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辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中考试数学文



2014-2015 学年度上学期省五校协作体高三期中考试 数学(文)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置 上. 第Ⅰ卷(选择题

,共 60 分) 一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A={x||x|<3},B={x|y=lg(x-1)},则集合 A∩B 为 A.[0,3) B.[1,3) C.(1,3) D.(-3,1]

2.下列函数中周期为 且为偶函数的是 A.y=cos(2x- ) 2 B.y=sin(2x+ ) 2 C.y=sin(x+ ) 2
2

D.y=cos(x- ) 2

3.下列有关命题的说法正确的是 2 A.命题“?x R, 均有 x -x+1>0”的否定是:“?x 2 B.“x=3”是“2x -7x+3=0”成立的充分不必要条件

R, 使得 x -x+1<0”

?x ? a ? ?b ? 对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1), (x2,y2),?,(xn,yn) C.线性回归方程 y
q)”为真命题,则“p q”也为真命题 4.已知平面向量→ a =(2m+1,3), → b =(2,m),且→ a 与→ b 反向,则|→ b |等于 10 2 A. 7 5.设偶函数 f(x)对任意 x A.10 5 B. 或 2 2 2 5 C. 2 D. 2 2 [-3,-2]时, f(x)=4x,则 f(107.5)= 1 D.10 中的一个点 D.若“p (

1 R 都有 f(x+3)=,且当 x f(x) 1 B. 10 C.-10

6.设 l 为直线,?, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

7.已知 f(x)=sin(2014x+ )+cos(2014x- )的最大值为 A, 若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 6 3 x 总有 f(x1) f(x) f(x2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( )

-1-

A.

1007

B. 2014

2 C. 1007

D.

2 1007

8.已知向量→ a =(2,1) ,→ a ·→ b =10,|→ a +→ b |=5 2,则|→ b |=A A.5 B.25 C. 5 D. 10 9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 A.1 2 B. 3 1 C. 6 1 D. 3 1 正视图 1 侧视图 2

10.已知数列{an},定直线 l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,an) 在直线 l 上,则数列{an}的前 13 项和为 A.10 B.21 C.39 D.78

k 2 2 11.已知{an}为等差数列,0<d<1,a5≠ ,sin a3+2sina5cosa5=sin a7,Sn 为数列{an}的前 n 项和, 2 * 俯视图 若 Sn S10 对一切 n N 都成立,则首项 a1 的取值范围是 9 A.[- ?,-?) 8 9 B.[- ?,-?] 8 5 9 C. (- ?,- ?) 4 8 5 9 D.[- ?,- ?] 4 8 1 (x),f(0)=-2,且 f(x+ )= f(x),当 2

12.已知函数 f(x)在[0,+∞)上可导,其导函数记作 f x [0, )时,f (x)·cos2x>f(x)·sin2x-f

(x),若方程 f(x)+knsecx=0 在[0,+∞)上有 n

n 个解,则数列{ }的前 n 项和为 k2n A.(n-1)·2 +1
n

B.(n-1)·2 +2

n+1

C.n·2

n-1

(2n-1)·3 +1 D. 4

n

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 z 2 2 13.设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最大值时,x+2y-z 的最大值为__ xy →,OB →,OC →,满足|OA →|=1,|OB →|= 3,|OC →|=1, OA →·OB →=0,则CA →·CB →的最大值 14.平面上三个向量OA 是__________。 82Sn-S2n 15.在数列{an}中,a1≠0,an+1= 3an,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Rn= ,则数列{Rn}的最大项 an+1 为第____项。 16.设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2014 成立,若函 数 g(x)=f(x)+2014x
2013

有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=__________

三、解答题:本大题共 6 小题,总计 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 3 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,c= 2,cosC= 。 4

-2-

(1)求 sinA 的值;

