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2012-2013学年高二上学期期中联考数学(文)试题(B卷)



中原名校2012—2013学年第一学期期中联考

高二文科数学试卷
命题:叶县数学命题组 责任老师: 崔洪澎 (考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
? 1.在 ? ABC中,A= 60 ,a= 4 3 , b ? 4 2 ,则B等于(




?

A. 45 或 135

?

?

B. 45

?

C. 135

D. 75

?

2.在 ? ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且 a cos A ? b cos B ,则三角形是( A.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2



3.已知等差数列 {an }的前n项和为 S n 。若m>1,且 am?1 ? am?1 ? am =0, S2m?1 ? 38,则m=( A.9 4.数列{an}的通项公式为 B.10 C.20 D.38 )



an ? n 2 ? an ? 2

,若数列{an}是个递增数列,则a的范围是(

A. a<2

B. a ? 1

a?
C.

3 2


D.a<3

5.在 ? ABC中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则AC边上的高是(

3 2 A. 2
6.等比数列

3 3 B. 2

3 C. 2

D. 3 2

{an} 中, a3 , a5 是方程 x2 ? kx ? 2 ? 0 (k为常数)的两根,若 a 2 ? 0 ,则
) B. 4 2 C. ? 4 2 D. 8

a2a3a4 a5a6 的值为(
A. ? 4 2

a2 ? a8 Sn 2n ? 2 ? ? s n Tn b ? b T n ? 2 4 8 n 7.两个等差数列{an}和{bn},其前n项和分别是 , ,且 ,则 (
20 A. 13



19 B. 13

17 C. 10

D.无法确定

x y ? ?1 8.若直线 a b 通过点 M(cos? , sin? ) ,则(
A. a ? b ? 1
2 2



B.a 2 ? b 2 ? 1

C.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

9.在 ? ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且 (a ? b ? c)(a ? c ? b) ? 3ac ,则

3 tan A? tanC ? tan A ? tanC 等于(
?
A.



3 3

3 B. 3

C. ? 3

D. 3

y2 10.若x,y,z是正实数,且 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 x z 的最小值是(
A.4 B .3 C .2

) D.1 )

11.二次函数 f ( x) 过原点,且 1 ? f (?1) ? 2 , 3 ? f (1) ? 4 ,则 f (?2) 的范围是( A. [5,11] B. [6,10] C. [5,10] D. [6,11]

12.设x,y满足 A. a<1

? x ? ay ? 2 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 4 ?

时,目标函数z=x+y既有最大值也有最小值,则a的取值范围是( C. 0 ? a ? 1 D.a<0



B.0<a<1

二、填空题(本大题共4小题,每题5分) 13.已知

y ? loga ( x ? 3) ?1(a>0,且 a ? 1)恒过定点A,且点A在直线mx+ny+1=0上,且

1 2 ? mn>0,则 m n 的最小值是
14.已知等比数列{an}中, .

. , a2 ?a3?a4 ? ?2,则

a1 ? a2 ? a3 ? 4

a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ?

15.在 ? ABC中,AD是BC边上的中线,且AC=2AB=2AD=4,则BD= 16.设等差数列{an}的前n项和为

. .

S n ,若 S 4 ? 10 , S5 ? 15 ,则 a 4 的最大值是

三、计算题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分) 数列{an}的前n项和记为Sn, (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且 比数列,求 Tn
T3 ? 15

a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1 (n ? 1)

,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等

18. (本小题满分12分) 已知不等式 mx ? 2x ? m ?1 ? 0 。
2

(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足

m ?2

的一切m 的值都成立,求x 的取值范围

19) (本小题满分12分) 为了竖一块广告牌,要建立如图所示的三角形支架,要求 ?ACB = 60 .BC的长度大于1米。且
?

AC比AB长0.5米,为了使广告牌稳定,要求AC的长度越短越好,则AC最短是多少米?当AC最短时, BC的长度是多少米?

20. (本小题满分12分) 已知数列 {an} 中,
? a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,且 2an ?1 ? an ? 2 ? an ( n ? N ) , , 数列 {b } 的前 n 项和 S n ,其中 n

b1 ? ?

3 2 bn ?1 ? ? S n ( n ? N ?) 2, 3

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式。

Tn ?
(2)若

a a1 a2 ? ??? n b1 b2 bn ,求 Tn 得表达式。

21) (本小题满分12分) 某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包 括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出; ②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算,请说明理由.

22. (本小题满分12分)
? ? 在海岸A处,发现北偏东 45 方向、距离A处 3 ? 1海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西 75 方

向、距离A处2海里的C处的辑私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里 /小时的速度从B处向北偏东 30 方向逃窜,问辑私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时 间?
?

中原名校2012—2013学年第一学期期中联考

高二文科数学试题参考答案
一,选择题 1B2C 3B 二,填空题 4 D 5 B 6A 7A 8 D 9 D 10 B 11 B 12C

13 、8

7 14 、 8

15 、 6

16、4

17(本题10分) (1)由

an?1 ? 2Sn ? 1可得 an ? 2Sn?1 ?1(n ? 2) ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an (n ? 2)
故{an}是首项为1,公比为3得等比数列 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6分

又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴

an ? 3n ?1

.

