9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

“ 两鼠穿墙”问题蕴含的数学意趣



数学文化小品文

“ 两鼠穿墙”问题蕴含的数学意趣
天津市实验中学 曹学良

许多数学问题,像陈年老酒,历久弥香.我国古代数学典籍《九 章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺,两 鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何 日相逢,各穿几何? 今意是:有厚墙 5 尺,两只老鼠从墙的两边相对分

别打洞穿墙. 大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后 每天减半.问几天后两鼠相遇,各穿几尺? 因为两鼠每天穿墙的数都在变化,这种变量的数学对于古人是 难题! 下文中可以看到,这样一个古老的问题,当赋予不同的数学意境 后, 可以展现了古、 今不同的解题方法以及这些方法背后的数学文化. 1.“两鼠穿墙”和“盈不足术” 1.1 这道题的解法很多,因为题中的数字比较小,最自然地想
1 2

( ? ? 法是:我们可以用估算,两个老鼠两天共打洞 1 ? 2)(1 ? ) 4.5 尺,第

三天再穿墙 0.5 尺即可,第三天两数的速度和为 22 ? 用了
0.5 2 2 ? 天,总共用了 2 天。 4.25 17 17

1 ? 4.25 ,第三天 22

《九章算术》给出的解法是把问题巧妙地转化为“盈亏问题” 用 , 享誉古今的“盈不足术”求解:假设两只老鼠打洞 2 天,则仍差 5 寸, 不能把墙打穿;假设打洞 3 天,就会多出 3 尺 7 寸半.利用书中给出

1

的一盈、一不足的公式可得到: 两只老鼠相遇的天数:
2 ? 3.75 ? 3 ? 0.5 2 ?2 3.75 ? 0.5 17

(1)

相会时,大小老鼠分别穿墙:
1? 2 ? 4? 2 8 ? 3 (尺) 17 17

和1 ? ? ?

1 2

1 2 9 ? 1 (尺) 4 17 17

可以看出,这种解法的高明之处是避开了每天变化的速度,把含 有变量的数学问题转化为常量的数学问题. 什么是“盈不足术”那? 1.2 “盈不足术”

《九章算术》是以下面问题引进“盈不足术”的: 设 x 人共出 y 钱购物,每人出 m1 则盈钱 n1,每人出 m2 钱则不 足 n2, 那么物值几何,各出多钱?(这是个一盈、一不足问题) 今天解这个问题的时候,可以用列二元一次方程组的方便的得到 由所给条件列方程组

? y ? m1 x ? n1 ? ? y ? m2 x ? n2
解得: 于是每人出钱:
x? n1 ? n2 m1 ? m2 y? m1n2 ? m2 n1 m1 ? m2

m1n2 ? m2 n1 n1 ? n2

(2)

《九章算术》用“维乘”的表格、利用比率的方法,以盈补不足的方 式得到公式(2) ,并由此归纳各种盈亏问题(一盈、一不足,两盈,

2

两不足等)的解决通法及计算公式. 难能可贵的是,古人的智慧在于把两鼠穿墙问题转化盈亏问题,这 也是数学的精彩处. 我们模仿古人的思维轨迹,把两鼠穿墙问题改造如下:2 只老鼠 穿墙,打洞 2 天(m2=2)则仍差 5 寸(n2=0.5),不能把墙打穿;假设打洞 3 天(m1=3)就会多出 3 尺 7 寸半(n1=3.75)问几天穿透? 利用上面给出的公式,在(2)带入相应各值即可得到(1). 1.3 对“盈不足术”的思考 公元前 186 年,中国就有了很成熟的“盈不足术”,“盈不足术”对后 世数学家影响颇深.文艺复兴时代,这种方法从中国传到阿拉伯,再 传到欧洲,并在那里发扬光大,用于更复杂的运算,西方人称为“黄 金方法”.这种对数学问题的整体把握的思想,对问题巧妙设问、求解 的方法直到今天还是我们思考、解决数学问题的常用方法. 用今天的数学语言也可以这样描述“盈亏”思想:思考一个变化 过程 y=f(x),想求当 x=x0 对应的函数值 y0 的值,如果无法直接求出, 可以这样思考,取一个值 x1,求出对应的 f(x1)=y1,再取一个值 x2,求 出 f(x2)=y2,不妨设 y1- y0>0,y2- y0﹤0(构造成一盈、一不足类型,当 然也可以是其它类型) ,这样就转化成典型的盈亏问题,可以找到解 决问题的思路. 这种解法的数学本质就是通过两次假设,得到问题的解决,因此 近代数学把这种数学方法叫做“双假设法”. 其实,盈不足术也蕴含着哲学思辨,对待一个多因素制约的问题,
3

