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《平面向量共线的坐标表示》说课稿



《平面向量共线的坐标表示》说课稿
【教材分析】
(一)地位和作用
本节内容在教材中启着向量坐标运算延伸的作用,它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的 认识和正确的应用后产生的,平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问 题搭建了桥梁,同时也为定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础;向量共线的坐标表 示,对立体几何教材也有着深远的意义,可使空间结构系统地代数化,把空间形式的研究从“定性” 推到“定量”的深度。

(二)学情分析
学生已经掌握了平面几何的基本知识,而且学习了平面向量共线的相关概念和坐标表示的简单 运算,这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。他们已经具备了初步归纳的能力但是要加强他们全 面深入探究问题能力,通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理 性认识,充分锻炼他们的思维能力。

(三)教学目标 (1)知识目标:理解平面向量共线的坐标表示,会根据向量的坐标,判断向量是否共线,并掌握
平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式;

(2)能力目标:通过学习向量共线的 坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证
思维能力;

(3)情感目标:在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,
增强应用意识.

(四)教学重点和难点 (1)重点:向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解; (2)难点:定比分点的理解和应用。

【教法分析】
教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性; 有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。 针对本节课的教学目标和学生的实际情况,在教学中采用 “问题教学法和引探式教学法”的教学方法。

【学法指导】
本节课主要调动学生积极思考主动探索,增加学生参与教学活动的时间,我采用了以下学法指导: 1.探究式指导法:应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入 “λ”从而减少了未知数的个数,而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征; 2.归纳式指导法:三点共线问题的实质是向量共线问题.利用向量平行证明三点共线需分两步完 成:(1)证明向量平行;(2)证明两个向量有公共点. 3.迁移式指导法:引导学生推导平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式。 4.合作交流法。

【教学过程设计】
一、新知导入 (一)、复习回顾
1

1、向量共线充要条件:

b // a(a ? 0) ? 存在唯一实数 ?, 使b ? ? a.
2 平面向量的坐标算: (1) 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则 a+b=(x1+x2,y1+y2). a-b=(x1-x2,y1-y2). λ a=(λ x1,λ y1). (2)

若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. [设计意图]以提问的方式完成对旧知识的复习巩固,从而起到引入新课的作用。

(二)、问题引入
已知下列几组向量: (1)a=(0,2),b=(0,4); (2)a=(2,3),b=(4,6); (3)a=(-1,4),b=(2,-8); 1 ? ? 1 ? (4)a=? ?2,1?,b=?-2,-1?. 问题 1:上面几组向量中,a 与 b 有什么关系? 提示:(1)(2)中 b=2a;(3)中 b=-2a;(4)中 b=-a. 问题 2:以上几组向量中 a,b 共线吗? 提示:共线

[设计意图]设计的提问既与本节内容有密切关系,又有利于引入新课,同时引导学生为学生理解
新知清除了障碍,有意识地培养学生分析理解问题的能力。

二、新知探究
思考: 两个向量共线的条件是什么?如何用坐标表示两个共线向量? 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ? a 。

?

?

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
探究:(1)消去λ 时能不能两式相除? (不能 ∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0

?

∴x2, y2 中至少有一个不为 0)

2

(2)能不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2



(不能。 ∵x1, x2 有可能为 0)

(3)向量共线有哪两种形式?

a∥b(b≠0) ? ?

?a ? ?b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0.

[设计意图]通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结;从而得到用坐标表示两
个共线向量的结论;同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。

三、新知巩固(实例分析合作探究与指导应用)
1.向量共线问题: 例 1. 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y) ,且 a // b ,求 y . 解:∵ a // b ,∴ 4 y ? 2 ? 6 ? 0 .∴ y ? 3 . 点评:利用平面向量共线的充要条件直接求解 . ? ? ? ? 已知a / /b,且a =(x,2),b =(2, 1),求x的值. 变式练习 1: 规律归纳 遇到与共线有关的问题时,我们只需要把向量共线的条件转化为坐标运算,一般选用 x1y2-x2y1= 0.

?

?

? ?

? ?

[设计意图]引导学生利用平面向量共线的充要条件完成了例 1 的解答后,通过变式训练 1 由一 个典型例题的解答促使知识的系统化。使新旧知识系统化,完善了认知结构;再由这个问题牵出一个 问题链,引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性,体现了问题变换的思想。
2.证明三点共线问题: 例 2: 例 2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A、B、C 三点之间的位置关系。 解:在平面直角坐标系中作出 A,B,C 三点,观察图形,我们猜想 A,B,C 三点共线。 下面给出证明。 ∵ AB ? (1 ? (?1),3 ? (?1)) ? (2, 4) ,

??? ?

??? ? AC ? (2 ? (?1),5 ? (?1)) ? (3,6) , 又 2 ? 6 ? 3? 4 ? 0 , ??? ? ??? ? ∴ AB // AC . ∵直线 AB 、直线 AC 有公共点 A , ∴ A , B , C 三点共线。

点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练 2:设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),求当 k 为何值时,A、B、C 三点共线. [设计意图]引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量 共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线 .引导学生进一步理解并熟练 地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.

3.共线向量与线段分点坐标问题:
例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2)当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 独立探究:(1)中 P1P:PP2=? (2)中 P1P:PP2=? 图1
3

解:(1)如图 1,由向量的线性运算可知

OP =

x ? x 2 y1 ? y 2 1 , . ). ( OP 1+ OP 2)=( 1 2 2 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 , .) 2 2

所以点 P 的坐标是(

(2)如图 2,当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,有两种情况,即

P1 P 1 P1 P = 或 =2. PP2 2 PP2

如果

P1 P 1 = ,那么 PP2 2

OP = OP1 + P1 P = OP1 +

1 P1 P2 3

1 ( OP 1) 2 - OP 3 2 1 = OP OP2 1+ 3 3
= OP 1+ =(

图2

2 x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 , ). 3 3 2 x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 , ). 3 3

即点 P 的坐标是(

同理,如果

x ? 2 x2 y1 ? 2 y 2 P1 P , . =2,那么点 P 的坐标是 1 3 3 PP2

迁移问题:当 P 1 P ? ? PP 2 时,点 P 的坐标是什么?

[设计意图]充分让学生思考,实际上此题给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
并提出这一结论可以推广吗?让学生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广。 有学生可能提出如下推理方法: 由P 1 P =λ PP 2 ,知(x-x1,y-y1)=λ (x2-x,y2-y),

? x1 ? ?x 2 x ? , ? ? ? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x) ? 1 ? ? 即? ?? ? y ? y ? ? ( y ? y ) ? y ? y1 ? ?y 2 . 1 2 ? ? 1? ? ?
这就是线段的定比分点公式,鼓励学生积极探索,这是学习数学的重要品质.

四、课堂小结
1.教师引导学生思考,通过本节课的学习,你都学习了哪些数学知识:
4

(1)平面向量共线的坐标表示; (2)会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线; (3)平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式; 2.与学生一起总结本节学习的数学方法,归纳和迁移的发散思维。强调在今后的学习中,要善于培养自 己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础. [设计意图]小节是一堂课内容的概括和总结,是必不可少的一个环节,有利于使学生把握本节所学的 重要内容,让学生总结,是检查学生的收获情况,是更进一步培养学生的归纳总结能力。

五、课后作业 必做题 P101习题 A 组5、6 、7 ,选做题 P101习题 B 组1、2 [设计意图]为尊重学生的个体差异,满足多样化学习的需要,分两部分来布置作业,一部分是课本的
习题,要求学生必做;另一部分是选做题,允许学生根据个人情况来完成。

5



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