12 ? (
2

) D.256

A.16

B.32

C.64

16.(2013·开封市一模)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

的值为(



A.

B.

C.

D.

5

【答案】A 【解析】∵S4= 故选 A. 17.(2013·成都市高新区统一检测)已知等比数列{an}的前三项依次为 a﹣1,a+1,a+4, 则 an=( A. 【答案】B 【解析】∵数列{an}为等比数列, ∴(a+1) =(a﹣1) (a+4) , ∴a=5,即数列的前三项为 4,6,9,公比为
2

=

=15a1,a3=a1q =4a1,∴

2

=

=



) B. C. D.

∴an=a1q

n﹣1

=4? .

18.(2013 宣城市 6 校届联考)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 为( A.2 【答案】C
a1 ?1 ? 2
4

S4 a2

的值

) B.4 C.
15 2

D.

17 2

?
? 15 2

【解析】

S4 a2

?

1? 2 a1 ? 2

19.(2013·北大附中河南分校第四次月考)已知各项为正的等比数列 { a n } 中, a 4 与 a 1 4 的 等比中项为 2 2 ,则 2 a 7 ? a 1 1 的最小值为( A.16 【答案】B 【解析】因为 a 4 a 1 4 ? ( 2 2 ) ? 8 ,即 a 4 a1 4 ? a 9 ? 8 ,所以 a 9 ? 2 2 。则
2
2

) C. 2 2 D.4

B.8

2 a 7 ? a1 1 ?
4

2 a9 q
2

? a9 q ? 2
2

2 a9 q
2

? a9q

2

? 2

2 ? a 9 ? 8 ,当且仅当

2 a9 q
2

? a 9 q ,即
2

q ? 2 ,时取等号,选 B.
6

20.(2013·南昌市调研)已知等比数列 ?an ? 公比为 q,其前 n 项和为 S n ,若 S3 , S9 , S6 成 等差数列,则 q 3 等于( A. ?
1 2

) C. ?
1 2

B.1

或1

D. ?1或

1 2

【答案】A 【解析】若 q ? 1 ,则 3 a1 +6 a1 = 2 ? 9 a1 ,得 a1 =0,而等比数列任何一项都不为 0,故 q ? 1 ; 所以
a1 (1 ? q )
3

1? q

?

a1 (1 ? q )
6

1? q

?2

a1 (1 ? q )
9

1? q

,换元解方程得 q 3 = ?

1 2

或 1(舍)

21.(2013·北京市朝阳区期末)已知数列 1, a1 , a2 , 9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 , 9 是等比 数列,则
b2 a1 ? a2
3 10

的值为

.

【答案】

【解析】因为 1, a1 , a2 , 9 是等差数列,所以 a1 ? a2 ? 1 ? 9 ? 10 。 1, b1 , b2 , b3 , 9 是等比数列, 所以 b2 2 ? 1? 9 ? 9 ,因为 b ? b2 ? 0 ,所以 b2 ? 3 ,所以
2
1

b2 a1 ? a2

?

3 10



22.(2013·安徽省皖南八校第二次联考)定义:数列{an}前 n 项的乘积 Tn ? a1a2 ? an , 数列 an ? 29? n ,则下面的等式中正确的是 A. T1 ? T19 【答案】C
n (17 ? n )

B. T3 ? T17

C. T5 ? T12

D. T8 ? T11

【解析】∵ Tn ? a1 ? a2 ? an ? 2

2

,∴代入验证可得 T5 ? T12

23.(2013·北京昌平区期末)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 A.1 【答案】C 【解析】因为 S1 , S2 , S 4 成等比数列,所以 S1 S 4 ? S 2 2 ,即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 ,即
a2 a1

等于 B. 2 C. 3 D. 4

7

d ? 2a1d , d ? 2a1 ,所以
2

a2 a1

?

a1 ? d a1

?

a1 ? 2a1 a1

? 3 ,选

C.

24.(2013·昆明市调研)公比不为 1 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且﹣3a1,﹣a2,a3 成 等差数列,若 a1=1,则 S4=( A.﹣20 B.0 ) C.7 D.40

25. (2013· 北京市昌平区期末) S n 是公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和, S 1 , S 2 , S 4 设 且 成等比数列,则
a2 a1

等于

A.1 【答案】C

B. 2

C. 3

D. 4

【解析】因为 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列,所以 S 1 S 4 ? S 22 ,即 a 1 ( 4 a 1 ? 6 d ) ? ( 2a1 ? d ) ,即
2
2

d

? 2 a 1 d , d ? 2 a 1 ,所以

a2 a1

?

a1 ? d a1

?

a1 ? 2 a1 a1

?3

,选 C.

