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【全国百强校】自主招生考试数学试题



2015年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇 和农村地区(“追梦计划”)招生考试 数学与逻辑试卷
(满分:150分
学校 姓名

考试时间:120分钟)

准考证号

注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.) 1.若代数式 A. x ? ?1 C. x ? ?1

x ?1

?x ? 3?

2

有意义,则实数 x 的取值范围是(★★★) B. x ? ?1 且 x ? 3 D. x ? ?1 且 x ? 3

2.实数 a 、 b 在数轴上的位置如下图所示,则化简 a ? b - a 的结果为(★★★)

a
A. ?2a ? b C. ? 2a ? b 的汉字 是(★★★)

0 B. ? b D. b

b

3.如下图所示, 4 根火柴棒形成象形“口”字,只通过平移火柴棒,原图形能变成

原图

A.

B.

C.

D.

4.打开某洗衣机开关(洗衣机内无水),在洗涤衣服时,洗衣机经历了进水、清洗 、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y (升)与 时间 x (分钟)之间满足某种函数关系,其函数图像大致为(★★★)

数学试卷 第1页 共6页

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B. 年龄(岁) 人数(人)

C.

D.

5.对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计,结果如下:
13

14
5

15 6

16 6

17 7

18

4
B. 17 , 16

2

则这些学生年龄的众数和中位数分别是(★★★) A. 17 , 15.5 C. 15 , 15.5 D. 16 , 16 6.如下图所示,圆 A 和圆 B 的半径都为1, AB ? 8 ,圆 A 和圆 B 都和圆 O 外切,且

D E ,则圆 O 的半径为(★★★) 三圆均和直线 l 相切,切点为 C、、
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ?a ? 0 ? 的图象如下图所示,现有下列结论:①
abc ? 0 ,

② b 2 ? 4ac ? 0 ,③ 2a ? b ? 0 ,④ a ? b ? 0 ,则其中正确结论的个数是(★★★) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8.如下图所示,矩形纸片 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 6 ,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,得折痕 EF ,则 tan ?BFE 的值是(★★★) A.
?

7 2

B. 1
y

C. 2
?

D. 3
E

? O A C D E B l
O 1 3 x

A

D

B C'

F

C

第6题图

第7题图

第8题图

9.下图是一个切去了一个角的正方体纸盒,切面与棱的交点 A、、 B C 均是棱的 中点,现将纸盒剪开展成平面,则展开图不可能是(★★★)

数学试卷 第2页 共6页

? A

C

B

A.

B.

C.

D.

10.甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛,每两人都要比赛一场,到 现在为止,已知甲赛了 5 场,乙赛了 4 场,丙赛了 3 场,丁赛了 2 场,戊赛了 1 场 ,则小强赛了(★★★) A. 1 场 B. 2 场 C. 3 场 D. 4 场

二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共 20分.请将正确答案填在答题卡相应位置) 11.对正实数 a,b 作定义 a ? b ? ab ? a ,若 2 ? x ? 6 ,则 x ? ★★★. 12.罗马数字有 7 个基本符号,它们分别是 I,,,,,, V X L C D M 分别代表

1,, 5 10 , 50,,, 100 500 1000 .罗马数依靠这 7 个符号变换组合来表示,如: 2 3 4 5 6 7 ;用 IX ,,, I,,, II III IV , V ,, VI VII 分别表示 1,,,,,, X XI XII 10 11 , 12 ;根据以上规律,你认为 LII 表示的数应该是★★★. 分别表示 9,,
13.已知一个口袋中装有 7 个只有颜色不同的球,其中 3 个白球, 4 个黑球,若往 口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球,从口袋中随机取出一个白球的概率是 ,则 y 与 x 之间的函数关系式为★★★.
? x ? 6 ? 2 ? 3x , ? 14.若关于 x 的不等式组 ? a ? 2 x 有且只有四个整数解,则实数 a 的取值范 ? x ? ? 4
1 4

围是★★★. 15.将一副三角板按下图1所示的位置摆放,使得两块三角板的直角边 AC 和 MD 重合.已知 AB ? AC ? 8 ,将 ?MED 绕点 A ?M ? 逆时针旋转 60? 后(如图2),两 个三角形重叠(阴影)部分的面积是★★★.
? C

?

