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2016届高三数学(理科)综合练习(3)



2016 届高三数学(理科)综合练习(3)
班级___________姓名_____________学号_______________ 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,)

值范围是

.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤) 15.(本小题满分 14 分)

1 ? 0},则 A ? B = . x ?1 2.已知命题 p : ?x ? (1, ??), log2 x ? 0 ,则 ? p 为 . a?i 3.若复数 z ? (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i
1.已知集合 A ? {x || x |? 2}, B ? {x |

.

1 ; 4 2 sin 2? ? cos 2 ? (1)求 tan ? ; (2)求 . 1 ? cos 2?
已知 tan(

?

??) ?

4. 记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 . 5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概 率为 . 6. 曲线 y ? x ? cos x 在点 ( 7. 若 ( x ?

? ? , ) 处的切线方程为 2 2

. . 16. (本小题满分 14 分)
2 已知命题 p :关于实数 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根;命题 q :关于实数

1 2 x
4

) n 展开式中前三项系数成等差数列,则 n 的值为

2x ? 1 f x) ? 3 成立的 x 的取值范围为 8.若函数 f ( x) ? x 是奇函数,则使 ( . 2 ?a 3 9.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ? ,则 cos 2? = . 3 x ?a 10.若函数 f ( x) ? 2 (a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x ) 在 [m, ??) 上单调递增, 则实数 m 的最小值等于 . x ?1 11.已知函数 f ( x) ? . , x ? R ,则不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (3x ? 4) 的解集是 x ?1

x 的方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.
(1) 命题“ p 或 q ”真,“ p 且 q ”假,求实数 m 的取值范围. (2) 若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M; 命题 q 为真命题时, m 的取值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是 . ?ln( x ? 1), x ? 0. x 13.已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 ,当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? 2 ? 1 ,函 数 2 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , 则实数 m 的 g ( x) ? x ? 2x ? m . 如果 ?x1 ?[?2, 2] ,?x2 ?[?2, 2] ,
取值范围是 .

? 1 2 ?? 4 x ,0 ? x ? 2 ? 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 上的偶函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? ? , x 1 3 ? ? ?? ? ? ? , x ? 2 ? 4 ? ?2? 7a 2 ? 0, a ? R 有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取 若关于 x 的方程 ? f ( x)? ? af ( x) ? 16
-1-

17. (本小题满分 14 分)

设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间;

? ?

??

?. 4?
? A? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面积 ?2?

已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域;

(2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? 的最大值.

a 2 ? ?f ( x ) 2? ? f(? x ) ? ? 2 (3) 对 (2) 中 g (a) , 若 ?m2? 2 m t ? x) ? (2) 设 F(
恒成立,求实数 m 的取值范围.

( a 为实数) , 求 F ( x ) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ;

2 ? ga ()

对满足 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1]

18. (本小题满分 16 分) 右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在 圆的圆心为 O. 为了调节仓库内的湿度和温度, 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其 中 E,F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP?AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N, 交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位: m2). (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ (rad),将 S 表示成 θ 的函数; (ii)设 MN=x (m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大?

20.(本小题满分 16 分)

m( x ? n ) (m ? 0) . x ?1 (1)当 m ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调,求 m ? n 的取值范围; 2a x ax (3)是否存在实数 a ,使得 f ( ) ? f (e ) ? f ( ) ? 0 对任意正实数 x 恒成立?若存 x 2a 在,求出满足条件的实数 a ;若不存在,请说明理由.
设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

P E A H M O N F G B

D

(第 18 题图)

C

19.(本小题满分 16 分)
-2-

2016 届高三理 科 数 学 (3) 参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1、

?x | ?1 ? x ? 2? 2. ?x ? (1, ??),log2 x ? 0 3. ? 1
?
2 ? 0 7.8 8.(0,1 )9. ?

4. (-∞,-3]

5.

1 3

6. 2 x ? y ?

5 10. 1 11. (1,2) 12. [ - 2,0] 13. ?? 5,?2? 3

7 16 14. ( , ) 4 9
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.解:略(1) ?

16.解: 略(1)m≥3 或 1<m≤2. (2) 3 ? m ? 6 .

1 5 ;(2) ? . 3 6

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 1 2 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? ? ? sin 2 x ? 17(I)由题意知 f ? x ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? 3? ? k? ](k ? Z ) . 增区间: [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) ;减区间: [ ? k? , 4 4 4 4 2? 3 (2) ?ABC 面积的最大值为 . 4
18.解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ. 在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5, 故 S=EF× FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7). 7 即所求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中 cosθ0= . 20 ………… 4 分 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 351 在 Rt△ ONF 中,NF= OF2-ON2= 100-(x+3.5)2= -7x-x2. 4 在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x2,FG=MN=x, 故 S=EF× FG=x 351-28x-4x2. 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x2,0<x<6.5. ………… 8 分 (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ-7), 则 f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10 分 4 5 由 f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=- . 5 8
-3-

4 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 5 4 设 cosα= ,且 α 为锐角, 5 则当 θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当 θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函 数, 4 所以当 θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ-3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. ………… 14 分 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为 S= x2(351-28x-4x2) ,令 f(x)=x2(351-28x-4x2), 则 f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10 分 9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, 2 2 2 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 2 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. ………… 14 分 19.解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] …………6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。 a 2 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
(2)因为 F ( x) ?