26.(2013·河南省郑州市第一次质量预测)把 70 个面包分 5 份给 5 个人,使每人所得成等差
1

数列,且使较大的三份之和的 6 是较小的两份之和,问最小的 1 份为 A. 2 【答案】A 【解析】不妨设为 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 70 , a 3 ? 14 . 由 ?a 1 ? a 2 ? ?
1 6

B. 8

C.

14

D. 20

?a 3

? a 4 ? a 5 ? 得 a1 ? a 2 ?

1 2

a 4 ,即 ? a 3 ? 2 d ? ? ? a 3 ? d ? ?

1 2

?a 3

? d ? ,解

得 d ? 6, a1 ? 2. 27.(2013·皖南八校第二次联考)已知各项均为正数的等差数列 {an } 中, a2 ? a12 ? 49 ,

8

则 a7 的最小值为( A.7

) B. 8 C. 9 D. 10

28. ( 2013 · 东 城 区 普 示 范 校 综 合 练 习 ) 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , a n ? 0 , 且
a 1 ? a 2 ? ? ? a 10 ? 30 ,则 a 5 ? a 6 的最大值是

A. 3 【答案】C

B. 6

C. 9

D. 36

( 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 ? 3 0 , 得 5 a1 ? a
a 1 ? a 1 0? a 5? a 66? ,由 a 5 ? a 6 ? 2

1

0

? )

3, 即 0

a 5 a 6 ,所以 6 ? 2

a 5 a 6 ,即 a 5 a 6 ? 9 ,当且仅当

a 5 ? a 6 时取等号,所以 a 5 a 6 的最大值为 9,选 C.

29. ( 2013 · 海 淀 区 北 师 特 第 四 次 月 考 ) 已 知 正 项 数 列 ?a n ? 中 , a 1 ? 1 , a 2 ? 2 ,
2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ,则 a 6 等于
2 2 2

A.16 【答案】D

B.8

C. 2 2

D.4

【解析】由 2 a n 2 ? a n ? 12 ? a n ? 12 ( n ? 2 ) 差
d ? a 2 ? a1 ? 4 ? 1 ? 3
2 2 2

可知数列

{a n }

2

是等差数列,且以
2

a1 ? 1
2

为首项,公 ,所以

,所以数列的通项公式为 。选 D.
2 2

a n ? 1 ? 3 (n ? 1 ) ? 3 ? 2 n

a6 ? 3 ? 6 ? 2 = 1 6

,即

a6 ? 4

30.(2013·山东省枣庄三中 1 月考)在圆 x ? y

? 5 x 内,过点(

5 2



3 2

)有 n 条弦的
1 6

长度成等差数列,最小弦长为数列的首项 a 1 ,最大弦长为 a n ,若公差为 d∈[ 那么 n 的取值集合为 A. {4,5,6,7} C. {3,4,5,6} 【答案】A 【解析】圆的标准方程为 ( x ?
5 2 ) ? y ?
2 2



1 3

],

B. {4,5,6} D. { 3.4.5,6,7}

25 4

,所以圆心为 ( , 0 ) ,半径 r ?
2

5

5 2

,则最大的

9

弦为直径,即 a n ? 5 ,当圆心到弦的距离为

3 2

时,即点(
a n ? a1 n ?1 ?

5 2



3 2

)为垂足时,弦长最小为
? 1 n ?1

4,即 a1 ? 4 ,所以由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d 得, d ? 所以
1 6 ? 1 n ?1 ? 1 3
2

5?4 n ?1

,因为

1 6

? d ?

1 3



,即 3 ? n ? 1 ? 6 ,所以 4 ? n ? 7 ,即 n ? 4, 5, 6, 7 ,选 A.
a 2 b

31.(2013·成都市高新区统一检测)已知方程 x ﹣9x+2 =0 和 x ﹣6x+2 =0 分别存在两个不等 实根,其中这四个根组成一个公比为 2 的等比数列,则 a+b=( A .3 【答案】D 【解析】设方程 x ﹣9x+2 =0 的两根为 x1,x4,方程 x ﹣6x+2 =0 的两根为 x2,x3,则 x1x4=2 , x1+x4=9,x2x3=2 ,x2+x3=6 ∵四个根组成一个公比为 2 的等比数列,∴x1=1,x2=2,x3=4,x4=8, ∴2 =8,2 =8,∴a=b=3 ∴a+b=6 故选 D. 32.(2013·惠州市第三次调研)数列{ 项和等于( A.76 ) B.78 C. 80 D.82
an
a b b 2 a 2 b a

) D . 6

B. 4

C. 5

} 中,

an ?1 ? ( ?1) an ? 2n ? 1
n

,则数列{

an

}前 12

32.(2013· 杭州第一次质检)设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n , ? a m ? a 1 ? ? a m ? 1 ( m ? N , 若
*

且 m ? 2 ),则必定有( A. S m ? 0 ,且 S m ? 1 ? 0 C. S m ? 0 ,且 S m ? 1 ? 0 【答案】C

) B. S m ? 0 ,且 S m ? 1 ? 0 D. S m ? 0 ,且 S m ? 1 ? 0

【解析】由题意,得: ? a m ? a 1 ? ? a m ? 1 ? ?

