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高中数学必修2立体几何知识点



必修 2 立体几何知识点详解

空间几何体知识点
1.1 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长

度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.2 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S 4 圆台的表面积 S

? 2?rl ? 2?r 2

3 圆锥的表面积 S

? ? rl ? ? r 2
2

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

5 球的表面积 S ? 4? R

6 扇形的面积公式 S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2
1 2 锥体的体积 V ? S底 ? h 3

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 V ? S底 ? h 3 台体的体积

1 V ? (S ? 3 上

S S ? 下S ) ? h 上 下

4 球体的体积 V ?

4 3 ?R 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面与直线 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小,无厚薄。 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长 (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A?l ? B ?l ? ? 符号表示为 ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?

公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α ,使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 补充 3 个推论: 推论 1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
1

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推论 3:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为: p ?? ? ? ? ? ? ? ? l , 且p ? l 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线,
a // b ? ? ? a // c c // b ?

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 4 异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 符号表示: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? 直线AB与直线l异面 。 5 注意点: ① 异面直线 a1与b1 所成的角的大小只由它们的相互位置来确定,与选择的位置无关,为简便一 般取在两直线中的一条上; ②
0 两条异面直线所成的角: ? ? ? 0 ,90 ] 0

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行。简记为:线线平行,则线面平行。

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a ??? ? 符号表示: b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 a?? ? b?? ? ? ? 符号表示 : a ? b ? A? ? ? // ? 简记为:线线平行,则面面平行。 a // ? ? ? b // ? ? ? 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为: ? ? a, ? ? a ? ? // ? 2.2.3 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
? ? 简记为:线面平行,则线线平行。符号表示: a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ? a // ?

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? // ? ? ? 符号表示: ? ? ? ? a ? ? a // b ,简记为:面面平行,则线线平行 ? ? ? ? b? ?
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 3、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、 定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直, 记作 l

?? ,

直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P, 点 P 叫做垂足。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号表示: l ? a, l ? b, a ? ? , b ? ? , a ? b ? A ? l ? ? ,简记为:线线垂直,则线面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

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3、补充性质: a // b, a ? ? ? b ? ?
4、直线与平面所成的角的范围为: [00 ,900 ]

2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β ,平面之间二面角范围是 [00 ,1800 ] 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: l

? ?,l ? ?,? ? ? ?

,简记为:线面垂直,则面面垂直。

4、线面角的求法,在直线上任找一点作平面的垂线,则直线和射影所成的角就是了。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示: 补充性质: (1)a

a ? ?,b ? ?,? a ? b


? ? , b // ? ? a ? b , (2)a ? ? , b // a ? b ? ?

(3)a ? ? , a ? ? , ? ? // ? , (4)a ? ? , ? // ? , ? a ? ?
2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号表示:

a ? ? ,? ? ? ? l , a ? ? , a ? l , ? a ? ? ,面面垂直,则线面垂直。
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 空间直线、平面的位置关系

本章知识结构框图

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

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第三章 3.1 直线的倾斜角和斜率

直线与方程

3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就 是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜 率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不 成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜 率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 1、 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,且斜率为 k

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) 3.2.2 直线的两点式方程

y ? kx ? b

( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 1、直线的两点式方程:已知两点 P 1
2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 3.2.3 直线的一般式方程 于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 化。

1、直线的一般式方程:关 (A,B 不同时为 0) 2、各种直线方程之间的互 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组
? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

5

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3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,
l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,
Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章 圆与方 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上



1、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则 指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (? 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切;
6

D E , ? ) 2 2

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(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、 Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直 角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标。 4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式
z
x O P R M Q M' y

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2

2

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