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高考数学选择题+填空题解题技巧教师版


高考数学选择题+填空题解题技巧
第 1 讲 选择题
题型一 直接对照法 这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来,其基本求解策略是由因导果,直接求解. 例 1 如果函数 f ? x ? ?

x2 ?1? ?1? ?1? ,那么 f ?1? ? f ?2? ? f ? ? ? f ?3? ? f ? ? ? f ?4? ? f ? ? ? _____. 2 1? x ?2? ?3? ?4?
?1? ?t ?

解析 容易发现 f ?t ? ? f ? ? ? 1 ,这就是我们找出的有用的规律,于是原式= f ?1? ? 3 ?

7 7 ,应填 . 2 2

题型二 概念辨析法 这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质,这需要考生在平时注意辨析有关概念,准 确区分相应概念的内涵与外延,同时在审题时要多加小心,准确审题以保证正确选择. 例 2 已知非零向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 给出下列条件, ①a=kb(k∈R); ②x1x2+y1y2=0; ③(a+3b)∥(2a 2 2 2 2 -b);④a· b=|a||b|;⑤x1y2+x2y1≤2x1x2y1y2.其中能够使得 a∥b 的个数是() A.1 B .2 C .3 D.4 解析 显然①是正确的,这是共线向量的基本定理;②是错误的,这是两个向量垂直的条件;③是正确的, λ+3 1 1 因为由(a+3b)∥(2a-b),可得(a+3a)=λ(2a-b),当 λ≠ 时,整理得 a= b,故 a∥b,当 λ= 时也可 2 2 2λ-1 得到 a∥b;④是正确的,若设两个向量的夹角为 θ,则由 a· b=|a||b|cos θ,可知 cos θ=1,从而 θ=0,所 2 2 2 2 以 a∥b;⑤是正确的,由 x1y2+x2y1≤2x1x2y1y2,可得(x1y2-x2y1)2≤0,从而 x1y2-x2y1=0,于是 a∥b. 题型三 数形结合法 在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图形的做法、形状、位置、性质,综 合图象的特征,得出结论. 例 3 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大 值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析 画出函数 f(x)的图象,观察最高点,求出纵坐标即可.本题运用图 象来求值, . x 由题意知函数 f(x)是三个函数 y1=2 ,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者, 作出三个函数在同一个坐标系之下的图象 (如图中实线部分为 f(x)的图象) 可知 A(4,6)为函数 f(x)图象的最高点.

题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、 特殊位置) 代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数 值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适 用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论 若在某种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略. → → → → → 例 4 已知 A、B、C、D 是抛物线 y2=8x 上的点,F 是抛物线的焦点,且FA+FB+FC+FD=0,则|FA|+ → → → |FB|+|FC|+|FD|的值为 ( ) A.2 B .4 C .8 D.16

解析

→ → → → 取特殊位置,AB,CD 为抛物线的通径,显然FA+FB+FC+FD=0,

→ → → → 则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=4p=16,故选 D. 变式训练 4 已知 P、Q 是椭圆 3x2+5y2=1 上满足∠POQ=90° 的两个动点,则 A.34 解析 取两特殊点 P( B .8 8 C. 15 1 1 等于 2+ OP OQ2

34 D. 225

3 5 1 1 ,0)、Q(0, )即两个端点,则 2+ 2=3+5=8.故选 B 3 5 OP OQ

例 5 在平面直角坐标系中,已知三点 A(m, n), B(n, t ), C (t , m) ,直线 AC 的斜率与倾斜角为钝角的直 线 AB 的斜率之和为

5 2 ,而直线 AB 恰好经过抛物线 x ? 2 p ( y ? q ), ( p ? 0 )的焦点 F 并且与抛物线交于 P、 3
PF QF ? (▲)

Q 两点(P 在 Y 轴左侧) 。则

A.9

B. 4

C.

173 2

D.

21 2

解析

画出草图分析代特殊值

k AB ? 0, k AC ? 0,

1 ? cos? 1 2 1 2 25 4 5 PF ? ,( ) ? 1? ( ) ? k AB ? ? k AC ? 3,? k AB ? k AC ? 1 ? cos? cos? k AB 16 3 3 QF `
故选 A 题型五 筛选法 例 6 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(-∞,1) D.(-∞,1] 1 解析 令 m=0,由 f(x)=0 得 x= 适合,排除 A、B.令 m=1,由 f(x)=0 得:x=1 适合,排除 C. 3 题型六 估算法 有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这 就是估算法. x≤0 ? ? 例 7 若 A 为不等式组?y≥0 表示的平面区域, 则当 a 从-2 连续变化到 1 时, ? ?y-x≤2 动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( ) 3 7 A. B.1 C. 4 4 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. 1 阴影部分面积比 1 大,比 S△OAB= ×2×2=2 小,故选 C 项. 2