(2)求△ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 正 方 形 , O 为 底 面 中 心 , A1O⊥ 平 面 ABCD, AB= 2,AA1=2. (1)证明:AA1⊥BD (2) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (3) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. D 19. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9 (I)求{an}的通项公式; 1 (II)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn nan 20.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 b1=4,bn+1=3bn-2; (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=anlog3(b2n-1-1),其前 n 项和为 Tn,求 Tn; 21.(本小题满分 12 分) 2 设 f(x)=xlnx,g(x)=x -1 (1)令 h(x)=f(x)-g(x),求 h(x)的单调区间; (2)若当 x≥1 时,f(x)-mg(x)≤0 恒成立,求实数 m 的取值范围; 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积 与△ABC 外接圆面积的比值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=2cos 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? ?y=2+2sin

D1 A1 B1

C1

C O B

A

C
F

D

B

E

A

(?为参数) ,M 为 C1 上的动点,P 点

→,点 P 的轨迹为曲线 C . 满足→ OP=2OM 2 (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 = 与 C1 的异于极点的交点 3

-3-

为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

2014-2015 学年度上学期省五校协作体高三期中考试 高三(文)数学 试题参考答案及评分标准
一.选择题: CBBDB, DAADC, DA 二.填空题: 13. 2 14. 3 15. 4; 16. -4028 17.(本小题满分 10 分) a c 1 2 解: (Ⅰ)由正弦定理得: = 即: = sinA sinC sinA 7 4 ∴sinA= 14 ?????????????????????????4 分 8
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理得:c =a +b -2abcosC 3 2 即:2=1+b -2b× 4 2b -3b-2=0
2

(2b+1)(b-2)=0

∴b=2???????????????????8 分 1 1 7 7 ∴S△ABC= absinC= ×1×2× = ???????????10 分 2 2 4 4 18.(本小题满分 12 分) (1)证明:∵底面 ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC 又∵A1O⊥平面 ABCD BD 面 ABCD ∴A1O⊥BD 又∵A1O∩AC=O A1O 面 A1AC,AC 面 A1AC ∴BD⊥面 A1AC AA1 面 A1AC ∴AA1⊥BD??????????????????????????4 分 (2)∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又 A1B1=CD ∴四边形 A1B1CD 是平行四边形 ∴A1D∥B1C 同理 A1B∥CD1 ∵A1B 平面 A1BD, A1D 平面 A1BD, CD1 平面 CD1B1, B1C 平面 CD1B 且 A1B∩ A1D=A1 CD1∩ B1C=C ∴平面 A1BD // 平面 CD1B1????????????????????8 分 (3) ∵A1O⊥面 ABCD ∴A1O 是三棱柱 A1B1D1-ABD 的高. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在 RT△A1OA 中,AA1=2,AO = 1 1 2 2) · 3 = 3 ABD·A1O= ·( 2 ∴A1O= 3 ∴V
三棱柱

=S△

-4-

所以, 三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积为 3 . ????????????12 分 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ?1)d 因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9

1 . ??????4 分 2 n ?1 所以 {an } 的通项公式为 an ? . ?????????????6 分 2
解得, a1 ? 1, d ? (Ⅱ) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2n ?( ? )? .??????12 分 n n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? 20.(本小题满分 12 分) (1)①当 n=1 时,a1+S1=1 ②当 n 1 ∴a1= 2

2 时,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=an-1-an

1 ∴an= an-1 2

1 1 ∴数列{an}是以 a1= 为首项,公比为 的等比数列; 2 2 1 1 n-1 1 n ∴an= ·( ) =( ) ???????????????????3 分 2 2 2 ∵bn+1=3bn-2 ∴bn+1-1=3(bn-1) 又∵b1-1=3 ∴{bn-1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 n n ∴bn-1=3 ∴bn=3 +1???????????????????6 分 1 n 1 n 2n-1 (2)cn=( ) ·log33 =(2n-1)·( ) 2 2 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n Sn=1× +3×( ) +5×( ) +?+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n+1 Sn=1×( ) +3×( ) +5×( ) +?+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n 1 n+1 (1- )Sn =1× +2[( ) +( ) +?+( ) +( ) ]-(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n-1 ( ) (1-( ) ) 2 2 1 1 n+1 1 1 n-1 1 n+1 = +2× -(2n-1)·( ) = +1-( ) -(2n-1)·( ) 2 1 2 2 2 2 12 3 1 n+1 1 n+1 3 1 n+1 = -4×( ) -(2n-1)·( ) = -(2n+3) ( ) 2 2 2 2 2 2n+3 ∴Sn=3- n 2 21. (本小题满分 12 分)
-5-