E C D

D

E

B

A(M)

B

A(M)

数学试卷 第3页 共6页

图1

图2

三、解答题(本大题共7小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分14分)
?1? (1)计算: 25 ? ? ? ? 20150 ? 2 cos 30? ? ? 3 . ?3?
?2

(2)先化简,再求值:
17.(本小题满分12分)

4x x ? ? 3x ?? ? ? ,其中 x ? 2 ? 6 . 2 9? x ? x ?3 x ?3?

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? k x ? b

m 的图象交于一、三 x 象限内的 A、B 两点,直线 AB 与 x 轴交于点 C ,点 B

?k ? 0 ?的图象与反比例函数 y ?

的坐标为 ??6, n ?,线段 OA 的长度为 5 , E 为 x 轴正半 轴上一点,且 tan ?AOE ? (1)求反比例函数的解析式; (2)求 ?AOB 的面积.

4 . 3

18.(本小题满分12分) 如图,过圆 O 直径的两端点 M 、N 各引一条 切线,在圆 O 上取一点 P ,过 O 、 P 两点的直 线交两 切线于 R、Q . (1)求证: △NPQ ∽ △PMR ; (2)如果圆 O 的半径为 5 ,且 S ?PMR ? 4 S ?PNQ , 求 NP 的长.
R M O N ? P Q

19.(本小题满分12分) 如果方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根是 x1、x 2 ,那么 x1 ? x 2 ? ?b , x1 x 2 ? c ,请 根据以上结论,解决下列问题:

1 一1一已知关于 x 的方程 x 2 ? ?a ? 1? x ? a 2 ? 1 ? 0 的两根之差的绝对值为 5 , 4
求 a 的值;

数学试卷 第4页 共6页

一2一已知关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0 ?q ? 0 ?有两个实数根,求出一个一元二 次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.

20.(本小题满分13分) 福州一中初一(1)班的班徽如图1所示,班徽由 一个菱形和一个正三角形组合构成.如图2,菱 形 ABCD 中, AB ? 4 , ?A ? 60? , ?DMN 为正三 角形.如果点 M 、 N 分别在菱形的边 AB 、 BC 上滑动,且 M 、 N 不与 A 、 B 、 C 重合.
(1)证明:不论 M 、 N 如何滑动,总有 BM ? CN ;

?

D

A



一 一

一 一 1一

一 C N

M B

(2)在 M 、 N 滑动的过程中,试探究四边形 DMBN 的面积 是否为定值?如果是,求出这个定值;若不是,请说明理由. (3)求 ?BMN 的面积的最大值.
? D ? D

图1

A N M B

C

A N M B

C

图2

备用图

21.(本小题满分13分) 如图1,在平面直角坐标系中,直线 y ?

3 3 1 x ? 与抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 交 4 2 4

于 A 、 B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的横坐标为 ?8 . (1)求该抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A 、 B 重合).过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,交直线 AB 于点 D ,作 PE ? AB 于点 E ,设 ?PDE 的周 长为 l ,点 P 的横坐标为 x ,求 l 关于 x 的函数关系式,并求出 l 的最大值.

数学试卷 第5页 共6页

? P

y

?

y

A C O E D B
B

A

x

O

x

图1 22.(本小题满分14分) 各种多边形数.比如:

备用图

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究

1

3

6

图1

10



1

4

9

图2

16



3 6 10 ,… 他们研究过图1中的 1,,,
,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图2中的

1,,, 4 9 16 ,… ,这样的数为正方形数(四边形数).
(1)请你写出既是三角形数又是正方形数且大于 1 的最小正整数为 (2)试证明,当 k 为正整数时, k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) ? 1 必为正方形数; (3)记第 n 个 k 边形数为 N ?n, k ??k ? 3? ,例如 N ?1, 3? ? 1,N ?2, 3? ? 3 , ;

N ?2, 4 ? ? 4 .
(ⅰ)试直接写出 N ?n, 3?, N ?n, 4 ? 的表达式; (ⅱ)通过进一步的研究发现 N ?n, 5 ? ?

3 2 1 n ? n , N ?n, 6 ? ? 2n 2 ? n ,… 2 2

,请你推测 N ?n, k ??k ? 3? 的表达式,并由此计算 N ?10, 24 ? 的值.

数学试卷 第6页 共6页



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