D.2

第2讲

填空题的解题方法与技巧

题型一 直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、计算等, 得出正确结论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法. 29 例 1 在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值___- _____. 3 题型二 特殊值法 特殊值法在考试中应用起来比较方便,它的实施过程是从特殊到一般,优点是简便易行.当暗示答 案是一个“定值”时,就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值 来将字母具体化,把一般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时,特例法尤其有效. (sin A-sin C)(a+c) 例 2 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 =sin A-sin B, b 则 C=_______. 探究提高 特殊值法的理论依据是:若对所有值都成立,那么对特殊值也成立,我们就可以利用填空题不 需要过程只需要结果这一“弱点”,“以偏概全”来求值.在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填 空题时,可根据题意,选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题.此题还可用直接法求解如 下: (sin A-sin C)(a+c) (a-c)(a+c) 2 2 2 2 2 由 =sin A-sin B 可得 =a-b,整理得,a -c =ab-b ,即 a +b

b

b

-c =ab.由余弦定理,得 cos C=

2

a +b -c 1 = ,所以 C=60°. 2ab 2

2

2

2

→ → 例 3 如图所示,在△ABC 中,AO 是 BC 边上的中线,K 为 AO 上一点,且OA=2AK,过点 K 的直线分别交直线 → → → →

AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n=________.
解析 题目中过点 K 的直线是任意的,因此 m 和 n 的值是变化的,但从题意看 m+n 的值是一个定值,故 可取一条特殊的直线进行求解. → → 当过点 K 的直线与 BC 平行时,MN 就是△ABC 的一条中位线(∵OA=2AK,∴K 是 AO 的 → → → → 中点).这时由于有AB=mAM,AC=nAN,因此 m=n=2,故 m+n=4. → → → 变式训练 3 设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与△AOC 的面积之比 为______. 解析 → → → 采用特殊位置,可令△ABC 为正三角形,则根据OA+OC=-2OB可知,

O 是△ABC 的中心,则 OA=OB=OC,所以△AOB≌△AOC,即△AOB 与△AOC 的面积之比为 1.
题型三 图象分析法(数形结合法) 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征,利用图形直观性求解的填空题,称为图象分析型填空 题, 这类问题的几何意义一般较为明显. 由于填空题不要求写出解答过程, 因而有些问题可以借助于图形, 然后参照图形的形状、位置、性质,综合图象的特征,进行直观地分析,加上简单的运算,一般就可以得 出正确的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合,利用数形结合法解题既浅显易懂,又能节省 时间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力,此 类问题为近年来高考考查的热点内容. 1 例 4 已知方程 (x2 - 2x + m)(x2 - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 |m - n| 的值等于 4 ________. 2 2 解析 如图所示,易知抛物线 y=x -2x+m 与 y=x -2x+n 有相同的对称轴 x=1, 它们与 x 轴的四个交点依次为 A、B、C、D.

1 7 3 5 1 7 3 5 1 因为 xA= ,则 xD= .又|AB|=|BC|=|CD|,所以 xB= ,xC= .故|m-n|=| × - × |= . 4 4 4 4 4 4 4 4 2 变式训练 4 f(x) 函数 y=f(x)的图象如图所示,其定义域为[-4,4],那么不等式 ≤0 sin x
? ?f(x)≥0, 或? ?sin x<0, ?

的解集为__________________________________. 解析
? ?f(x)≤0, f(x) ≤0?? sin x ?sin x>0, ?

在给出的坐标系中, 再作出 y=sin

x 在[-4,4]上的图象,如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[-4,-π)∪(-
π π,0)∪[ ,π). 2 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化,使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式.通过转化,使问题化 繁为简、化陌生为熟悉,将问题等价转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果. 2 ? ?x -4x+6, x≥0 例 6 设函数 f(x)=? ,若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 x1+x2 ?3x+4, x<0 ? +x3 的取值范围是________. 2 解析 本题可转化为直线 y=m 与函数 f(x)的图象有三个交点,y=x -4x+6 在[0,+ ∞) 的最小值为 f(2)=2,故 2<m<4,易知 x1,x2,x3 中必有一负二正,不妨设 x1,x2>0, 由于 2 2 y=x2-4x+6 的对称轴为 x=2,则 x1+x2=4,令 3x+4=2,得 x=- ,则- <x3<0, 3 3 2 10 故- +4<x1+x2+x3<0+4,即 x1+x2+x3 的取值范围是( ,4). 3 3


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