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从一道练习的多种解法谈起



福 建 中学数 学 

2 0 1 5 年第 5 期 

从一道练习的多种解法谈起 
连永 欣  福 建师 范大 学 附属 中学 ( 3 5 0 0 0 7 )  
4还 未涉 及 的 内容 ,绝 大部 分老 师 的意 见分 为两 类 ,  


在 人 教 A 版必 修五 第 三章 不

等式 的参 考 练 习 中  遇到 一个 初等 的规 划 问题 :  
r ,   ’   .  

是对证明过程中利用均值不等式的部分进行配方 

题1 若变 量  , Y 满 足约 束 条件J  +   ‘  ’ 求  
【 X  0 , Y≥0 ,  

处理 ,这 实 际上是 均 值 不等 式 的证 明过 程进 入 本题  的解答 ;二 是删 除本题 .   但 事实 上 ,本 题 完全 可 以 避开 均值 不等 式 ,而  且 有着 完全 不 同 的诸 多解 法 .如 :  

X + Y的最 大值 .  

解 依题意画出可行域 ( 非线性)如图 1 ,考虑  + Y: b,这 是斜 率 为 一 1,随 b变 化 的一 族 平 行 直 
线 .b为直 线在 Y轴 上 的截 距 ,当直 线 与可行 域相 交  时 ,截 距 的最 大值 即为 所 求 .如 图可 知 ,当且 仅 当 

解法 2 ( 内积法)   如图 3 ,连 接 弦 A B,取 弧 A B中点 D ,连 接 O D 
交弦 弦 A B于 D  ,设  与  夹 角为 0,则 
? . ‘

直 线 与 可 行 域 相 切 时 ,截 距 b达 到 最 大 值 √ 2.故 
x + Y的最 大值 为 √ 2.   然而 ,对于 该 图 ,笔者 联 想 到一 道相 关试 题 ,   题 目是 以 向量 为背 景给 出 的 ,实则 本题 的一 个拓 展 :  

OC = xOA +yOB ,   2   一 一   1   OA ? OC = xOA +   ?   = X- -   ’  


?

?

?

OB ?  


=x OA ? —  

+  


= 一  

1  
+  ,  

? . .

( O 一 A+一 OB ) .  

=( x-   1  ) +(
一  

x +   ) = 半 ,  

图2  

’ . .

X + Y=2 ( O A+o B ) ? OC=2 0 D? OC   2 I OCl l O Dl ? C O S   2.  

题 2如 图 2所示 , 给 定两个 平面 单位 向量  和 




O B, 它 们 的夹角 Z A O B=   , 若 点 C在 以 0为 圆心 
j  

当且 仅 当 0=0 ( 即 C为弧 A B中点 ) 时 ,等 号 
成立 .  

的 圆弧 A B上运 动 ,设 OC=x O A+ y O B ,则 X +Y的  最 大值 为— — .  

评析 作 为 本道 习题 的解法 ,通 过 内积 运 算 ,恰 
当的将 两个相 互 制约 的变 量 X,Y统一 表示 成 为 了一  个 变量 0, 此 即消 元法 , 从 而避 免 了使 用均 值 不等 式  的工具 ,算 是完 成 了本题 的讲评 .  

此题 是 作 为必 修 4复 习题 出现 的 ,参 考 答 案 中 
给 出的解法 利 用到 了均值 不等 式 :  

解法 1 ( 均值不等式)  



当然 ,问题 到 此还 远 没 结束 .此 时 有 同学提 出 
了一 个观 点 ,从形 式 上看 ,关 系 OC=x O A+ y O B与 




OC=x O A+y OB , . ’ . OC =( x O A+y OB)  ,  


? . . 

: x。  

+y2  

+2  

.  

.  

B, C三点共 线 的条件 类 似 , 能 否 利用 此得 到解答 

依 题意 有 

:一 O B   :  

:1 ,一 O A.   :一  .  

呢 ?另外 , 我们 通常 习惯 的坐 标法 , 在 此是 否有 效?   通 过小 组讨论 , 同学们 得 到 了如 下 的两种 解法 :  
卫  
A 
  ’ ’

代 入 上式可 得 X   + Y   一 x y:1 (  ) ,   从而 1 =X   + Y   一 x y=( X +  ) 。 一 3 x y  
≥(  +  )  一3 (   )  :   .  
曰 

:   ’  
. 

图3  

图4  

图5  

当且仅 当 X= Y ( 即 C为 弧 A B中点 )时 ,等 号 
成立 .  

解法 3 ( 共线 法 )   令  :  
x   Y  

:  
x   Y 

+上

  ,  

x   y  

注解

(   )式亦可 由平行 四边形 四边平方和和 

对角线 平 方和 关系得 到[ 刚 .  

故c   ,  ,   三点 共线 ,此时 C   在弦 A B上运 动 .  

评 析 鉴于 本题 利 用到 了均值 不等 式 ,作 为必 修 

圭 X + V   : I O C  ̄ l / I U 6 1 : I O C  ̄ [ 2 a ( o   2   .  

2 0 1 5年 第 5期 

福 建 中学数 学 

4 5  

其中d ( O, ,  ) 表 示 原 点  到 A B所 在 直 线 的距  离  . X + Y   2当且 仅 当 C   为 垂足 ( 即弦 A B的 中点 ,  
, 

哪 S   L    ). 故只 要求 当 (  , y ) 在 圆弧 A B上运 动 时 ,   ●一 = 卜 一     2   一 3一 了  =   .   即为  ,
X +Y的最大值 .   令 +  :b,得 到 一族 平行 直线 (   ) ,当且 仅 当  x +Y=b与圆弧 A B相 切 时取得 最大 值 . 根据 对称 性 ,  

亦 即 C为弧 A B的 中点 )时 ,等号 成立 .  

