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函数零点问题中参数取值的求解


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数 学 通 讯— — 2 O 1 0年 第 4期 ( 上半月)  

?辅教 导 学 ?  

函 数零 点 问题 中参数 取 值 的求 解 
肖骑兵  
( 广 东 省 清 远 市 连 山高 级 中 学 , 5 1 3 2 0 0 )  

函数 的零 点 主要 涉及 三个 方 面 的 问 题 : 连 续 
函数 零点 的存在 性 ; 连 续 函数 零 点个 数 的判 定 ; 求 

6 1 , 它 在[ 一1 , 9 ]上 的最大值 为 厂 ( 一1 )= q+ 2 0 ,   最小值 为 厂 ( 8 )一 q 一6 1 , 因为 厂 ( z ) 在[ 一1 , 9 ]上 
存 在零 点 , 所 以f ( -1 )? 厂 ( 8 ) ≤o , 即( 口 +2 0 ) ( g 一 
6 1 )≤ 0 , 所以 一2 O≤ q≤ 6 1 .  

连 续 函数零 点 的近 似解 ( 二分法) . 在 以 上 三个 问  题 的考查 中 , 常常涉及 到参 数 取值 范 围的 求解 , 主 
要 从 问题 的逆 向方 面进 行 考 察 . 这 类 问题 是 目前 

2 . 充分 掌握 数学 思想方 法 
2 . 1   化 归 的 思 想 方 法 

新课 标下 高考 的重 点 、 难点 、 热点 , 如何 引 导 学生  解 决这类 问题 ? 笔者认 为应从 两方 面人 手.  
1 . 深 刻 理 解 连 续 函数 零 点 判 定 定 理 

所 谓化 归 的思 想 方 法 , 就是 在 研 究 和 解 决 有 

关数学 问题 中采 用某种 数 学手 段 将 问题 通过 变 化 
使 之转 化 为新 的问题 , 进 而得 到解 决的一 种方法 .  

例 1   已知 厂 ( z ) 一z   一1 6 x+q +3 , 若 函数 

( z )在[ 一1 ,9 ] 上 存在零 点 , 求 q的取值范 围.  
很 多学生 这样来 解 :  
‘ .

例2   已知 函数 厂 ( z ) 一z 。 一1 7 k 7 C +2 m一2 , 若 

函 数  ( z ) 在[ 0 , 要] 上存在零点, 求实数m的 取值  
范 围.  

‘函数 厂(  )在 [ 一1 ,9 ]上存在 零 点 ,  


’ .

厂 ( 一1 )? 厂 ( 9 ) ≤ 0 .  

又 厂( 一1 )一 q+ 2 0 ,厂( 9 )一 q一 6 0,  


解  ’ . ‘ 0 ≤  ≤要  . 由z   一眦 +2 m- -2 =  







( q+ 2 0 )?( q一 6 0 )≤ 0 ,  


9  

0可 得 m 一  —   .  
山  







2 O≤ q≤ 6 0 .  

这 种解 法是错误 的.   不妨先 来 看 看 连续 函数 零 点 判 定 定 理 : 如 果 

设 函 数 g (   ) 一 善 三   , 厂 ( z ) 在 [ o , 号 ] 上 存  
在 零点∞  一撇 +2 m 一2 一。 在[ 0 , 要] 有 解 .  
所以, 求  的取值 范 围化归 为求 函数 g( z )一  

函数 Y一 _ 厂 ( z )在 区间[ n , 6 ]上 的图象是 连续不 断 
的一 条 曲线 , 并且 有 f ( a )?  ( 6 ) <0 , 那么, 函数 Y  


厂 ( z ) 在 区间 ( 口 , 6 )内有 零点.  

譬 三   ,  ∈ [ 0 ,   3 ] 的 值 域 .  
g   )一  , 令g l ( z )= 。 ,  

此定 理告诉 我们 , f ( a ) ? f ( b ) <0 是 函数 Y一  
厂 ( z ) 在 区间 ( a , 6 )内有 零 点 的充分 条 件 , 可 以说  明它 并不是 必要 条件. 例如 : _ 厂 ( z )一z   一2 x一3 在  区间 ( 一2 ,4 )内有 零点 一 1 和 3 , 但厂 ( 一2 )?  ( 4 )   >0 . 因此 , 在定 理 中 , 厂 ( n )? 厂 ( 6 ) < 0 是 函数 Y= = =  


得 z一 2 土厄  
当 z∈ [ o , 2 一  )时 ,g   (  ) >0 ;  

当z∈( 2 —4 - g , 要] 时, g l ( z ) <0 .  
又  . ‘ g( 2一  )一 4— 2   ,g( 0 )= 1 ,  

厂 ( z ) 在 区间 ( a , 6 )内有零 点 的充 分 不必 要 条件 ,  

并 不 是 充 要 条 件.上 面 的 解 法 错 误 地 将 条 件 

厂 ( 一1 ) ? 厂 ( 9 ) ≤0 看作 函数 厂 (  ) 在[ 一1 , 9 ] 上存 
在零 点 的充要 条件.  

g c 导   一号 ,  
? . 一   .

t ≤ g(  )≤ 4— 2  
,  

正确 的解答 如下 : 因为 厂 ( z ) 一( z一8 )   +q 一  

?

辅教导学 ?  

数 学通 讯 一

2 0 1 0年 第 4期 ( 上半月)  

1 7  

’ . . 一

÷ ≤  ≤ 4 —2 √ 2 .  

