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高一数学7.12函数与方程


§2.10 函数与方程
一. 回顾 1. 2. 函数零点的概念: 一般地,方程 f ( x) ? 0 的实根又叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 零点性质 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根.
3. 函数零点与方程根的关系 函数 y ? f ( x) 有零点 ? 函数 y ? f ( x) 图象与 x 轴有公共点 ? 方程 f ?x ? ? 0 有实根; 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点即是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象公共点的横坐标; 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象公共点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之, 要求方程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 二. 典例 1. 二次函数 y ? ax ? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:
2

x y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是___________. 2. 3. 方程 x | x | ?3| x | ?2 ? 0 的实根个数是________. 函数 f ( x ) ? log 1 x ? x ? x ? 2 的零点的个数为 _______ .
2 2

4. 5. 6.

已知函数 f ( x ) ? mx ? x ? 1 至少有一个零点是正的,求实数 m 的取值范围.
2

方程 3 ? x ? 4 的根必在区间________________内(区间的端点是相邻两个整数) .
x

若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? 4 ? 0 有实数解,则实数 a 的取值范围是______________.
x x

(10)

第1页

7.

已知 a ? ? 0,1? 范围.

? 1, ??? .若关于 x 的方程 a x ? x ? a ? 0 有两个实根,求实数 a 的取值

8.

已知 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d , 在下列说法中: (1) 若 f (m) ? f (n) ? 0 ,且 m ? n ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有且只有一根; (2) 若 f (m) ? f (n) ? 0 ,且 m ? n ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一根; (3) 若 f (m) ? f (n) ? 0 ,且 m ? n ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内一定没有根; (4) 若 f (m) ? f (n) ? 0 ,且 m ? n ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至多有一根. 其中正确的命题题号是_____________. 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1) f ( x) ? x2 ? 3x ?18, x ?[1,8] ; (3) f ( x) ? log3 ( x ? 2) ? x, x ?[1,3] . (2) f ( x) ? x3 ? x ? 1, x ?[?1, 2] ;

9.

10. 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 11. 已知方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有且只有一个实根在 (0,1) 内,求 m 的取值范围.
2

12. 若方程 (1 ? a) x ? 3ax ? 4a ? 0 的所有根均小于 1 ,求实数 a 的取值范围.
2
2 2 2 13. 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 _________ . 14. 若关于 x , y 的方程组 ?

? ?

x? y?m ?0

2 ? ? ? x ? 2x ? y ? 0

有两组不同的解,则实数 m 的取值集合是

(10)

第2页

___________________ .
15. 已知数列{an},{bn},函数 fn ( x) ? x2 ? 3nx ? bn 若对于任意正整数 n ,an 及 an?1 都是函数
f n ( x) 的两个零点,且 a10 ? ?10 ,则 b50 ? ______________ .

16. 如果关于 x 的方程 2x log2 x ? 1 的两根为 x1 、 x2 ,那么 x1 x2 与 1 的 大小关系为 ______________ . 17. 已知函数 f ( x ) ? log m

x?3 , x ? ?? , ? ? ,其中 0 ? ? ? x?3

?

.

(1)试判断 f ( x ) 在定义域上的单调性,并加以证明; (2)在区间 ? 0,1? 上是否存在实数 m ,使得函数 f ( x ) 的值域为

? ? log m ? m ( ? ? 1)? , log m ? m (? ? 1)? ? ? ?请说明理由.
三. 练习 1. 2. 3. 若 ? , ? 是方程 x ? kx ? 8 ? 0 的两个相异实根,则 | ? ? ? | 的取值范围是
2

. .

关于 x 的方程 cos 2 x ? sin x ? a 有解,常数 a 的取值范围为
2

关于 x 的一元二次方程 x ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 14 ? 0 有两个不同的实根,且一根大于 3 ,一根 小于 1 ,则 m 的取值范围是 . .

4. 5. 6. 7. 8. 9.

方程 x ?
2

3 x ? k 在 (?1,1) 上有实根,则 k 的取值范围为 2
2

当 a 满足

时,关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x ? 2a ? 12 ? 0 根在区间 [?3, 0] 中.

已知 A ? {x | x2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} , 且A 函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点是
3 2
2

? 0, ??? ? ? ,则实数 p 的范围是_______.



若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是____ _________. 等式 8x ? 8(a ? 2) x ? a ? 5 ? 0 对任意的实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围.
4 2

2 10. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和 x2 .

(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围.
(10) 第3页


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