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竞赛讲座第一讲 向量



遂宁中学高一下期培优课

第一讲----平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为

单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0,使得 a= ? b. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向 量的数 量积, 若非零向 量 a, b 的夹 角为 ? ,则 a, b 的数量 积记作 a·b=|a|·|b|cos ? =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影 可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y2

(a, b ? 0),

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, p2 的一点, 则存在唯一实数 λ, 使P 1 P ? ? PP2 ,

OP 1 ? ? OP 2 。由此可得若 1? ? ? x ? ?x 2 x? 1 ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 ? .? ? ? . x2 ? x y 2 ? y ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ? ?
λ 叫 P 分 P1 P2 所成的比,若 O 为平面内任意一点,则 OP ? 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平 移|a|= h 2 ? k 2 个单位得到图形 F ' ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移 到 F ' 上对应的点为 p' ( x' , y' ) ,则 ?

? x' ? x ? h 称为平移公式。 ? y' ? y ? k
2 2 2 2

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2· |b|2-|a· b|2= ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, 又|a· b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),
2 2 2 2 2 同样有 |a · b|≤|a| · |b| ,化简即为柯西不等式: ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( y12 ? y2 ? ? ? yn )?

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,
1

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2)对于任意 n 个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、方法与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2…An 的中心,求证: OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ? O.

例 2 给定△ ABC,求证:G 是△ ABC 重心的充要条件是 GA ? GB ? GC ? O.

例 3 在凸四边形 ABCD 中, P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点,求证: AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

.证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1: 2。

3.利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ? b.

2

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例 6 已知△ ABC 内接于⊙O, AB=AC, D 为 AB 中点, E 为△ ACD 重心。 求证: OE ? CD。

4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 点 F,求证:AF=AE。 基础训练: 1. 在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1), B(2, b), C (3, 4) ,若向量 OA, OB 在 OC 上 的投影相同,则 3a ? 4b ? 2. 设 a, b 是非零向量,且 a ? 2 , a ? 2b ? 2 ,则 a ? b ? b 的最大值是 3 已知 ?ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP ?

2 AB ? AC ,则 cos ?BAC ? 5

?

?

4. 在△ABC 中,AB=BC=2,CA=3.设△ABC 的内心为 O,求满足 AO=pAB+qAC 的实数 p、q 的值. 5 P 是 ?ABC 所在平面内的一点,满足 PA ? PB ? PC ? BC ,则

S?ABP ? S?ABC

6. 已知 O 是 ?ABC 内一点,且 4 AO ? 3 AB ? 2BC ? CA ,则

S?ABC ? S?OBC

7 O 是 ?ABC 内一点,且 AO ?

1 1 S AB ? AC ,则 ?OAB ? 3 4 S?OBC

3

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1.(集训试题)已知 a ? (cos ? ,sin

2 3

2 ? ), OA ? a ? b, OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直 3
( ) C.2 D.3 的面积与

角顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积等于 A.1 B.1

2. (全国)设 O 点在 ? ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? OC ? ,则 的 面积的比为 A.2 B. 3 ( ) C.3

D. 5

2 3 3. (陕西赛区预赛)如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AC , 2 1

55 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( A ) A. 1 1 B. 2 C. 1 D.

5

5

4

3

4.(浙江)已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而





则对于任意实数 t1,t2 , A.5 B.7

C.12

的最小值是 ( D.13



5.(全国)空间四点 A、B、C、D 满足



的取值 ( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个 6. (南昌市)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 为
4

重心 G 对应的向量

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则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为___________. 7. (浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地分布 在 半 径 为 的 向 量 记 作 2 = . 2 的 圆 周 上 。 从 整 点 i , 则 到 整 点( i + 1 )

8. (联赛)使关于 x 的不等式

有解的实数 k 的最大值是 .

9.(联赛)求函数

x 的最大和最小值.

10.(联赛)过抛物线 上的一点 A(1,1) 作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D ,交 y 轴于 B , 点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 ;点 F 在线段 BC 上,满足 , 且 ,线段 CD 与 EF 交于点 P .当点 C 在抛 物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

5



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