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2016年安庆市重点中学高三模拟考试理数



2016 年安庆市重点中学高三模拟考试
数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数

单位,复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i 2016 ,则复数 z 的虚部为( A.-1 B.1 C. i D. ? i ). ).

2. 在等比数列 ?an ? 中, a 1 =16, a6 ? 2a5 ? a7 ,则 a4 =( A.4 B.2 C.1 D.

1 2

3. 阅读如图所示的程序框图, 若运行该程序后输出的 y 的值为 4,则输入的实数 x 的值为( A.4 B.16 C.-1 或 16 ) D.-1 或

1 16
2

b 是方程 x ? 2 x ? c ? 0 4.设两条直线的方程分别为 x ? 3 y ? a ? 0 , 已知 a , x ? 3y ? b ? 0 ,
的两个实根,且 0 ? c ?

1 ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为( 2
C.

) 。

A.

2? 2 2

B.1

2 2

D.

4 ? 14 4

5.在如图所示的空间直角坐标系 O- xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) , 给出编号①、 ②、 ③、 ④的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别是 ( A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② )

6. 在△ABC 中,∠ABC=

? ,AB= 2 ,BC=3,则 sin∠BAC=( 4
10 5
C.

)

A.

10 10

B.

3 10 10

D.

5 5

?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 7.若实数 a , b 满足 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值为( 2a ? b ?a ? 1 ?
A.1 B.



5 4

C.

7 5

D.2
? ?

8. 在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 AP ? AC ? 1 的概率为( A.



1 8

B.

1 4

C.

3 4


D.

7 8

9. 在△ABC 中,“A ? B”是“cos2A ? cos2B”的( A. 充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件
2

D.既不充分又不必要条件

10. 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x sin ? ? 2 cos 2 x sin 为(

?
2

(0 ? ? ?

?
2

) 的图象的一个对称中心

? ,0) ,则下列说法不正确的是 ( ) 6 5 ? 是函数 f ( x) 的图象的一条对称轴 A.直线 x ? 12 ? B.函数 f ( x ) 在 [ 0, ] 上单调递减 6 ? C .函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图象 6 ? D. 函数 f ( x ) 在 x ? [0, ] 上的最小值为-1 2

]

x 11. 已知函数 f ( x) ? (e ? 1)(ax ? 2a ? 2) ,若存在 x ? (0,??) ,使得不等式 f ( x) ? 2 ? 0 成立,

则实数 a 的取值范围是 ( A. (0,1)

) B. (0,

3 ) 2

C . (??,1)

D. ( ?? , )

3 2

12. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 A,B 两点, a2 b2

记直线 AC,BC 的斜率分别为 k 1 , k 2 当

2 ? ln k1 ? ln k 2 最小时,双曲线离心率为( k1 k 2

)

A.

2

B.

3

C . 2 ?1

D. 2

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大 题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上。 13. 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法 种数为 。

14. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在区间( ? ? ,0)是单调递增的,若 S1 ? x 2 dx ,
1

?

2

1 S 2 ? ? dx , S 3 ? ? e x dx ,则 f (S1 ) , f (S 2 ) , f (S 3 ) 的大小关系是 x 1 1

2

2



15. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a 2 ? 1 , ?nSn ? (n ? 2)an ? 为等差数列,则 ?an ? 的通 项公式 an = 。

1 2 3 n 16.计算 Cn ,可以采用以下方法: ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn 0 1 2 2 3 3 n n 构造等式: Cn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? ? ? ? ? Cn x ? (1 ? x) n , 1 2 3 2 n n?1 两边对 x 求导,得 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? ? ? nCn x ? n(1 ? x) n?1 , 1 2 3 n 在上式中令 x =1,得 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn ? n ? 2n?1 。 1 2 3 n 类比上述计算方法,计算 Cn = ? 22 Cn ? 32 Cn ? ? ? ? ? n 2Cn



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? (1)求 a2 、 a3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an?1 对于任意 n ? N 都成立。
*

2a n 1 , a n ?1 ? (n ? N * ) 。 2 an ? 1

18.(本小题满分 12 分)设 ? 为随机变量,从侧面均是等边三角形的正四棱锥的 8 条棱中任选两 条, ? 为这两条棱所成的角。 (1)求概率 P (? ?

?
2

);

(2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E( ? )。

19.(本小题满分 13 分)如图所示几何体 ABC-A1B1C1 中,A1、B1、C1 在面 ABC 上的射影分别是线段 AB、BC、AC 的中点,面 A1B1C1//面 ABC,△ABC 是边长为 2 的等边三角形。 (1)求证:△A1B1C1 是等边三角形; (2)若面 ACB1A1⊥面 BA1B1,求该几何体 ABC-A1B1C1 的体积; (3)在(2)的条件下,求面 ABC 与面 A1B1B 所成的锐二面角的余弦值。

x2 y2 20.(本小题满分 13 分)如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆 a b
于 A,B 两点。 AF 的最大值是 M, BF 的最小值是 m ,满足 M ? m ? (1) 求该椭圆的离心率 ; (2) 设线段 AB 的中点为 G,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点,O 是坐标原点。记 △GFD 的面积为 S1 ,△OED 的面积为 S 2 ,求

3 2 a 。 4

2 S1 S 2 S1 ? S 2
2 2

的取值范围。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 (ln x ? ln a)(a ? 0) 。

(1)当 a ? 1 时 ,设函数 g ( x ) ?
'

f ( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间与极值; x

f ' ( x) ? 1 对任 意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 f ( x) 是 f ( x ) 的导函数,若 x2
(3)若 x1 , x2 ? (

1 ,1), x1 ? x2 ? 1,求证: x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 4 。 e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按多做的第一题计分。作答时请写 清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图所示,⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,从⊙O1 上点 A 作的切线 AB,切点为 B,连 AP(不过 O1) 并延长与⊙O2 交于点 C。 (1)求证:AO1//C O2; (2)若

AC 6 ? ,求⊙O1 的半径与⊙O2 的半径之比。 AB 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为原点,以 x 轴正半轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ?x ? 1 ? ? 2 ? ? 4? sin ? ? 3 ? 0 ,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? ? ?
(1)写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程;

2 t, 2 ( 为参数)。 t 2 t, 2

(2)若点 A,B 是曲线 C 上的两动点,点 P 是直线 l 上一动点,求∠APB 的最大值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

[来源:学_科_网]

已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 (1)求实数 t 的值;

1 1 ? ? 2 ab 的最小值为 t 。 a b

(2)解关于 x 的不等式: 2x ? 1 ? 2x ? 1 ? t 。

[来源:Zxxk.Com]



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