???????????????12 分

解: (1)h(x)=xlnx-x2+1 h (x)=lnx+1-2x 令 t(x)=lnx+1-2x t 1 1-2x (x)=x -2= x

∴t(x)在(0,1/2) (1/2,+∞) ∴t(x) t(1/2)=-ln2<0 即 h (x)<0 ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减?????????????????6 分 (也可以先证明 lnx x-1,再由 lnx+1-2x (x-1)+(1-2x)=-x<0 证明 h (x)<0,同样赋分) 2 (2)令 F(x)=xlnx-m(x -1) 则F ①当 m (x)=lnx+1-2mx 1 时,∵x 2 1 令 G(x)=lnx+1-2mx 1 ∴ ?1 x 1 ∴ -2m x 则G 0 1 (x)= -2m x 即G (x) 0 0

∴G(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴G(x) G(1)=1-2m 即 F (x) 0 ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴F(x) F(1)=0 ∴f(x)-mg(x)≤0 ∴m 1 合题意; 2

②当 m 0 时,显然有 F (x)=lnx+1-2mx ∴F(x)>F(1)=0 即 f(x)-mg(x)>0 1 ③当 0<m< 时, 令 G 2 ∴G(x)在[1, ∴F(x)在[1,

0 ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增 不合题意 1 1 (x)= -2m<0 解得:x> x 2m 即F (x)>0

1 1 (x)= -2m>0 解得:1<x< ,G x 2m G(1)=1-2m>0 (0,

1 ]上单调递增,∴G(x) 2m 1 ]上单调递增 ∴当 x 2m 不合题意

1 )时,F(x)>F(0)=0 2m

即 f(x)-mg(x)>0

综合①②③可知,m

1 1 合题意∴m 的取值范围是[ ,+∞)??????12 分 2 2 C

22. (本小题满分 10 分) BC DC (1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠BCB=∠A,由题设知: = , FA EA

F 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA。 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90 D A B E 所以∠CBA=90 ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径;????????5 分 (2) 连结 CE, 因为∠CBE=90 , 所以过 B, E, F, C 四点的圆的直径为 CE, 由 DB=BE, 有 CE=DC, 2 2 2 2 2 2 又 BC DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC =6DB 2 2 而 DC =DB·DA=3DB , 1 故 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 的外接圆面积的比值为 ??????10 分 2 23. (本小题满分 10 分) xy 解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(2,2).由于 M 点在 C1 上,所以

-6-

=2cos ?x 2 ?y ?2=2+2sin 从而 C2 的参数方程为
?x=4cos ? ?y=4+4sin

?x=4cos 即? ?y=4+4sin



为参数)??????5 分 ,曲线 C2 的极坐标方程为 =8sin 3, 3. .

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 =4sin 射线 = 3 与 C1 的交点 A 的极径为 射线 = 3 与 C2 的交点 B 的极径为

1=4sin

2=8sin

所以|AB|=| 2- 1|=2 3.??????10 分 23. (本小题满分 10 分)

? ?-2x+5(,)x 2 (1)当 a=-3 时,f(x)= ?1(,)2<x<3 ?2x-5(,)x 3 ?
当 x 2 时,由 f(x) 3 得-2x+5 3,解得:x 1 当 2<x<3 时,f(x) 3 无解; 当 x 3 时,由 f(x) 3 得 2x-5 3,解得 x 4; 所以 f(x) 3 的解集为{x|x 1}∪{x|x 4}??????5 分 (2)f(x) |x-4| |x-4|-|x-2| |x+a|. 当 x [1,2]时,|x-4|-|x-2| |x+a| (4-x)-(2-x) |x+a| -2-a 由条件得:-2-a 1 且 2-a 2,即-3 a 0 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0] ??????10 分

x

2-a

-7-



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