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(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法



题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点, 主要考查学生识图、 画图、 数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解 决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人 还常常将它与对称问题、 弦长问题、 最值问题等综合在一起命制难度较大的 题,解决这类问题常用定义法和待定系数法

重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定 量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆 的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方 程得到量的大小 典型题例示范讲解 C' 18 m 例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部 分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、 A' 14 m A A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端 点,B、B′是下底直径的两个端点,已知 AA′=14 m, CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出 22 m B' 该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基 础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程; 积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 y 解 如图, 建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上, AA′ C' 的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于 x 轴
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20 m

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B

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C

设双曲线方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>0,b>0),则 a=

1 2

AA′=7

A'

o

A

x

又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上,所以有
11 7
2

2

?

y1 b

2

2

? 1,

9 7

2 2

?

y2 b

2

B'

B

2

?1

由题意,知 y2-y1=20,由以上三式得 故双曲线方程为
x
2

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y1=-12,y2=8,b=7 2

?

y

2

=1

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49 2 2

98

例 2 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上 且离心率为 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 y=
1 2

y A

x过

1 y= x 2 x B

线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 o 1 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求 曲线方程的方法,设计新颖,基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题, 对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰 当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 解法 二,用韦达定理
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解法一

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由 e=

c a

?

2 2

,得

a ?b
2

2

a

2

?

1 2

,从而 a2=2b2,c=b
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设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两 式 相 减 得 , (x12 - x22)+2(y12 -
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y22)=0,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

.

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 2 y0

,又(x0,y0)在直线 y=

1 2

x 上,y0=

1 2

x0,

于是-

x0 2 y0

=-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1

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右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? x? ? b ? 则? ? ? ? y ? ? x ? b ?1 ?2 2 ? ? x? ? 1 解得 ? ? y? ? 1 ? b

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为
c a 2 2

9 16

,a

2

?

9
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8
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8x 9

2

?
2

16 9

y
2

2

=1,l 的方程为 y=-x+1
1 2

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解法二

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由 e=

?

,得

a ?b a
2

?

,从而 a2=2b2,c=b

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设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的 方 程 代 入 C 的 方 程 , 得 (1+2k2)x2 - 4k2x+2k2 - 2b2=0, 则 x1+x2=
4k
2 2

1 ? 2k

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k
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1 ? 2k
?k

2

直线 l

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y=

1 2

x 过 AB 的中点(
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x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

),则

1 ? 2k

2

?

1

2 1 ? 2k 2

?

2k

2

,

解得 k=0,或 k=-1 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1), 即 y=-x+1,以下同解法一
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例 3 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 4

,P 为线段

P1

P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线 且过点 P 的离心率为
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13 2

的双曲线方程

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P

命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方 P2 程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上, 点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关 键,正确地表示出 △P1OP2 的面积是学生感到困难的 y 技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建 立关于参数 a、b 的两个方程,从而求出 a、b 的值 解 以 O 为原点, 1OP2 的角平分线为 x 轴建立如 ∠P 图的直角坐标系 P
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o

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P1

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设双曲线方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

o
=1(a>0,b>0)

x P2

由 e2=

c a

2 2

?1? (

b a

) ?(
2

13 2

) ,得
2

b a

?

3
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2
3 2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,
P1 P PP 2

x 和 y=-

3 2

x

3 2

x1),P2(x2,-

3 2

x2)(x1>0,x2>0),则由点 P 分 P1 P2 所成的比λ
x1 ? 2 x 2 2
2

=

=2,得 P 点坐标为(

x1 ? 2 x 2 3

,

),又点 P 在双曲线

x a

2 2

?

4y 9a

2 2

=1

上,所以

( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2

2

?

( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2

=1, ①
x2 ?
2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP 1 |? x1 ?
2

9 4

x1

2

?

13 2

x 1 , | OP |? 3 2 ? 12 9 13 4

9 4

x2

2

?

13 2

x2

sin P1 OP 2 ?

2 tan P1 Ox 1 ? tan 1 2
2

2? ? 1?