? a1 + a m ? 0 ? a1 ? a m ?1 ? 0



10

显然,易得 S m ?

a1 ? a m 2

? m ? 0 , S m ?1 ?

a1 ? a m ?1 2

? ( m ? 1) ? 0

33.(2013·北京市海淀区届期末)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? r ? an ? r ( n ? N , r ? R 且
*

,则“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等差数列”的 r ? 0) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 r ? 1 , an ?1 ? an ? 1 , an ?1 ? an ? 1 , 若 则 即 所以数列 ?an ? 成等差数列。 若数列 ?an ? 成等差数列,设公差为 d ,则 an ?1 ? an ? r ? an ? r ? (r ? an ?1 ? r ) ? r (a n ? a n ?1 ) ,即 d ? dr , 若 d ? 0 ,则 r ? 1 ,若 d ? 0 ,则 an ?1 ? an ? a1 ? 1 ,即 1 ? r ? r ? 2r ,此时 r ? 以 r ? 1 是数列 ?an ? 成等差数列的充分不必要条件,选 A. 34.(2013·杭州第一次质检)无穷数列 1, 2 , 2 , 3, 3, 3, 4 , 4 , 4 , 4 , 5,? 的首项是 1,随后两项都 是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4 项都是 4,?,以此类推.记该数列为 ?a n ? ,若
a n ? 1 ? 2 0 , a n ? 2 1 ,则 n ?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 2

。所



【答案】211 【解析】将 1, 2 , 2 , 3, 3, 3, 4 , 4 , 4 , 4 , 5, ? 分组成 ?1? , ? 2 , 2 ? , ? 3, 3, 3? , ? 4 , 4 , 4 , 4 ? , ? 5 , ? ? , ? 。 第 1 组有 1 个数,第 2 组有 2 个数,以此类推... 显然 a n ? 1 ? 2 0 在第 20 组, a n ? 2 1 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 2 1 1 。 35.(2013·泰安市期末)下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规 律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.
(1 ? 2 0 ) 2 ? 2 0 ? 2 1 0 个数.

【答案】

n( n ? 1) 2

【 解 析 】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 , 所 以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 ,

11

?

an ? an ?1 ? n

, 等 式 两 边 同 时 累 加 得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 即
n( n ? 1) 2

an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

,所以第 n 个图形中小正方形的个数是

n( n ? 1) 2

36.(2013 · 杭 州 第 一 次 质 检 ) 设 等 差 数 列
s in a 3 ? c o s a 3 ? c o s a 3 c o s a 6 ? s in a 3 s in a 6
2 2 2 2 2 2

?a n ? 满 足 :

s in ( a 4 ? a 5 )

? 1 ,公差 d ? ( ? 1, 0 ) . 若当且仅当 n ? 9

时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a 1 的取值范围是( A. ?
? 7? ? 6 , 4? ? ? 3 ?

) D. ? , ? 3
? 4? 3? ? 2 ? ?

B. ?

? 4? ? 3

,

3? ? ? 2 ?

C. ? , ? 6

? 7?

4? ? 3 ? ?

【答案】B 【解析】先化简:
= (s in a 3 ? s in a 3 s in a 6 ) ? (c o s a 3 ? c o s a 3 c o s a 6 )
2 2 2 2 2 2

s in ( a 4 ? a 5 )
2 2

?1

=

(s in a 3 c o s a 6 ) ? (c o s a 3 s in a 6 ) s in ( a 4 ? a 5 ) s in ( a 3 ? a 6 ) s in ( a 3 ? a 6 ) s in ( a 4 ? a 5 ) ?1

?1

=

? s in ( a 3 ? a 6 ) ? 1 ? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ? 3d ? 6

又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,即:
? a 9 ? a1 ? 8 d ? 0 4? 3? a 9 ? 0 , a1 0 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ? a1 0 ? a1 ? 9 d ? 0
an ? m

37. (2013·北京市海淀区期末)数列

{an }

满足

a1 ? 2,

a 且对任意的 m, n ? N ,都有 m
*

? an



则 a3 ? _____; {an } 的前 n 项和 Sn ? _____.

12

13



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