9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法



题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点, 主要考查学生识图、 画图、 数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解 决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人 还常常将它与对称问题、 弦长问题、 最值问题等综合在一起命制难度较大的 题,解决这类问题常用定义法和待定系数法

重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定 量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆 的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方 程得到量的大小 典型题例示范讲解 C' 18 m 例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部 分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、 A' 14 m A A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端 点,B、B′是下底直径的两个端点,已知 AA′=14 m, CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出 22 m B' 该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基 础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程; 积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 y 解 如图, 建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上, AA′ C' 的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于 x 轴
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

C

20 m

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

B

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

C

设双曲线方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>0,b>0),则 a=

1 2

AA′=7

A'

o

A

x

又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上,所以有
11 7
2

2

?

y1 b

2

2

? 1,

9 7

2 2

?

y2 b

2

B'

B

2

?1

由题意,知 y2-y1=20,由以上三式得 故双曲线方程为
x
2

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

y1=-12,y2=8,b=7 2

?

y

2

=1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

49 2 2

98

例 2 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上 且离心率为 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 y=
1 2

y A

x过

1 y= x 2 x B

线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 o 1 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求 曲线方程的方法,设计新颖,基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题, 对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰 当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 解法 二,用韦达定理
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

解法一

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由 e=

c a

?

2 2

,得

a ?b
2

2

a

2

?

1 2

,从而 a2=2b2,c=b
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两 式 相 减 得 , (x12 - x22)+2(y12 -
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

y22)=0,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

.

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 2 y0

,又(x0,y0)在直线 y=

1 2

x 上,y0=

1 2

x0,

于是-

x0 2 y0

=-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? x? ? b ? 则? ? ? ? y ? ? x ? b ?1 ?2 2 ? ? x? ? 1 解得 ? ? y? ? 1 ? b

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为
c a 2 2

9 16

,a

2

?

9
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

8
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

8x 9

2

?
2

16 9

y
2

2

=1,l 的方程为 y=-x+1
1 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解法二

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由 e=

?

,得

a ?b a
2

?

,从而 a2=2b2,c=b

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的 方 程 代 入 C 的 方 程 , 得 (1+2k2)x2 - 4k2x+2k2 - 2b2=0, 则 x1+x2=
4k
2 2

1 ? 2k

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 ? 2k
?k

2

直线 l

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y=

1 2

x 过 AB 的中点(
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

),则

1 ? 2k

2

?

1

2 1 ? 2k 2

?

2k

2

,

解得 k=0,或 k=-1 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1), 即 y=-x+1,以下同解法一
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

例 3 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 4

,P 为线段

P1

P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线 且过点 P 的离心率为
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

13 2

的双曲线方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

P

命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方 P2 程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上, 点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关 键,正确地表示出 △P1OP2 的面积是学生感到困难的 y 技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建 立关于参数 a、b 的两个方程,从而求出 a、b 的值 解 以 O 为原点, 1OP2 的角平分线为 x 轴建立如 ∠P 图的直角坐标系 P
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

o

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

P1

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

设双曲线方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

o
=1(a>0,b>0)

x P2

由 e2=

c a

2 2

?1? (

b a

) ?(
2

13 2

) ,得
2

b a

?

3
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2
3 2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,
P1 P PP 2

x 和 y=-

3 2

x

3 2

x1),P2(x2,-

3 2

x2)(x1>0,x2>0),则由点 P 分 P1 P2 所成的比λ
x1 ? 2 x 2 2
2

=

=2,得 P 点坐标为(

x1 ? 2 x 2 3

,

),又点 P 在双曲线

x a

2 2

?

4y 9a

2 2

=1

上,所以

( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2

2

?

( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2

=1, ①
x2 ?
2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP 1 |? x1 ?
2

9 4

x1

2

?

13 2

x 1 , | OP |? 3 2 ? 12 9 13 4

9 4

x2

2

?

13 2

x2

sin P1 OP 2 ?

2 tan P1 Ox 1 ? tan 1 2
2

2? ? 1?

P1 Ox

? S ? P1OP 2 ?

| OP 1 | ? | OP 2 | ? sin P1 OP 2 ?

1 13 12 27 ? x1 x 2 ? ? , 2 4 13 4

即 x1x2=

9 2
2 2



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x
2

x

?
2 2

y

=1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4

9

例 4 双曲线

?

y b

4

=1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________ 解析 设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F 2 2 2 |PF1| +|PF2| =2(|PO| +|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 又∵c2=4+b2<
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

17 3 5 3

, ,∴b2=1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

17 3

,∴b2<

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案 1 学生巩固练习 1 已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( ) A 3 B -3 C 1 D -1
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0
1 2

截得的弦的中点的横坐标为
A. 2x
2 2

,则椭圆方程为(
B.

)
2x
2 2

? ? y

2y
2

2

?1

? ?

2y
2

2

?1 ?1

25 C.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

75 ?1 D.