D C A

…………………………10 分

(3)易得 gmin (a) ? 2 , 由 ?m ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,
2

…………12 分

2 即要使 ?m ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2? 即 m ? 2tm ? 0 恒成立,

2

令 h ?t ? ? ?2mt ? m ,对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立,
2

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 解得 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . …………16 分 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0
1? n 1? n 20.解: (1)当 m ? 1 时, g ?( x) ? ,? y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率 k ? , 2 4 ( x ? 1) 1 1? n ? 1 ? ?1 , 由 f ?( x) ? , ? y ? f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 斜 率 k ? 1 , ? x 4 ? n ? 5 ……4 分 (2)易知函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (0, ??) , 1 2 x ? 2 ? m(1 ? n) ? 1 m(1 ? n) x ? ? 2 ? m(1 ? n) ? x ? 1 x, ? ? 又 y? ? f ?( x ) ? g ?( x) ? ? 2 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) ( x ? 1) 1 由 题 意 , 得 x ? 2 ? m( 1 ? n ) ? 的 最 小 值 为 负 , ? m(1 ? n) ? 4 ( 注 : 结 合 函 数 x (m ? (1 ? n))2 ? m(1 ? n) ? 4 , y ? x2 ? ?2 ? m(1 ? n)? x ?1 图 象 同 样 可 以 得 到 ) , ? 4 ? m ? (1 ? n) ? 4 , ? m ? n ? 3 ( 注 : 结 合 消 元 利 用 基 本 不 等 式 也
可).………………………….….…………….……………………………………………9 分

1 1 ? 0 ,可得 ln x0 ? ? ln 2a ? 1 (*) x0 ax0 ? ( x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , ??) 上单调递减,所以 ? ( x)max ? ? ( x0 ) , 1 ?2 ? ( x0 ) ? (ax0 ?1) ? ln 2a ? (ax0 ?1) ? ln x0 ,代入(*)式得 ? ( x0 ) ? ax0 ? ax0 1 根据题意 ? ( x0 ) ? ax0 ? ? 2 ? 0 恒成立. ax0 1 1 又根据基本不等式, ax0 ? 时,等式成立 ? 2 ,当且仅当 ax0 ? ax0 ax0 1 1 1 所 以 ax0 ? . 代 入 ( * ) 式 得 , ln ? ln 2a , 即 ? 2 , ax0 ? 1 ? x0 ? a a ax0
即 ? ( x0 ) ? a ? ln 2a ? a ln x0 ? a ?

1 2 ? 2a, a ? ………………16 分 a 2
(以下解法供参考,请酌情给分) 解法 2: 其中 x ? 0, a ? 0 ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) ,

2a x ) ? f (e ax ) ? f ( ) ? 0 对任意正数 x 恒成立 x 2a 即 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立
根据条件 f (

? ax ? 1 ? 0 ? ax ? 1 ? 0 1 1 ? ? ? ?ln 2a ? ln x ? 0 且 ?ln 2a ? ln x ? 0 ,解得 ? x ? 2a 且 2a ? x ? , a a ? ? a?0 a?0 ? ?
1 2 ? x ? 2a 时上述条件成立此时 a ? . a 2 解法 3: 其中 x ? 0, a ? 0 ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) , 要使得 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立, 1 等价于 (ax ? 1)(2a ? x) ? 0 对任意正数 x 恒成立, 即 ( x ? )( x ? 2a ) ? 0 对任意正数 x 恒成 a
即 立, 设函数 ? ( x) ? ( x ? )( x ? 2a) , 则 ? ( x) 的函数图像为开口向上, 与 x 正半轴至少有一个交 点的抛物线, 因此,根据题意,抛物线只能与 x 轴有一个交点,即

2a x ax ( ? ax ?) a ? ax l n? 2 x ? x ? l n a , l n其 中 l n 2 ( 3 ) 令 ? ( x) =f ( ? )f e ( ? f) x 2a 1 1 x?0 a , ? 则 0 ? ?( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? ,设 ? ( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? x x a 1 ax ? 1 ? ?( x) ? ? ? 2 ? ? 2 ? 0 x x x ? ? ( x) 在 (0, ??) 单调递减, ? ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 必存在实根,不妨设 ? ( x0 ) ? 0
-4-

1 a

1 2 ? 2 a ,所以 a ? . a 2



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