(2)设{bn}的公差为d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d
5 ? d ?1??5 ? d ? 9 ? ? ?5 ? 3 ? d ? 2, d 2 ? ?10 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 解得 1
2

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2
Tn ? 3n ? n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n2 ? 2n



。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10分 18(本题12分)

x?
解: (1)当m=0时,1-2x<0,即当

1 2 时不等式恒成立。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2分

2 m ? 0 时,设 f ( x) ? mx ? 2x ? m ?1 , f ( x) ? 0 恒成立,则有

m?0 ? ? ?4 ? 4m(1 ? m) ? 0
?2 ? m? 2
2

则m?Φ 。 。 。 。 。 。 。 。 。6分

综上可知不存在这样的m使不等式恒成立。 (2)由题意

设 g(m) ? ( x ?1)m ? (1? 2x) ,则有

?? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? g (?2) ? 0 ? 2 ? ? g (2) ? 0 ,即 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0

解之得

?1 ? 7 1? 3 ?x? 2 2
? 1? 3 ? ? ?1 ? 7 ?x? ?x | ? 2 2 ? ? 所以x的取值范围为 ?
19(本题12分) 解:依题意设BC= a (a>1) AB= c AC= b

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12分

b?c ?
易知

1 2

由余弦定理知

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos60?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3分

b?c ?


1 2 代入化简得 1 4

b(a ? 1) ? a 2 ?

(a>1)

所以

1 3 (a ? 1) 2 ? 2a ? 2 ? 3 4 ? 4 a ?1? ?2 b? 4 ( a ? 1 ) ? 2 3?2 a ?1 a ?1 = a2 ?

a ?1 ?
当且仅当

3 3 a ? 1? 4(a ? 1) 即 2 时b有最小值 2 3 ? 2

。 。 。 。 。 。10分

所以AC最短为( 2 3 ? 2 )米,此时BC的长为( 20(本题12分) 解:(1)由题意知 公差d=

1?

3 2 )米

。 。 。 。 。12分

2an?1 ? an?2 ? an 所以数列{a }是等差数列 n
所以

a2 ? a1 ? 2

an ? 2n ?1

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2分

2 bn ?1 ? ? S n ( n ? N ?) 3
2 bn ?1 ? bn ? ? bn 3
2 b2 ? ? S1 ? 1 3 ,

2 bn ? ? S n ?1 (n ? 2) 3 所以

1 bn ?1 ? bn 3 则

b2 2 1 ?? ? b1 3 3

? 3 ? ? 2 (n ? 1) bn ? ? 1 ?( ) n?2 (n ? 2) ?3 所以
an ? (2n ? 1)3n?2 b 2) n ? 2 时, n

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6分

Tn ?
所以

a a1 a2 ? ?? ? n b1 b2 bn
?

2 ? 3 ? 3? ? 5 ? 31 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1)3n ? 2 = 3

3Tn ? ?2 ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? ( 2n ? 1) ? 3n ?1
错位相减整理得

Tn ? ?

2 ? ( n ? 1)3n ?1 3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12分

21(本题12分) 解:

(1)设捕捞n年后开始盈利,盈利为y元,则:
n ( n ? 1) y=50n-[12n+ 2 ×4]-98=-2n2+40n-98.

由y>0,得n2-20n+49<0 ∴10- 5 1 <n<10+ 51 (n∈N), ∴3≤n≤17,∴n=3. 即捕捞3年后,开始盈利.
……………6分

98 y 98 2n ? n +40=12. n n (2)①平均盈利为 =-2n- +40≤-2

98 当且仅当2n= n ,即n=7时,年平均利润最大.

∴经过7年捕捞后年平均利润最大,共盈利为12×7+26=110(万元) .…9.分 ②∵y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102. ∴当n=10时,y的最大值为102; 即经过10年捕捞盈利额最大,共盈利102+8=110万元. ………11分 故两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算. ………12分
22(本题12分) 解:设辑私船 t 小时后在 D 处追上走私船,则有 CD ? 10 3t , BD ? 10t . 在 ?ABC 中, AB ?

3 ? 1, AC ? 2, ?ABC ? 120 0 .利用余弦定理可得 BC ? 6 .…3分

sin ?ABC ?
由正弦定理,
0

AC 2 3 2 sin ?BAC ? ? ? BC 2 , 6 2
0

得 ?ABC ? 45 ,即 BC 与正北方向垂直.于是 ?CBD ? 120 .……………6分

在 ?BCD 中,由正弦定理得,

sin ?BCD ?

BD sin ?CBD 10t ? sin 120 0 1 ? ? CD 2 10 3t

10 3t CD BC 6 ? 6 ? t? 0 0 10 .……………10分 sin 30 , 3 得 ?BCD ? 30 , 又 sin 120 ,得
0

6 答:当辑私船沿东偏北 30? 的方向能最快追上走私船,最少要花 10 小时. ……12分



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