思 想方 法 . 此题 在分 类讨 论 中要 保 证 分 类 科 学 、 统 




力争 做 到 不 重 复 、 不 遗 漏. 在 数 学 学 习 过 程 中 

点评  学 生在 思 考 此题 时 , 往往 从分 类 讨论 

善 于运 用这 种 思 想 方 法 , 有 利 于 培 养 学 生 分 析 问 
题 和解决 问题 的能力.   3 . 数形 结合 的思 想方 法 

的 角度 寻求解题 思 路 , 解 法 较为 复 杂 , 很 难 兼顾 全 

面. 此题 利 用 化 归 的思 想 方 法将 参 数 m 的 取值 范 
围转 化为 函数 g(  )的值 域 问题 , 从 而 实现 化难 为 
易, 化 繁为 简 的 目的.  

数形 结 合 就 是 把 抽 象 的 数 学 语 言 、 数 量 关 系  与直 观 的几 何 图形 、 位 置 关 系结 合 起 来 , 通过“ 以  

也可 按如下 思路 求 函数 g( z )= 

, z∈  

形 助 数 ”或 “ 以数 解形 ” , 可 以使 复 杂 问题 简 单 化 ,   抽 象 问题 具体化 , 从 而起 到优 化解 题途 径 的 目的.  

E o , 要 ] 的 值域 , 因 为g ( z ) 一  二  一z +2 +  
— —  

例4   若 函数 , (  )  


y   J   Y=



4 ~[ ( 2 一z ) + 

] , 故 可先求 函数 ^ ( £ )  

  I z   一4 z   l +口 有 4个 

零 点 ,求 实 数 n 的 取 值 

=£ +÷, £ ∈[ 专, 2 3 的值域.  
2 . 2   分 类 讨 论 的 思 想 方 法 

范 围.  



 

:  


l   f
-   一 一

4x  





解 

函数 _ 厂 (  )一  

0 

2  4  

一  

分类 讨论 的思 想方 法 就 是 将 数学 问题 进行 分 
类, 然后 对划 分 的每 一 类 分别 进 行 研 究 和 求 解 的  方 法. 它 的基 本思路 是“ 化整 为零 , 各个 击 破” .   例3   若 函数  ( z )一 2 a x  一  一 1在 区间 

I   z 。 一4 x   I +n 有4 个零点  甘 方程 I   z   一4 x   I +口 =0  
图 l  

有4 个根 甘 方程 I   z   一4  I 一一a有 4 个根. 设函  

数 g (   ): I   z   一4 x   l ,r e( x )一一 口 , . ’ .方 程 
  l z   一4 z   l 一一n 有4 个根  函数 Y— g ( z ) 和Y  
—  

[ 一1 ,1 ] 上 有且 只有 一个 零点 , 求实 数 a的取值 范 
围.  

( z )的图象 有 4 个 交 点.  

解  , ( z )一 2 a x  一 一 1 在 区间 [ 一1 , 1 ]上 


函数 Y— g ( z ) 一I   一4 x   I 与Y— m( z ) 一  
n的图 象 如 图 1所 示 , 从 图象可 以看 出: 函数 
厂 (  )一 1   z 。 一4 x   I +口有 4个零 点 ∞ 0 <一n< 4 ,  
即一 4< 口< 0 .  

有且 只有 一个零 点 ㈢ 方 程 2 a x 。 一 z一 1— 0 在 区 

间[ 一1 ,1 ]上有且 只有一个 根 .  
( 1 )当 口一 0时 , 方程 2 a x 。一 z一 1: 0即 

一 z一 1— 0有一 个根  一~ l , 而 一1 ∈[ 一1 , 1 ] ,  
‘ .

点 评  此 题 与例 3 类 似, 但 若 利 用 分类 讨论  的思想 方 法不 知 从 何 角 度 分 类 , 利 用 数 形 结 合 的 
思 想方 法从 图 象 直 观 地 看 出交 点 的个 数 , 能够 顺  利 地实 现 问题 的求解 .   通 过 以 上 的分 析 可知 , 在 深 刻 理 解 连 续 函数  零 点判 定定 理 的条件 下 , 合 理 选择 数 学 思 想方 法 ,  

. 口一 0符合 题意 .  
( 2 )当 日≠ 0时 , 由方程 2 a x 。 ~  一 1= 0 得 

2 a x  一   十1 , 对 于一 切  ∈ [ 一1 , 1 ] , 有  + 1 ≥  0 , 而方 程 2 a x 。 = z+ 1在[ 一1 , 1 ]上有 解 , 从 而必 
有 a> 0 , 此时, 易知 函数 ( z )一 2 a x   一 z一 1 在 

[ 一1 , 0 ]上单 调 递 减 , 且 厂( 一1 )一 2 a> 0 ,  ( O )  
一 一

就 能准 确无 误地 解决 与 函数 零 点 有关 的参 数 取值 
范 围 问题.  

1 <0 , 所以 厂 (  ) =2 a x  一z一 1 在 区间 [ 一1 ,  

0 ]上 恰有 一个零 点. 又 ,(  )= = = 2 a x  一z一 1 在 区  间[ 一1 , 1 7上 只有一 个零 点 , 故有 _ 厂 ( 1 )< 0 , 即2 口  


( 收 稿 日期 : 2 0 0 9— 1 1 —0 2 )  

2< 0 , 所 以 0< 口< 1 。  

综合 可 知 , n的取值 范 围为 0≤ n< 1 .  
点 评  此题 与例 2有很 大 的差异 性 , 已知零  点 的个数 求参 数 的取值 范 围不 适合 例 2中化 归 的 


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