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1.1.2.集合间的基本关系


1.1.2

集合间的基本关系

[学习目标] 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系, 并能正确判断.2.了解 Venn 图的含 义,会用 Venn 图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质.

知识点一 Venn 图 (1)定义:在数学中,经常用平面上_______的____代表集合,这种图称为 Venn 图,这种表 示集合的方法叫做图示法. 知识点二 子集的概念 文字语言 集合 A 中_______元素都是集合 B 中的元素,就说这两 个集合有_______,称集合 A 是集合 B 的子集 符号语言 A____B(或 B?A) 图形语言

思考 符号“∈”与“?”有什么区别? 知识点三 集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与集 合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 思考 (1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗? (2)集合{x∈R|-1<x<2}与集合{y∈R|-1<y<2}相等吗? 知识点四 真子集的概念 定义 真子集 如果集合 A?B,但存在元素___________,称 集合 A 是集合 B 的真子集 符号表示 A___B(或 B___A) 图形表示

知识点五 空集 (1)定义:不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为: ? . (3)规定:空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集。 思考 {0}, ? 与{ ? }之间有什么区别与联系? 答 {0}是含有一个元素 0 的集合, ? 是不含任何元素的集合,因此有 ? ?{0},而{ ? } 是含有一个元素 ? 的集合,因此有 ? ∈{ ? }. 知识点六 子集的有关性质
1

(1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A. (2)对于集合 A,B,C,如果 A?B,且 B?C,那么 A?C.

题型一 有限集合的子集确定问题 例1 (1)写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

(2)已知集合 A 满足{a,b}?A {a,b,c,d},求满足条件的集合 A. 总结:一般地,若集合 A 中有 n 个元素,则其子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子 集有 2n-2 个. 跟踪训练 1 已知集合 M 满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合 M 及其个数.

题型二 集合间关系的判定 例 2 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 1 4 1 例 3 已知集合 A={x|x= (2k+1),k∈Z},B={x|x= k± ,k∈Z},则集合 A,B 之间的关 9 9 9 系为( A.A B C.A=B ) B.B A D.A≠B

跟踪训练 2 集合 M={x|x=3k-2, k∈Z}, P={y|y=3n+1, n∈Z}, S={z|z=6m+1, m∈Z}, 则 M,P,S 之间的关系为( A.S P M C.S P=M 题型三 集合相等 例 4 已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},若 M=N,求 a 与 b 的值. ) B.S=P M D.S P=M

2

b 跟踪训练 3 设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},则 b-a 等于( a A.1 B.-1 C.2 D.-2

)

题型四 由集合间的关系求参数范围问题 例 5 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A,求实数 m 的取值范 围.

跟踪训练 4 已知集合 A={x|1≤x≤2},集合 B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A B,求 a 的取值范围;

(2)若 B?A,求 a 的取值范围.

例6 集合.

设 M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若 N?M,求所有满足条件的 a 的取值

跟踪训练 5 设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 B?A, 求实数 a 的取值范围.

1.集合 A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( A.4 B.7 C.8 D.16 )

)

2.设集合 M={x|x>-2},则下列选项正确的是( A.{0}?M B.{0}∈M ) C.?∈P C.?∈M D.0?M

3.若集合 P={x|x≤3},则( A.-1?P B.{-1}∈P

D.{-1}?P

4.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N*},则满足条件 A?C?B 的集 合 C 的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4
3

5.设集合 A={x,y},B={0,x2},若 A=B,则实数 x=________,y=________.

1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A,能推出 x∈B,这是判断 A ?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A、B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x∈B,但 x?A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合 的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n -2 个非空真子集. 3.涉及字母参数的集合关系问题,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

一、选择题 1.已知集合 A={-1,1},则下列式子表示正确的有( ①1∈A; ②{-1}∈A; A.1 个 B.2 个 ③??A; )

④{1,-1}?A.

C.3 个

D.4 个 )

2.已知集合 P 和 Q 的关系如图所示,则(

A.P>Q

B.Q?P

C.P=Q

D.P?Q

3.已知集合 A={x|x 是平行四边形}, B={x|x 是矩形}, C={x|x 是正方形}, D={x|x 是菱形}, 则( A.A?B C.D?C ) B.C?B D.A?D )

k 1 k 1 4.若集合 M={x|x= + ,k∈Z},集合 N={x|x= + ,k∈Z},则( 2 4 4 2 A.M=N C.M N B.M?N D.以上均不对

5.已知集合 A={x|0<x<1},B={x|0<x<c},若 A?B,则实数 c 的取值范围是( A.{c|0<c≤1} B.{c|c≥1} C.{c|0<c<1}
4

)

D.{c|c>1}

6.已知集合 M={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 N={x|-2≤x≤4},则集合 M 与 N 之间的关 系是( A.M>N C.N M ) B.M N

D.M?N )

7.若集合 A={1,3,x},B={x2,1},且 B?A,则满足条件的实数 x 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题 8.集合{-1,0,1}共有________个子集. 9.设集合 M={x|2x2-5x-3=0},集合 N={x|mx=1},若 N?M,则实数 m 为________. 10.设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A B,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 11.设集合 A={1,a,b},集合 B={a,a2,ab},且 A=B,求 a2 016+b 2 016. 的取值集合

12.已知集合 A={x|x<-1,或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B?A,求实数 a 的取值范围.

13.已知三个集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0}, 同时满足 B A,C?A 的实数 a,b 是否存在?若存在,求出 a,b 所有的值;若不存在,请 说明理由.

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