75 x y

25

x

25
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

75

75

25

3 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P, 若过点 P 且以双曲线 12x2 -4y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ 4 已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

为 4 3 ,则该圆的方程为_________
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F, M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

4 10 3

,试求椭圆的方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

6 某抛物线形拱桥跨度是 20 米, 拱高 4 米, 在建桥时 每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

7

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
x a
2 2

20 3
2 2

,椭圆 C2 的
A C D E F B

方程为

?

y b

2 2

=1(a>b>0),C2 的离心率为

,如果 C1

与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和 椭圆 C2 的方程 参考答案: 1 解析 将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

则 y1y2=

12 ? m 5

,y1+y2=4

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3 答案 A
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解析

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由题意,可设椭圆方程为

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

y a

2 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

x b

2 2

=1,且 a2=50+b2,

即方程为

y

2 2

50 ? b

?

x b

2 2

=1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75 答案 C 3 解析 所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

解 4
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案 解析
新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

x

2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

y

2

=1

5
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或 ?b ? 4 ? 2 ? 2 ? r ? 13 ? r ? 27

?(4 ? a ) 2 ? (?2 ? b ) 2 ? r 2 ? ? 则有 ? ( ? 1 ? a ) 2 ? ( 3 ? b ) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?| a | ? ( 2 3 ) ? r ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

由此可写所求圆的方程 答案 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 5 解 |MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∴b2=4,设椭圆方程为

x a

2 2

?

y

2

?1

① ② ③

4

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得 (4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0),
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

则 x0=

1 2

(x1+x2)=

a m 4? a
2

2

,y0=-x0+m=

4m
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4? a

2

代入 y=x,得

a m 4? a
2

2

?

4m 4? a
2

y

,
D' C'

o

E' F'

x

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=-
4 10 3
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

4a

2 2

4? a

,
A C D E F B

又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

,
x
2
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

y

2

=1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5

4

6 解 以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,如图,由题意知, |AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 2 设抛物线方程为 x =-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12 5, 于是抛物线方程为 x2=-25y 由题意知 E 点坐标为(2, -4), E′点横坐标也为 2, 2 代入得 y=-0 16, 将 从而|EE′|=(-0 16)-(-4)=3 84 故最长支柱长应为 3 84 米
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

7

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

由 e=

2 2

,可设椭圆方程为

x

2 2

?

y b

2 2

=1,

2b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2b
2 2

?

y1 b

2

2

? 1,

x2 2b

2 2

?

y2 b

2

2

=1,两式相减,得
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

x1 ? x 2 2b
2

2

2

?

y1 ? y 2 b
2

2

2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0 化简得
y1 ? y 2 x1 ? x 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

=-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, 有Δ =24b2-72>0, ,

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0 又|AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
20 3

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y A

得 2?

24 b ? 72
2

?
2

20 3

9

,解得 b2=8
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

o
=1

x B

故所求椭圆方程为 课前后备注
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

x

?

y

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

16
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

8

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



更多相关文章:
...复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法_免...
高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法 高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的...
...复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法_免...
高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法 高三数学高三数学隐藏>> 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源特 特特特特特 特...
高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法
高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法 讲解精辟讲解精辟隐藏>> 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法 关于求圆锥曲线方程的方法 求圆锥曲...
(第23讲)高中数学复习专题讲座-关于求圆锥曲线方程的方法
(第23讲)高中数学复习专题讲座-关于求圆锥曲线方程的方法 (第23讲)高中数学复习专题讲座-关于求圆锥曲线方程的方法(第23讲)高中数学复习专题讲座-关于求圆锥曲线方...
(第24讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
(第22讲)曲线轨迹方程的求... (第23讲)关于求圆锥曲线方...1...题目 高中数学复习专题讲座 直线与圆锥曲线问题的处理方法(1) 高考要求 直线与圆锥...
高考数学精讲精练23求圆锥曲线方程
高考数学重点难点分析,精讲精练高考数学重点难点分析,精讲精练隐藏>> 尤新教育辅导学校 第 23 讲 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查...
(第5讲)求解函数解析式的几种常用方法
(第21讲)直线方程及其应用 (第23讲)关于求圆锥曲线方... (第24讲)直线与圆锥...题目 高中数学复习专题讲座 求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解...
求圆锥曲线方程的方法
题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点, 主要考查学生识图、 画图、 数形结合、等价转化、分类讨...
高中数学复习 关于求圆锥曲线方程的方法
(第23讲)高中数学复习专题... 7页 2财富值 高中数学复习专题讲座(第2... ...高中数学复习 关于求圆锥曲线方程的方法高中数学复习 关于求圆锥曲线方程的方法隐藏...
(第29讲)关于求空间距离的问题
(第21讲)直线方程及其应用 (第23讲)关于求圆锥曲线方... (第24讲)直线与圆锥...z 轴两两互相垂直 E 技巧与方法 建系方式有多种,其中以 O 点为原点,特级...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图