采用增、减自变量数值,观察结果的变化,最终找到最佳方案,使得 问题定量解决,从这个角度说,盈亏思想已经超越了数学本身成为一 种思维模式. 2.两鼠穿墙问题和指数方程大的渊源 在很多数学史的著作里,提到中国是最早使用指数方程的国家.例 证就是两鼠穿墙问题可以用指数方程解决. 设 x 天后两鼠相遇,那么 大鼠共打洞:1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ....... ? 2x?1 (尺) 小鼠共打洞: 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ......( ) x?1 (尺)
1 2 1 2 1 2 1 2

可得方程
1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ....... ? 2 x ?1 ? 1 ? 1 1 2 1 3 1 ? ( ) ? ( ) ? ......( ) x ?1 ? 5 2 2 2 2

利用等比级数求和
1 1 ? ( )x 1? 2 2 ?5 ? 1 1? 2 1? 2
x

化简得: 22 x ? 4 ? 2x ? 2 ? 0 解得: 2 x ?
4 ? 24 2

舍去负值取

x?

l g (? 2 6) lg 2

这样用解指数方程的方法也解决了两鼠穿墙问题.比较两种解法, 它们蕴含着不同风格的数学美.两鼠穿墙的盈亏方法解决体现一种数 学转化的智慧美,整体把握的简洁美;指数方法体现了像流水般自然
4

地流畅美. 3.两种解法背后的数学意境 上面的两种方法很多年来、很多文章都分别给出过,似乎已成定 论.但是仔细观察发现两种解的答案是不一样的:盈亏解法答案是
2

lg(2 ? 6) 2 ,指数方程的结果是 ,显然,一个是有理数,一个是无 17 lg 2

理数,两者不可能相等! 问题出在哪那? 首先估算一下它们的差值, 2
2 ? 2.11765 17



lg(2 ? 6) ? 2.15364 lg 2

因为差距很小,可以不用怀疑解题方法本身的问题. 是什么原因造成的结果不一致那,寻根溯源,我们认为是对问题 背后的数学意境的理解不同造成的。 古代数学家很少有“动”的数学意境,变量进入数学是 16 世纪以后 的事,因此他们很自然的把老鼠的打洞速度看成是每天不变的匀速, 因此用盈亏术来解.近代数学的显著标志就是“动”起来了, 因此指数方 程方法的数学意境, 是把每一天老鼠打洞的速度也呈现指数规律变化 的.这样不同的结果产生了.
1 4 1 ? 天) 指数算法中的速度是个加速的趋势 , (因为函数 f ( x) 2 x ? x ( x ? 0) 2 1 是增函数) ,第三天刚开始时它的速度要小于平均速度 4 ? (尺/天) , 4

从定量的角度看, 盈亏算法中第三天的速度是恒定的 4 ? (尺/

而第三天只剩下 0.5 尺, 因此用指数方程求得的解稍大于盈亏解法求 得的解是合理的.
5

数学来源于实践, 我们不能强求古代数学家具备近代的数学思想, 从这个意义上讲,用“盈不足术”解决两鼠穿墙问题是符合数学发展规 律的伟大实践,而且也符合问题的情景;另一方面,数学的发展对人 类实践又有极大地推动作用,每一次“新数学”的产生又使得人们掌握 了更先进的工具,得到了更好的结果,指数方程的方法就说明了这一 点. 其实,数学就是在这样不断地发现、否定、完善的过程中发展起来 的.我们学习数学、教授数学也应是遵循着这个规律的. 两鼠穿墙问题是《九章算术》几百个问题里面普通一个,1000 多年以来不断有人去研究它,每每总有新的发现和发展,从中我们能 够体会到数学历史长河的涌动,感受到古、今数学的血脉相连,甚至 能感受到和已经逝去千年的数学大师的“智慧”对话,最重要的是我们 能够在数学发展历史中,看到“活着”的数学!

6



更多相关文章:
2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文)含答案
15、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿, 大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿...
广东省深圳市2016年高三第二次调研考试 数学(文)(word版)
1 处取得极大值, 2 15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一 尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠...
2017年最新高一下学期期中考试数学试题
30 0 D. 150 8.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大 鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半...
更多相关标签:
超级画板蕴含数学思维    离散数学 蕴含式    离散数学蕴含    天坛蕴含的数学知识    两鼠穿墙    无线鼠标能穿墙吗    意趣盎然    意趣英语    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图