解法 4 ( 坐标法)   如图 4 ,以 D为原 点 ,  
1 √ 

所在 方 向为  轴 ,作 

容 易 得 到 当相 切 时 b=2.从 而 X +Y≤ 2,当且 仅 当  与 圆弧 A B相 切 ( 即 c为弧 A B中点 )时等号 成 立 .  

直 角 坐标 系 x O y,令 L A O C=0,依 题 意得 各点 的坐 

标为:  ( 1 , 0 ) ,B ( 一 去 ,  ) ,C ( c o s  , s i n 0 ) ,  
代入 O C=x O A+ y O B ,得 到 :  
Ic 0 s  +   s i n  ,   3  
Y :  —-   s i ? n   ,  
j 

注解 这里解法 5中的关键在于论断 ( ≠ } ) :在斜  坐 标 系 中的规 划 问题 .在 斜 坐标 系 中 ,直 线 与 坐 标  系 的截 距依 然 与 直 角坐 标 时含义 一 致 ,但 斜 率 的含  义 已经改 变 . 故 寻 找平行 直 线族 +1 , :b时我 们使 用 
截 距式 [   ] 而 非使 用斜 截 式 ,故 直线 族在 此与 X轴正 向  的 夹角为  ,而 非通 常 的  .  
0   斗 

+ Y= c o s  + √ 3   s i n  = 2 s i n ( 0 + - z “ )  2当 且 仅 
●l  

评析 解法 5 ,利 用到 了斜 坐标 系 的相 关 知识 ,  
但 更 重 要 的是 体现 出 的数 形 结合 、直 观 感 知 的重 要 

当 0=   ( 即 c为弧 B中点 )时 ,等 号成 立 .  
j  

评 析 以上 的解 法 3很好 的利 用 了条件 本 身 的结  构形 式 ,构造 出 了新 的相 关条 件 ,而 产 生 了较 为 简  便 的解 法 ,与解 法 2类 似 .而解 法 4 ,同样 消元转 化  成 关于 角度 0的函数 最值 , 从 而 可 以利用 三角 恒等 变 
换 这一 强大 工 具 .   更重要 地 ,解法 3 、解法 4都是 学 生根据 题 目的 

数学思想方法 .当然 ,这对学生本身关于包括 ( 线  性)规划、斜坐标系等知识有深入的了解 ,要求较 
高 .但 无 可厚 非 ,作 为填 空 题 ,解 法 5是最 为 快速 
有效 的 .  

以上 5种 解 法 看 似各 不 相 同 ,但 最 终都 解 决 了  这道 题 目,也 从某 种程 度 上体现 的数学 的统 一性 [   .   关 于斜 坐 标 系 的相 关 内容 与 方法 更 详 细 的探 讨 
可 以参 考 [ 1 , 2 , 4] .  
参考文献  【 1 】 邹 生书 . 构 建仿 射 坐标 系解 题 [ j ] . 河 北理科 教 学研 究 , 2 0 1 2( 2 ) : 3 6 — 3 9   [ 2 ] 胡迎 霞 .斜坐 标 系 的探究 [ J 1 .上 海 中学数 学 ,2 0 0 9( 3 ) :3 6   3 7  
[ 3 ] 傅建 红 .斜坐 标系 下 向量 ( 点 ) 坐标 、直 线 方程及 相 关性 质 [ J ] .数 学 
教 学 ,2 0 1 4( 3 ) :2 4 — 2 8   [ 4 ] 邓 赞 武 .斜角 坐标 系 中 的直线 方程 及 其应 用 [ J 】 .中学数 学研 究 ,2 0 0 8  
( 2 ) :4 1 - 4 3 .  

条 件 ,作 了些 看 似 简 单 的转 化 ,并通 过 讨 论 自主 得  到 的 .所 以在 课 堂 上 重视 学 生 的些许 结 论 ,包括 那  些看 似 不 起 眼 的结 论 ,或许 能 得 到 完全 新 的、 或者  更简 单 的解法 与 思路 .   回到所 学 的规 划 问题 ,事 实 上 ,我 们 可 以得 到 


个 更为 简单 的解法 :  

解法 5 ( 斜坐标法)   如图 5 ,以 0为原 点 ,O A所在 方 向为 x轴 ,OB  
所在 方 向为 Y轴 作 斜 坐标 系 x O y,此 时 , C 的坐标  

[ 5 ] 阿蒂亚 ( 英) .数 学 的统一 性 [ M] .大连 :大连 理 工大 学出版 社 ,2 0 0 9   [ 6 ] 人 民教 育 出版社 课程 教材 研 究所 , 中学 数学课 程教 材 研究 开发 中 心 . 数 

学 ,必修 4 ( A版 )[ M] .北京 :人们 教育 出版 社 ,2 0 0 7  

导数应 用 中的 函数不等 式证 明方法探 索 
吴邦 良  四川省 绵 阳外 国语 学校 ( 6 2 1 0 0 0 )  

近 年 来 ,在 新 课 标 下 的 高 考对 导 数 应 用 的考 查 

非常重视 ,全 国卷或各省市卷都出在押轴题上 ,其  中关于 函数不等式 的证明问题是命题热点 ,现对其  中一 类 用“ 放 缩 法证 明 函数 不等 式” 的方法进 行 探索 ,  

与读者分享 .   题型 已知函数  , g ∽, 求证 : 厂 ∽> g ∽ . 其  中函数 f ( x ) 或g ( x ) 中含有 s i n x ,C O S X,e x ,l n x.   方法 1有理式替代法 



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