P1 Ox

? S ? P1OP 2 ?

| OP 1 | ? | OP 2 | ? sin P1 OP 2 ?

1 13 12 27 ? x1 x 2 ? ? , 2 4 13 4

即 x1x2=

9 2
2 2



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x
2

x

?
2 2

y

=1

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4

9

例 4 双曲线

?

y b

4

=1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,
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|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________ 解析 设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F 2 2 2 |PF1| +|PF2| =2(|PO| +|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
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∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 又∵c2=4+b2<
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17 3 5 3

, ,∴b2=1
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17 3

,∴b2<

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答案 1 学生巩固练习 1 已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( ) A 3 B -3 C 1 D -1
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2

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中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0
1 2

截得的弦的中点的横坐标为
A. 2x
2 2

,则椭圆方程为(
B.

)
2x
2 2

? ? y

2y
2

2

?1

? ?

2y
2

2

?1 ?1

25 C.
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75 ?1 D.

75 x y

25

x

25
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75

75

25

3 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P, 若过点 P 且以双曲线 12x2 -4y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ 4 已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长
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为 4 3 ,则该圆的方程为_________
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5 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F, M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存
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在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
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4 10 3

,试求椭圆的方程

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6 某抛物线形拱桥跨度是 20 米, 拱高 4 米, 在建桥时 每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长
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已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
x a
2 2

20 3
2 2

,椭圆 C2 的
A C D E F B

方程为

?

y b

2 2

=1(a>b>0),C2 的离心率为

,如果 C1

与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和 椭圆 C2 的方程 参考答案: 1 解析 将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0,
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得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)
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则 y1y2=

12 ? m 5

,y1+y2=4

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又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3 答案 A
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2

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解析

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由题意,可设椭圆方程为

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y a

2 2

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?

x b

2 2

=1,且 a2=50+b2,

即方程为

y

2 2

50 ? b

?

x b

2 2

=1

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将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75 答案 C 3 解析 所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可
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解 4
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答案 解析
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x

2

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?

y

2

=1

5
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4

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设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或 ?b ? 4 ? 2 ? 2 ? r ? 13 ? r ? 27

?(4 ? a ) 2 ? (?2 ? b ) 2 ? r 2 ? ? 则有 ? ( ? 1 ? a ) 2 ? ( 3 ? b ) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?| a | ? ( 2 3 ) ? r ?
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由此可写所求圆的方程 答案 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 5 解 |MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,
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∴b2=4,设椭圆方程为

x a

2 2

?

y

2

?1

① ② ③

4

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得 (4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0),
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则 x0=

1 2

(x1+x2)=

a m 4? a
2

2

,y0=-x0+m=

4m
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4? a

2

代入 y=x,得

a m 4? a
2

2

?

4m 4? a
2

y

,
D' C'

o

E' F'

x

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=-
4 10 3
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4a

2 2

4? a

,
A C D E F B

又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

,
x
2
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代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为
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?

y

2

=1

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5

4

6 解 以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,如图,由题意知, |AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 2 设抛物线方程为 x =-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12 5, 于是抛物线方程为 x2=-25y 由题意知 E 点坐标为(2, -4), E′点横坐标也为 2, 2 代入得 y=-0 16, 将 从而|EE′|=(-0 16)-(-4)=3 84 故最长支柱长应为 3 84 米
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由 e=

2 2

,可设椭圆方程为

x

2 2

?

y b

2 2

=1,

2b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2b
2 2

?

y1 b

2

2

? 1,

x2 2b

2 2

?

y2 b

2

2

=1,两式相减,得
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x1 ? x 2 2b
2

2

2

?

y1 ? y 2 b
2

2

2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0 化简得
y1 ? y 2 x1 ? x 2

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=-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, 有Δ =24b2-72>0, ,

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0 又|AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
20 3

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y A

得 2?

24 b ? 72
2

?
2

20 3

9

,解得 b2=8
2

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o
=1

x B

故所求椭圆方程为 课前后备注
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x

?

y

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